Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

Komplexitätstheorie - Wintersemester 2010/2011 95 s(a1) 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 w1 w2 x1 x2 y1 y2 s(a2) 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 eine Zone s(a3) 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 m1 = (w2,x1,y1) f(1) = 2, g(1) = h(1) = 1! m2 = (w1,x2,y1) m3 = (w1,x2,y2) Abbildung 4.14: Die Größen s(ai) im Beispiel Frage: Gibt es eine Zerlegung von V in disjunkte Mengen V1,V2,...,Vq mit je 3 Elementen, so dass für alle Vi = {vi[1],vi[2],vi[3]} (mit 1 ≤ i ≤ q) gilt: { {vi[1],vi[2]} , {vi[2],vi[3]} , {vi[3],vi[1]} } ⊆ E ? Beispiele: siehe Abbildung 4.15. Nein-Instanz (q = 2): Ja-Instanz (q = 2): Satz 4.6.7 NP-Vollständigkeit von ZD ZD ist NP-vollständig. Beweis: Abbildung 4.15: Beispiele zur Zerlegung in Dreiecke ZD ∈ NP: Durch einen (offensichtlichen) polynomiellen guess-and-check-Algorithmus. ZD ist NP-hart: Wir benutzen das Problem 4.6.3 und zeigen X3C ≤p ZD. 4.6.6
96 Vorlesungsskript von E. Best / Stand: 17. Januar 2011 Sei Z eine Menge mit |Z| = 3·q und sei C eine Familie von dreielementigen Teilmengen von Z. Dies definiert eine Instanz von X3C. Wir konstruieren einen Graphen G = (V,E) mit |V| = 3·q ′ , d.h., eine Instanz von ZD, so dass Z genau dann eine genaue Überdeckung hat, wenn G in Dreiecke zerlegbar ist. Sei ci ∈ C mit ci = {xi,yi,zi} ein Element von C. Dazu werden Knoten und Kanten wie in Abbildung 4.16 eingeführt. ai[1] ai[2] ai[3] ai[6] ai[4] ai[5] ai[9] ai[7] xi yi zi ai[8] Abbildung 4.16: Teilgraph für ein Element ci ∈ C in einer Instanz von X3C G sei die Vereinigung dieser Graphen (Achtung: sie können an den unteren Rändern zusammenhängen). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass jedes z ∈ Z in einem ci ∈ C vorkommt (sonst liegt eine ” Nein“-Instanz von X3C vor). Also gilt |V] = |Z| unterer Rand +9·|C| Rest = 3·q +9|C| = 3·q ′ mit q ′ = q +3·|C|. Nehmen wir an, dass Z eine genaue Überdeckung C ′ ⊆ C hat. Dann ist die Zerlegung in Abbildung 4.17 eine Zerlegung in Dreiecke von G. Damit ist jeder Knoten in genau einem Dreieck. Nehmen wir an, dass G eine genaue Zerlegung in Dreiecke hat. Dann konstruieren wir eine Menge C ′ ⊆ C auf folgende Weise: ci ∈ C ′ gdw. {ai[3],ai[6],ai[9]} ist ein Dreieck der Zerlegung. Damit ist C ′ eine genaue Überdeckung von Z. Somit gilt: (X,C) ist eine Ja-Instanz von X3C genau dann, wenn der entsprechende Graph eine Ja- Instanz von ZD ist. Außerdem ist die Konstruktion polynomiell, was den Beweis beendet. 4.6.7 Problem 4.6.8 Rucksackproblem RUCK Gegeben: Eine endliche Menge U, eine Größe s(u) ∈ N und ein Wert v(u) ∈ N für jedes u ∈ U, eine obere Schranke B ∈ N für die Größe und eine untere Schranke K ∈ N für den Wert. Frage: Gibt es eine Teilmenge U ′ ⊆ U mit s(u) ≤ B und v(u) ≥ K ? u∈U ′ u∈U ′ Ein Beispiel ist in Abbildung 4.18 gezeigt. 4.6.8
Seite 1 und 2:
Komplexitätstheorie Vorlesungsskri
Seite 4 und 5:
Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1
Seite 6 und 7:
Kapitel 1 Grundlagen 1.1 Einleitung
Seite 8 und 9:
Komplexitätstheorie - Wintersemest
Seite 10 und 11:
Seite 12 und 13:
Seite 14 und 15:
Seite 16 und 17:
Seite 18 und 19:
Seite 20 und 21:
Seite 22 und 23:
Kapitel 2 Algorithmenmodelle 2.1 En
Seite 24 und 25:
Seite 26 und 27:
Seite 28 und 29:
Seite 30 und 31:
Seite 32 und 33:
Seite 34 und 35:
Seite 36 und 37:
Seite 38 und 39:
Seite 40 und 41:
Seite 42 und 43:
Seite 44 und 45:
Seite 46 und 47:
Kapitel 3 Raum- und Zeitkomplexitä
Seite 48 und 49:
Seite 50 und 51: Komplexitätstheorie - Wintersemest
Seite 72 und 73: Kapitel 4 Die Klassen P, NP, NPC un
Seite 126 und 127: Kapitel 5 Schaltkreiskomplexität M
Seite 150 und 151:
Seite 152:
Alle anzeigen

Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?