Geometria fractal e aplicações - Faculdade de Ciências

Figura 2.2: Figura inicial e primeiras três iterações da construção do Triângulo de Sierpinski.
Passos Área Perímetro
0 A P
1 A 1 = A × 3 P
4 1 = × 3 2
2 A 2 = A × ( )
3 2
P
4 2 = P × ( 3
3 A 3 = A × ( )
3 3
P
4 3 = P × ( 3
2
Tabela 2.1: Área e perímetro do triângulo de Sierpinski até ao 3 o passo da sua construção.
) 2
2
) 3
Analisando a tabela 2.1, podemos verificar que no n-ésimo passo a figura terá área
A n = A × ( )
3 n
4 e perímetro Pn = P × ( 3 n.
2)
Estamos perante duas progressões geométricas
de razão 3(< 1) e 3 (> 1) respectivamente, o que significa que quando n → +∞ a área do
4 2
triângulo de Sierpinski tende para zero e o perímetro tende para infinito.
Outras figuras como o “Tapete de Sierpinski” e a “Esponja de Menger” 6 assemelhamse,
pela sua construção, ao triângulo de Sierpinski. Podemos ver o processo de construção
do tapete de Sierpinski no capítulo 3. A esponja de Menger é um fractal tridimensional
obtido a partir de um cubo, onde são retirados sistematicamente outros cubos de modo
semelhante ao que é feito na construção do triângulo de Sierpinski: divide-se o cubo em 27
cubos iguais removendo-se o cubo central e os seis cubos centrais de cada face. Repete-se o
processo em cada um dos cubos restantes e continuando-o indefinidamente, obtemos uma
figura de área infinita e volume zero.
6 Karl Menger (1902-1985), matemático americano com origem austríaca, apresentou uma versão tridimensional
da carpete de Sierpinski”
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