Parallelitätskriterium - Mone Denninger
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4 ANALYTISCHE GEOMETRIE DER KEGELSCHNITTE<br />
4.6 Konfokale Kegelschnitte<br />
Definition 22. Zwei Kegelschnitte heißen konfokal, wenn sie gemeinsame Brennpunkte haben.<br />
Beispiel 23. Die Gerade t: 2x + 3y = 25 ist Tangente an eine ell (in 1. Hauptlage) mit<br />
e = 5 √ 3. Eine konvokale Hyperbel geht durch den Berührpunkt B der Geraden t mit der<br />
Ellipse. Zeige, dass die Ellipse und die Hyperbel einander in B rechtwinklig schneiden!<br />
t: y = − 2 25 x + 3 3<br />
Ellipse:<br />
• e2 = a2 − b2 = 75 ⇒ a2 = 75 + b2 • a2 · − 2<br />
2 <br />
2 25 2<br />
+ b = 3<br />
3<br />
Berührpunkt B: ell ∩ t:<br />
4<br />
9 a2 + b 2 = 252<br />
9<br />
4a 2 + 9b 2 = 625<br />
300 + 4b 2 + 9b 2 = 625<br />
x 2 <br />
4<br />
+ 4<br />
13b 2 = 325<br />
b 2 = 25 a 2 = 100<br />
ell: 25x 2 + 100y 2 = 2500<br />
ell: x 2 + 4y 2 = 100<br />
x 2 <br />
+ 4<br />
2<br />
− 2 25<br />
x + = 100<br />
3 3<br />
9 x2 − 100<br />
<br />
625<br />
x + = 100<br />
9 9<br />
9x 2 + 16<br />
9 x2 − 400x + 2500 = 900<br />
25x 2 − 400x + 1600 = 0<br />
x 2 − 16x + 64 = 0<br />
x1,2 = 8± √ 64 − 64<br />
x = 8 B(8|3)<br />
AnalytischeGeometrie 44 http://mone.denninger.at
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