Parallelitätskriterium - Mone Denninger

4 ANALYTISCHE GEOMETRIE DER KEGELSCHNITTE
Herleitung der Berührbedingung der Ellipse
Sollte die Gerade t eine Tangente an die Ellipse ell sein, dann haben t und ell genau einen
Schnittpunkt.
ell: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 t: y = k · x + d
Wir schneiden die Tangente mit der Ellipse:
b 2 x 2 + a 2 (kx + d) 2 = a 2 b 2
b 2 x 2 + a 2 (k 2 x 2 + 2dkx + d 2 ) = a 2 b 2
b 2 x 2 + a 2 k 2 x 2 + 2a 2 dkx + a 2 d 2 = a 2 b 2
(b 2 + a 2 k 2 ) · x 2 + (2a 2 dk) · x + (a 2 d 2 − a 2 b 2 ) = 0
Setzten wir nun die Koeffizienten in die große Lösungsformel ein, dann muss (damit wir nur
einen Schnittpunkt erhalten) der Ausdruck unter der Wurzel – die Diskriminante – null sein!
D = b 2 − 4ac = 0
(2a 2 dk) 2 − 4 · (b 2 + a 2 k 2 ) · (a 2 d 2 − a 2 b 2 ) = 0
4a 4 d 2 k 2 − 4 · (a 2 b 2 d 2 − a 2 b 4 + a 4 d 2 k 2 − a 4 b 2 k 2 ) = 0
4a 4 d 2 k 2 − 4a 2 b 2 d 2 + 4a 2 b 4 − 4a 4 d 2 k 2 + 4a 4 b 2 k 2 = 0
−4a 2 b 2 d 2 + 4a 2 b 4 + 4a 4 b 2 k 2 = 0 | : 4a 2 b 2
−d 2 + b 2 + a 2 k 2 = 0 | + d 2
a 2 k 2 + b 2 = d 2
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