Geometria fractal e aplicações - Faculdade de Ciências

dos segmentos médios, um novo triângulo equilátero, tal como podemos observar na figura
2.4. Obtivemos, portanto, a segunda figura do processo de construção. Em seguida, repetimos
o mesmo processo a cada um dos 12 segmentos obtidos na figura anterior. Repetindo
indefinidamente o processo, obtemos a curva de Kock no limite deste processo recursivo.
Figura 2.4: Figura inicial e primeiros quatro passos da construção da curva de Koch.
Ao vermos a representação geométrica deste fractal podemos perceber facilmente que
temos uma figura regular fechada cuja fronteira é composta por infinitos lados cada vez
mais pequenos (os lados de cada nova figura são três vezes mais pequenos que os da figura
anterior).
Analisemos este facto através da tabela 2.2, considerando o comprimento do lado do
triângulo inicial igual a uma unidade.
Passos Número de lados Comprimento do lado
0 3 × 4 0 = 3 1 = 3 0
1 3 × 4 1 = 12 1 / 3 = 3 −1
2 3 × 4 2 = 48 1 / 9 = 3 −2
3 3 × 4 3 = 192 1/ 27 = 3 −3
4 3 × 4 4 = 768 1 / 81 = 3 −4
Tabela 2.2: Número de lados e comprimento de cada lado da curva de Koch até ao 4 o passo da
sua construção.
– O número de lados de cada figura em função do número de passos é dado pela
expressão M n = 3 × 4 n que é uma sucessão monótona crescente e quando n −→ +∞
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