Bilag [1,7 MB] - Morten Christiansen

26
APPENDIKS B. LINEÆR ELEMENTMETODE FOR
SKIVEPROBLEMER
vælges at fordele belastningen efter formfunktionerne, hvorfor t kan skrives
som:
t = 1
⎡
q2
· N ⎣ q6
t
⎤
⎦ (B.61)
hvor q2, q3 og q6 er knudelasterne på hhv. knude 2, 3 og 6. For knudelasterne
gælder, at q2 = q6 = q3 = q, da elementet påvirkes af en jævnt fordelt
linielast. Da formfunktionerne er givet i isoparametriske koordinater, skal
integrationen i formel B.60 ændres til:
dL = L
dη (B.62)
2
hvor L er længden, der kan ses på figur B.11, hvilken kun gælder ved lige
elementsider, der er tilfældet i nærværende projekt. Ved at indføre t iformel
B.60 og integrere op over η, som kan antage værdierne mellem -1 og 1, kan
knudekræfterne findes af:
⎡
⎣
f2
f6
f3
⎤
⎦ = L
2
q3
1
N T ⎡
N dη ⎣
−1
q
q
q
⎤
⎦ (B.63)
Den transponerede formfunktion, N T , for de tre knuder er givet ved:
⎡
N T = ⎣
N2
N3
N6
⎤
⎡
⎦ = ⎣
− 1
4
− 1
4
N6
(1 + ξ)(1 − η)(1 − ξ + η)
(1 + ξ)(1 + η)(1 − ξ − η)
1
2 (1 + ξ)(1 − η2 )
⎤
⎦ (B.64)
På den højre rand, hvor lasten påvirker, er ξ =1, hvormed formfunktionerne
kan reduceres til:
N T ⎡ ⎤ ⎡
N2 −
= ⎣ N3 ⎦ = ⎣
1
2η(1 − η)
1
2η(1 + η))
1 − η2 ⎤
⎦ (B.65)
Ved at indsætte formfunktionerne i formel B.63 og udføre integrationen kan
knudekræfterne findes til:
⎡ ⎤
f2
⎣ f6 ⎦ = L
⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
4 2 −1 q
⎣ 2 16 2 ⎦ ⎣ q ⎦ = ⎣ ⎦ (B.66)
30
−1 2 4 q
f3
1
6 qL
2
3 qL
1
6 qL
De fundne knudekræfter kan efterfølgende påføres i patchtesten, hvilket kan
sespåfigurB.12
Ved beregning af patchtesten i elementmetodeprogrammet fremkommer en
deformationsfigur svarende til figur B.13.