Bilag [1,7 MB] - Morten Christiansen

12
APPENDIKS B. LINEÆR ELEMENTMETODE FOR
SKIVEPROBLEMER
På kompakt form kan formel B.21 skrives:
hvor følgende størrelser er indført:
K =
fb =
fl =
A
L
A
K a = fb + fl
B T D B · tdA=
N T t · tdL =
N T b · tdA=
n
i=1
n
i=1
n
i=1
Ai
Li
Ai
(B.22)
B eT D B e · tdA (B.23)
N eT t e · tdL (B.24)
N eT b e · tdA (B.25)
I udtrykkene er K stivhedsmatricen, fb er en vektor med kræfter på randen,
og fl er en vektor med indre laster, n er antallet af elementer, mens notationen
() e angiver, at det er for ét element. Ved at indføre f = fb + fl fås
den generelle løsningsform til et elementmetodeproblem for lineært elastiske
statiske problemer, som angivet i formel B.1.
I elementmetoden ønskes det, at løsningen er eksakt ved anvendelse af uendeligt
små elementer, også kaldet konvergenskriteriet. For at sikre dette skal
formfunktionen, N, sikre, at følgende krav er opfyldt:
• Delelementets flytning, u, skal kunne repræsentere en vilkårlig stivlegemet
bevægelse.
• Delelementets flytning, u, skal kunne repræsentere en konstant tøjningstilstand.
• Delelementets flytning, u, skalværekontinuertoverelementgrænserne.
B.3.1 Løsning af elementmetodeproblem
Det ønskes at løse ligningssystemet i formel B.1 ved indføring af passende
randbetingelser, der er påsat som enten kendte knudekræfter eller kendte
flytninger, så det sikres, at der er samme antal ligninger som antallet af
ubekendte. Når ligningssystemet er opstillet, løses indledningsvist det for de
primære ubekendte, hvilket er flytningerne. Betragtes følgende ligningssystem:
K11 K a1 f
12 = 1
(B.26)
K K a
21 22 2 f
2