Geometria fractal e aplicações - Faculdade de Ciências

2.1 O conjunto de Cantor
O Conjunto de Cantor também conhecido como Poeira de Cantor desenvolvido por Cantor
é um subconjunto infinito de pontos no intervalo unitário [0,1]. A sua construção numérica
permite-nos obter a ideia de um subconjunto fechado de números reais.
A construção
geométrica permite-nos ter uma melhor percepção deste conceito e leva-nos à estruturação
de um fractal.
Consideremos como figura inicial, o intervalo fechado I 0 = [0, 1], dividimo-lo em 3
partes congruentes e desprezamos o terço médio (ver figura 2.1). Ficamos, desta forma,
com a união disjunta de dois intervalos fechados, I 1 = [0, 1 3 ]∪[ 2 3 , 1] de comprimento 1 3 cada.
Aplicando este processo aos intervalos de extremos 0 e 1 / 3 ; 2 / 3 e 1, ou seja, dividindo cada
um deles em três partes iguais e desprezando o terço médio, obtemos I 2 = [0, 1 9 ] ∪ [ 2 9 , 1 3 ] ∪
[ 2, 7 3 9 ]∪[8, 1] com 4 intervalos congruentes de comprimento 1 cada. Continuando o processo
9 9
para os quatro intervalos obtidos no passo anterior, obtemos 8 intervalos de comprimento
1
cada. Repetindo indefinidamente o processo, iremos obter I 27 N que será constituído pela
união disjunta de 2 N intervalos fechados de comprimento 1
3 N cada.
Desta forma, o conjunto de Cantor, designemos por K, é definido por K =
∞⋂
N=0
I N . E
portanto, é o conjunto de pontos que restam quando repetimos os passos onde se removem
os intervalos até ao infinito. Em particular, K tem comprimento menor do que qualquer
I N cujo comprimento é 2 N × ( 1
3) N
=
( 2
3) N. Como
( 2
3) N
−→ 0 quando N → ∞, então o
comprimento do conjunto de Cantor é zero, o que implica que K não contenha intervalos.
Iremos ver na secção 3.2 que o conjunto de Cantor tem dimensão topológica zero e
dimensão fractal aproximadamente 0,63.
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