Bilag [1,7 MB] - Morten Christiansen

B.4. ELEMENTSTIVHEDSMATRIX FOR 8-KNUDERS ELEMENT 21
Herefter kan matricen DN,exp findes som:
DN,exp =
⎡
∂N1
⎢ ∂ξ
⎢ ∂N1
⎢
∂η
⎢ 0
⎢
⎣
0
0
0
∂N1
∂ξ
∂N1
∂η
∂N2
∂ξ
∂N2
∂η
0
0
0 ···
0 ···
∂N2
∂ξ
∂N2
∂η
∂N8
∂ξ
∂N8
∂η
··· 0
··· 0
⎤
0
⎥
0 ⎥ ∂N8 ⎥
∂ξ ⎥
∂N8 ⎦
∂η
(B.54)
Ved hjælp af Jacobian matricen, jf. formel B.38, kan den ekspanderede Jacobian
matrix, J −1
exp, findes som:
hvor J −1 er givet ved:
J −1
J −1 0
exp =
0 J −1
J −1 = 1
J22 −J12
detJ −J21 J11
(B.55)
(B.56)
hvor determinanten til J, det J, kaldes Jacobianen, og relaterer arealer i
kartesiske og isoparametriske koordinater ved: [Ottosen & Petersson 1992, s.
376 -380]
dA = dξ · dη · detJ (B.57)
For de isoparametriske elementer kan integralet i formel B.48 ikke løses analytisk,
hvorfor det i stedet løses ved numerisk integration. Til dette benyttes
Gauss kvadraturet, der forklares i afsnit B.4.2.
Når elementstivhedsmatricen, K e , vha. formel B.48, er fundet for alle elementerne,
kan den globale stivhedsmatrix findes ved at addere elementstivhedsmatricerne
således, at de passer med de respektive knudeflytninger og
-kræfter.
Randbetingelsesvektoren, f e
e
, og lastvektoren, f , for ét element kan bestem-
b l
mes ved formel B.24 og B.25, idet formfunktionerne, N e , og de øvrige størrelser,
der indgår, kan udtrykkes ved variablerne ξ og η, da relationerne
x = x(ξ,η) og y = y(ξ,η) anvendes.
Ligningssystemet, K a = f, kan herefter løses ved at indføre passende randbetingelser.