Bilag [1,7 MB] - Morten Christiansen

34 APPENDIKS C. ELIMINERING AF KNUDER
hvor σαβ er spændingen, δεαβ er den virtuelle tøjning, bα er de indre kræfter,
δuα er den virtuelle udbøjning, og tα er den ydre belastning. Idet der ses bort
fra indre kræfter, bα, og de konstitutive ligninger indsættes, σαβ = Eαβγδεγδ,
kan det virtuelle arbejdes princip omskrives til:
Eαβγδεγδδεαβ dA −
A
S
tαδuα dS =0 (C.2)
hvor Eαβγδ er den konstitutive tensor, og εγδ er tøjningen. Ovenstående
udtryk er identisk med:
δΠP =0 (C.3)
hvor δΠP er variationen af den potentielle energi. Dermed er den svage formulering
i afsnit B.2 opfyldt i tilfælde af, at ændringen i den potentielle
energi er nul.
I det følgende tages der udgangspunkt i den potentielle energi, ΠP ,derfor
et element er givet ved:
ΠP = 1
2 aT K a − a T f (C.4)
Til bestemmelse af teorien bag interne knuders elimination er Elementary
Continuum Mechanics for Everyone Vol. 2 [Byskov 2002, s. 402-405] anvendt.
Ved at finde minimum af den potentielle energi, δΠP =0,fremkommer
elementmetodens generelle ligningssystem for lineære materialer, idet
δΠP =Πp(a + δa) − Πp(a):
K a = f (C.5)
Det ønskes at komme frem til en tilsvarende ligning, hvor kun de eksterne
knudeflytninger og knudekræfter indgår. De interne og eksterne knudeflytninger,
ai og ae, ønskes derfor bestemt ud fra følgende:
ai = Ti a (C.6)
ae = Te a (C.7)
hvor matricerne Ti og Te kæder hhv. de interne og eksterne knudeflytninger,
ai og ae, sammen med de samlede knudeflytninger, a. I kapitel 15 i rapporten
erdervisteteksempel,hvorpåTiog Te bestemmes for en given geometri. Ved
anvendelse af formel C.6 og C.7 kan de samlede knudeflytninger, a, findes
som:
a = Ti T ai + Te T ae
(C.8)
Ved indsættelse af formel C.8 i udtrykket for potentiel energi, formel C.4,
fås:
ΠP = 1
ai
2
T Ti ae T
Ti
Te K
T ai
Te T ae
− ai T Ti ae T
Ti f (C.9)