Bilag [1,7 MB] - Morten Christiansen

10
B.2 Svag formulering
APPENDIKS B. LINEÆR ELEMENTMETODE FOR
SKIVEPROBLEMER
For at opnå den generelle løsningsform opstillet i formel B.1, skal den opstillede
differentialligning modificeres. Dette gøres ved at multiplicere med
en vilkårlig vægtfunktion v(x,y) og integrere op over legemet. Multiplikationen
med en vilkårlig vægtfunktion er tilladelig, idet formel B.8 og B.9 er
homogene. I x-aksens retning fås således:
A
vxbxtdA+
vx
A
∂σxx
∂x tdA+
vx
A
∂σxy
tdA=0 (B.10)
∂y
hvor A og t er hhv. arealet og tykkelsen af det todimensionelle legeme. Ved
hjælp af Green-Gauss sætning kan formel B.10 skrives:
∂vx
vxbxtdA−
A
A ∂x σxx + ∂vx
∂y σxy
tdA+ vxtxtdL =0 (B.11)
L
Tilsvarende kan gøres i y-aksens retning, og ved at addere de to udtryk fås
følgende udtryk:
∂vx
(vxbx + vyby)tdA−
A
A ∂x σxx + ∂vx
∂y σxy + ∂vy
∂y σyy + ∂vy
∂x σxy
tdA+
(vxtx + vyty)tdL =0
L
(B.12)
På matrixform kan ovenstående ligevægtsligning for et todimensionelt vilkårligt
legeme skrives:
(
A
˜ ∇v) T
σ · tdA− v
L
T
t · tdL − v
A
T b · tdA=0 (B.13)
hvor vektoren ( ˜ ∇v) er givet ved:
⎡
( ˜ ⎢
∇v) = ⎢
⎣
∂vx
∂y
∂vx
∂x
∂vy
∂y
+ ∂vy
∂x
⎤
⎥
⎦
(B.14)
I formel B.13 angiver andet led overfladebelastninger, mens tredje led angiver
volumenbelastninger, såsom tyngdekraften. Den vilkårlige vægtfunktion
v(x,y) skal vælges således, at den er én gang differentiabel og er defineret
over hele legemets udbredelse.