Detektering og klassificering af kimplanter ved brug af computer vision

18 Appendiks 18.5 Orientering i planet
Dette udtryk indsættes i parameterligningerne (18.3), og der isoleres så forskellene findes:
0
( )
( )
x − x0= sin θ x sin θ−ycos θ+ ρ
y − y = −cos θ x sin θ−ycos θ+ρ (18.7)
Forskellene kan indsættes i udtrykket for ligning (18.4):
( sin ( sin cos ) ) cos ( sin cos )
( sin cos )
( )
2
2 2
r = θ x θ−y θ+ρ + − θ x θ−y θ+ρ
...
2
r x y
= θ− θ+ρ
2
(18.8)
Det ses, at ligningen for (18.8) er lig ligningen for linien, der angiver det mindste inertimoment (hvor
r = 0 ) (18.2). Ligning (18.8) indsættes nu i formlen for inertimomentet (18.1):
( ) 2
∫∫ sin cos ( , )
(18.9)
I = x θ−yθ+ ρ b x y dx dy
Vi ønsker at finde minimum af ovenstående funktion, så derfor differentieres der med hensyn til
ρ og ligningen sættes lig nul:
( )
Axsin θ−ycos θ+ρ = 0
(18.10)
, hvor ( xy , ) er massemidtpunktet i objektet, og A er arealet. Fra formlen ses det at aksen passerer
igennem massemidtpunktet. Derfor kan der med fordel indføres nye koordinater, der gør at
massemidtpunktet bliver centrum i koordinatsystemet:
x′ = x − x , y′ = y − y
Det betyder at følgende gælder:
(18.11)
x sin θ−ycos θ+ρ= x′ sin θ−y′ cos θ (18.12)
Ved indsættelse i (18.9) og udregning af integrale fås:
I A B C
2 2
= sin θ− sin θcosθ+ cos θ (18.13)
Hvor A, B og C er defineret som:
∫∫
∫∫
∫∫
2
( ) ( , )
A = x′ b x y dx′ dy′
2
( ) ( )
B = 2 x′′ y b x, y dx′ dy′
2
( ) ( , )
C = y′ b x y dx′ dy′
Ligningen for inertimomentet kan vha. substitutioner også udtrykkes som:
(18.14)
1 1 1
I = ( A+ C) − ( A−C) cos2θ− Bsin
2θ
(18.15)
2 2 2
Side 90 af 131