Bilag [1,7 MB] - Morten Christiansen

22
APPENDIKS B. LINEÆR ELEMENTMETODE FOR
SKIVEPROBLEMER
B.4.2 Bestemmelse af stivhedsmatrix vha. Gauss integration
Det følgende omhandler beregningen af elementstivhedsmatricen, K e ,ved
brug af Gauss kvadraturet, der er en numerisk integrationsmetode. Som
litteratur anvendes Introduction to the finite element method [Ottosen &
Petersson 1992, s. 391-396].
Integralet, der skal løses til bestemmelse af stivhedsmatricen, kan betragtes
som en funktion, hvor det ønskes at finde arealet under kurven. Betragtes
indledningsvist en given funktion i et interval, kan denne inddeles i en række
rektangler med en given højde, hvormed der ved en tilpas fin inddeling kan
opnås en approksimativ løsning, der nærmer sig eller bliver lig den eksakte
værdi.
Der udvælges en række punkter i intervallet fra -1 til 1, hvilket er det interval,
hvori de isoparametriske koordinater er at finde. På figur B.8 kan
et endimensionelt tilfælde betragtes, hvor det ønskes at bestemme arealet
under det vilkårlige polynomium f(ξ).
Figur B.8: Numerisk integration af polynomium ved brug af to integrationspunkter.
På figur B.8 udvælges nogle punkter, ξi, i det angivne interval, hvori funktionsværdien
f(ξi) kendes. Hvert af punkterne ligger på centerlinien for et
rektangel med en given bredde, Wi. Betragtes eksemplet med to integrationspunkter,
jf. figur B.8, kan arealet under kurven, A, approksimativt udregnes
ved:
2
A f(ξi) · Wi
(B.58)
i=1
Ved brug af Gauss kvadraturet vælges både integrationspunkterne samt bredden
på rektanglerne. Ved dette kan der med et passende valg af integrationspunkter
opnås en eksakt løsning til et polynomium af størrelsesordenen