Bilag [1,7 MB] - Morten Christiansen

24
APPENDIKS B. LINEÆR ELEMENTMETODE FOR
SKIVEPROBLEMER
B.5 Opfyldelse af konvergenskriterier
Det ønskes at deformationerne og knudekræfterne konvergerer mod en eksakt
løsning ved anvendelse af uendeligt mange elementer, hvorfor de tre kriterier
opskrevet i afsnit B.3 skal være overholdt. Der udføres derfor en patchtest
og en egenværditest for at undersøge, om elementtyperne hhv. kan antage en
konstant tøjningstilstand samt alle mulige stivlegemede bevægelser.
B.5.1 Patchtest
For at sikre at stivhedsmatricerne for elementtyperne er beregnet korrekt,
udarbejdes der en patchtest efter anvisningerne i Concepts and applications
of finite element analysis [Cook et al. 2002, s. 111-113, 238-240]. En patchtest
opbygges for hver elementtype og forklares i det følgende for det isoparametriske
8-knuders element. Formålet med testen er at undersøge, om elementet
er i stand til at antage en konstant tøjningstilstand. I patchtesten opbygges et
kvadrat af elementer, og det understøttes på en sådan måde, at det er statisk
bestemt. Derudover skal der være mindst én indvendig knude, som hverken
er belastet eller understøttet. Programmet, der er anvendt til patchtesten,
kan findes i programmappe 3
Legemet påføres en spændingstilstand i form af en linielast, q. Patchtesten
udføres for enakset spændingstilstand i hhv. x- ogy-retningen samt ren
forskydning.
Elementopbygningen for en patchtest for et isoparametrisk 8-knuders element,
udsat for enakset spændingstilstand i x-retningen, kan ses på figur
B.10.
Lasten, q, skal fordeles ud på knuderne 5, 8, 13, 16 og 21, hvilket gøres ved
at tage udgangspunkt i følgende formel, jf. afsnit B.3:
fb = N T t · tdL (B.60)
L
hvor fb er knudekræfterne, N T er den transponerede af formfunktionen, t er
tykkelsen, t er lastvektoren på randen, og L angiver legemets rand. Til at
beregne knudekræfterne, fb, anvendes et isoparametrisk element med koordinaterne
ξ og η, som er påvirket af linielasten, q, på den højre rand, hvilket
kan ses på figur B.11.
Ud fra figuren kan det ses, at linielasten kun påvirker knuderne 2, 3 og 6,
hvorfor det kun er nødvendigt at bestemme knudekræfterne for disse. Det