Parallelitätskriterium - Mone Denninger

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4 ANALYTISCHE GEOMETRIE DER KEGELSCHNITTE Beispiel 18 (NOVAK3,S10,17c). Die Schnittpunkte S1 und S2 der Ellipse ell: x2 +4y 2 = 25 mit der Geraden g[Q(1|0), k = − 1] sind zu bestimmen! 2 g: x = 2 − y + 1 y = kx + d 0 = − 1 · 1 + d 2 d = 1 2 g: y = − 1 1 x + 2 2 ell ∩ g : (1 − 2y) 2 + 4y 2 = 25 1 − 4y + 4y 2 + 4y 2 = 25 8y 2 − 4y − 24 = 0 | : 4 2y 2 − y − 6 = 0 y1,2 = −b ± √ b 2 − 4ac 2a y1,2 = 1 ± √ 1 + 48 4 y1 = 2 y2 = − 3 2 x1 = −3 x2 = 4 S1(−3|2) S2(4| − 3 2 ) Beispiel 19 (NOVAK3,S10,18). Die Ellipse ell: 9x 2 + 16y 2 = 144 ist ein Rechteck mit der Seitenlänge l = 2 √ 7 einzuschreiben. Berechne Flächeninhalt A und Umfang u des Rechtecks! P( √ 7|y) ∈ ell 9x 2 + 16y 2 = 144 9 · 7 + 16 · y 2 = 144 16y 2 = 81 y = 9 4 P( √ 7| 9 4 ) AnalytischeGeometrie 36 http://mone.denninger.at 17d ??
4 ANALYTISCHE GEOMETRIE DER KEGELSCHNITTE Herleitung der Berührbedingung der Ellipse Sollte die Gerade t eine Tangente an die Ellipse ell sein, dann haben t und ell genau einen Schnittpunkt. ell: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 t: y = k · x + d Wir schneiden die Tangente mit der Ellipse: b 2 x 2 + a 2 (kx + d) 2 = a 2 b 2 b 2 x 2 + a 2 (k 2 x 2 + 2dkx + d 2 ) = a 2 b 2 b 2 x 2 + a 2 k 2 x 2 + 2a 2 dkx + a 2 d 2 = a 2 b 2 (b 2 + a 2 k 2 ) · x 2 + (2a 2 dk) · x + (a 2 d 2 − a 2 b 2 ) = 0 Setzten wir nun die Koeffizienten in die große Lösungsformel ein, dann muss (damit wir nur einen Schnittpunkt erhalten) der Ausdruck unter der Wurzel – die Diskriminante – null sein! D = b 2 − 4ac = 0 (2a 2 dk) 2 − 4 · (b 2 + a 2 k 2 ) · (a 2 d 2 − a 2 b 2 ) = 0 4a 4 d 2 k 2 − 4 · (a 2 b 2 d 2 − a 2 b 4 + a 4 d 2 k 2 − a 4 b 2 k 2 ) = 0 4a 4 d 2 k 2 − 4a 2 b 2 d 2 + 4a 2 b 4 − 4a 4 d 2 k 2 + 4a 4 b 2 k 2 = 0 −4a 2 b 2 d 2 + 4a 2 b 4 + 4a 4 b 2 k 2 = 0 | : 4a 2 b 2 −d 2 + b 2 + a 2 k 2 = 0 | + d 2 a 2 k 2 + b 2 = d 2 AnalytischeGeometrie 37 http://mone.denninger.at
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