Geometria fractal e aplicações - Faculdade de Ciências

preocupou grandes matemáticos da época, como Poincaré, Lebesgue 3 , Brouwer 4 , Cantor,
Peano, etc. que estavam envolvidos com o desenvolvimento da topologia.
3.2.2 Dimensão topológica
O conceito de dimensão topológica está relacionada com a forma que um conjunto tem
de ocupar o espaço.
Em topologia, linhas direitas podem ser manipuladas em curvas,
círculos em triângulos ou quadrados e uma folha de papel plana é equivalente a outra folha
infinitamente amarrotada. Quando estes objectos são devidamente transformados, através
de um homeomorfismo 5 , as suas dimensões topológicas são preservadas. Ora, uma linha
direita, de dimensão 1 e a curva de Koch são topologicamente o mesmo.
A noção intuitiva de dimensão consistia no número de parâmetros (coordenadas) necessários
para a discrição única dos pontos de um objecto. Em 1878, Cantor encontrou uma transformação
f do intervalo unitário [0,1] para o quadrado unitário [0, 1] × [0, 1] numa correspondência
de um para um, isto é, a cada elemento do intervalo unitário, por exemplo, x
corresponde um elemento do quadrado unitário y, tal que f(x) = y. Assim, Cantor apenas
precisava de um parâmetro para descrever os pontos de um quadrado. Mas como a transformação
de Cantor não era contínua, consequentemente, não era um homeomorfismo. As
dificuldades continuavam, portanto, a existir.
Mais tarde, as construções das curvas preenchedoras do espaço de Peano e de Hilbert
que também aplicavam uma transformação g do intervalo unitário [0,1] para o quadrado
unitário [0, 1]×[0, 1] já eram contínuas mas não estavam numa correspondência de um para
um. Existiam pontos distintos, por exemplo, x 1 , x 2 no intervalo unitário que correspondiam
ao mesmo ponto y do quadrado: y = g(x 1 ) = g(x 2 ), consequentemente, não era uma
homeomorfismo.
Foram surgindo várias noções de dimensão mas sempre com a ideia de que para objectos
3 Henri Lebesgue (1875-1941), matemático frances que iniciou as suas investigações em superfícies não
alinhadas aplicáveis sobre o plano.
4 Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966), contribuiu bastante para o desenvolvimento da topologia.
5 Homeomorfismo é uma aplicação contínua, biunívoca e cuja inversa é contínua.
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