You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Uvod 15<br />
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯<br />
Definicija <strong>1.3</strong> Algoritam je eksponencijalne složenosti po vremenu<br />
izvršavanja, ako nije polinomske složenosti.<br />
Na primer, eksponencijalne složenosti su algoritmi sa brojem operacija O(n!),<br />
O(2 n ), itd. Pošto eksponencijalna funkcija, sa porastom n, mnogo brže raste od<br />
polinomske, algoritmi polinomske složenosti su za veće dimenzije n jedini<br />
efikasni u praksi!<br />
Definicija 1.4 Problem kod koga je rešenje oblika DA/NE, se naziva problem<br />
odlučivanja (decision problem).<br />
Primetimo da se svaki problem kombinatorne optimizacije može<br />
preformulisati tako da bude problem odlučivanja. Na primer ako je rešenje<br />
nekog problema optimizacije min( f(x) ) = min 1 tada on formulisan kao problem<br />
odlučivanja glasi: ”Da li važi tvrđenje ((∀x) f(x) ≥ min 1 ) ∧ ((∃x 1 ) f(x 1 ) = min 1 ) ”.<br />
Definicija 1.5 Problem pripada klasi složenosti P, i nazivamo ga problemom<br />
polinomske složenosti, ako se rešava, u opštem slučaju, nekim od poznatih<br />
algoritama polinomske složenosti.<br />
Definicija 1.6 Problem pripada klasi NP, i nazivamo ga problemom<br />
nedeterminističke polinomske složenosti, ako se rešenje datog problema može<br />
verifikovati algoritmom polinomske složenosti. Preciznije, za unapred dato<br />
rešenje se utvrđuje se da li su ispunjeni svi uslovi problema. Pri tome je<br />
potrebno da on bude zadat kao problem odlučivanja, da bi odgovor bio i<br />
formalno (matematički) korektan.<br />
Očigledno je da P⊆NP, jer za svaki problem polinomske složenosti postoji<br />
poznat algoritam polinomske složenosti koji ga rešava, pa time trivijalno takođe<br />
i verifikuje dato rešenje. Pitanje o tome da li je P⊂NP ili P=NP nije ni do danas<br />
razrešeno, i pored mnogobrojnih pokušaja da se dokaže jedno od tih tvrđenja.<br />
Iako ne postoji matematički dokaz da je P≠NP, višegodišnji rezultati istraživanja<br />
navode na hipotezu da NP klasa problema sadrži i neke probleme koji ne<br />
pripadaju klasi P. Detaljnije razmatranje svih aspekata vezanih za složenost<br />
algoritama daleko izlazi izvan okvira ovog <strong>rad</strong>a, a osim već navedenih referenci<br />
može se naći i u [Pap82] i [Ynn97].<br />
1.1.2 NP-kompletni problemi i njihovo optimalno rešavanje<br />
Definicija 1.7 Za problem Q 1 kažemo da je svodiv u polinomskom vremenu na<br />
problem Q 2 ako postoji algoritam polinomske složenosti koji pretvara svaku<br />
interpretaciju problema Q 1 u interpretaciju problema Q 2 tako da imaju analogno<br />
zajedničko rešenje.<br />
Svođenjem u polinomskom vremenu pokazujemo da složenost polaznog<br />
problema nije veća od složenosti drugog problema, ne uzimajući u obzir vreme<br />
izvršavanja algoritma za svođenje, koje je polinomske složenosti. Ovakav<br />
metod predstavlja vrlo moćan aparat za klasifikaciju složenosti NP problema za<br />
koje nije do sada poznat algoritam za rešavanje u polinomskom vremenu.<br />
Definicija 1.7 Problem odlučivanja nazivamo NP-kompletnim ako:
Change language