Geometria fractal e aplicações - Faculdade de Ciências

Figura 2.5: Divisão de um triângulo equilátero em nove triângulos equiláteros geometricamente
iguais.
– No 2 o passo, temos 3 × 4 novos triângulos cuja área é √ 3
4 × ( 1
9) 2. Logo, o valor da
área da figura é:
A 2 =
√
3
4 + √
3
12 + 3 × 4 × √
3
4 × (1 9 )2 =
√
3
4 + √
3
12 + √
3
12 × 4 9
– No 3 o passo, temos 3 × 4 2 novos triângulos cuja área é √ 3
4 × ( 1
9) 3. Logo, o valor da
área da figura é:
A 3 =
√
3
4 + √
3
12 + √
3
12 × 4 9 +3×42 ×
√ ( ) 3 3 1
4 × =
9
√ √ √
3 3 3
4 + 12 + 12 × 4 √ ( ) 2 3 4
9 + 12 × 9
– No n-ésimo passo, temos 3 × 4 n−1 novos triângulos cuja área é √ 3
4 × ( 1
9) n. Logo, o
valor da área da figura é:
A n =
√ √ √
3 3 3
4 + 12 + 12 × 4 √ ( ) 2 3 4
9 + 12 × +
9
√ ( ) 3
√ ( ) n−1
3 4 3 4
12 × + · · · +
9
12 × 9
Assim, podemos escrever A n como uma soma entre √ 3
4
e os termos de uma progressão
geométrica, B n−1 , de razão 4 9 , com o primeiro termo igual a √ 3
12
termos é:
S n =
√
3
12 × 1 − ( 4
9
1 − 4 9
22
) n
e cuja soma dos n primeiros