Geometria fractal e aplicações - Faculdade de Ciências

O conjugado do número complexo z = a+bi é o número complexo denotado por z=a-bi,
que corresponde a uma reflexão de z na recta das abcissas.
Inverso de um número complexo
O inverso do número z = a + bi(≠ 0), é o número complexo z −1 = (a−bi)
a 2 +b 2
Operações com complexos
– Adição: (a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i
– Produto: (a + bi) · (c + di) = a(c + di) + bi(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 =
(ac − bd) + (ad + bc)i
– Potenciação (se o expoente for inteiro e positivo): (a+bi) n =
– Potenciação (se o expoente for inteiro e negativo): (a + bi) −n = 1
(a+bi) n
n
{ }} {
(a + bi) · (a + bi) . . . (a + bi)
– Radiciação (fórmula de Moivre):
um inteiro qualquer.
n√
a + bi =
n √ r · (cos θ+2kπ
n
+ i · sin θ+2kπ ), onde k é
n
Esta fórmula permite verificar que cada número complexo tem n raízes de índice
n que se obtêm dando a k, n valores inteiros consecutivos, por exemplo os valores
0, 1, 2, . . . , n − 1
Iremos ver mais à frente a aplicabilidade dos números complexos na geometria fractal.
1.2 Percepção de infinito
A percepção de infinito está subjacente aos objectos fractais, pois estes são obtidos no limite
de um processo de construção que se repete indefinidamente e como tal, temos necessidade
de atribuir um limite ao nosso campo de visão. James Gleick [6] afirma que Para os olhos
da mente, um fractal é uma maneira de entrever o infinito.
Um exemplo muito conhecido no mundo da geometria são as gravuras de M. C. Escher,
em que este preenche o plano com figuras sucessivamente mais pequenas, seguindo uma
progressão geométrica. Com estas figuras, Escher tenta alcançar o limite do infinitamente
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