Bilag [1,7 MB] - Morten Christiansen

8
APPENDIKS B. LINEÆR ELEMENTMETODE FOR
SKIVEPROBLEMER
der, hvorimellem feltet interpoleres, mens f er en vektor, hvori knudekræfter
implementeres.
De følgende afsnit vil omhandle den generelle fremgangsmåde for opbygning
af et elementmetodeproblem, hvor den styrende differentialligning indledningsvist
bestemmes. Udledningen vil omhandle et todimensionelt skiveelement
af vilkårlig geometri, der enten er udsat for plan tøjnings- eller plan
spændingstilstand. Elementet er reelt tredimensionelt, men kan modificeres
ved at betragte det som todimensionelt med en given tykkelse t.
Tilsvarende udledning kan laves ved andre problemer, eksempelvis et bjælkeproblem,
hvilket der dog ikke behandles i dette projekt.
B.1 Styrende differentialligning
Idet der betragtes plan tøjnings- eller plan spændingstilstand, vil problemstillingen
kunne indlægges i et kartesisk koordinatsystem med hhv. en x- og
y-akse. Hver knude i elementerne har to frihedsgrader, der er bestemt ved en
flytning langs hver af de to akser, ux og uy. En definitionsskitse af problemstillingen
kan ses på figur B.1. På figuren angiver L legemets rand, der kan
have en vilkårlig geometri, A er legemets overfladeareal, b er indre kræfter,
n er en enhedsnormal til randen, og t angiver de ydre kræfter på randen.
Figur B.1: Todimensionelt vilkårligt element indlagt i et kartesisk koordinatsystem.
Relationen mellem tøjninger og spændinger i det vilkårlige element bestemmes
ved Hookes lov, der for det todimensionelle lineært elastiske element er