Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

12 Vorlesungsskript von E. Best / Stand: 17. Januar 2011
eine vernünftige Identifikation ist.
Ein Entscheidungsproblem besteht intuitiv aus:
• einer abzählbaren Menge X von Instanzen des Problems (das können beliebige mathematische
Objekte sein, z.B. Graphen; logische Formeln; natürliche Zahlen; Paare von Grammatiken; Paare
von Listen von 0/1-Wörtern; usw.);
• undeinerEigenschaft,diedieseObjekteerfüllenkönnen( ” Ja-Instanz“)odernicht( ” Nein-Instanz“)
(z.B. die Existenz eines Hamiltonschen Kreises in einem Graph; die Erfüllbarkeit einer Formel; die
Eigenschaft einer natürlichen Zahl, gerade zu sein; die Eigenschaft zweier Grammatiken, die gleiche
Sprache zu generieren; eine Postsche Korrespondenz zu haben; usw.).
Dann kann ein Entscheidungsproblem als ein Paar (X,Y) mit Y ⊆ X angesehen werden. Dabei stellt
die Menge X die Menge aller Instanzen dar, die Menge Y die ” Ja“-Instanzen, und die Menge X\Y die
Menge der ” Nein“-Instanzen.
Betrachten wir als Beispiel die Eigenschaft einer natürlichen Zahl, gerade zu sein. In diesem Fall sind
X = N und Y = {0,2,4,...}. Als Paar von Eingabe/Frage formuliert, wie in Abschnitt 1.3, stellt sich
dieses Problem folgendermaßen dar:
• Eingabe: Eine natürliche Zahl x ∈ N.
• Frage: Ist x durch 2 teilbar?
Um X = N darzustellen, benutzt man schon seit langer Zeit Zeichenketten. Üblich ist bei uns die Dezimaldarstellung,
nach der jede natürliche Zahl als Zeichenkette über dem endlichen Alphabet
Σdez = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
dargestellt wird. Diese Darstellung ist allerdings noch nicht einmal eine Funktion von N nach
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ∗ . Zum Beispiel hat die natürliche Zahl fünf die unendlich vielen Darstellungen
5, 05, 005 etc. Aber das macht nichts; es handelt es sich trotzdem um eine gute Codierung. Auch gut
ist die Codierung natürlicher Zahlen als Dualzahlen über dem Alphabet Σdual = {0,1}, obwohl auch hier
eine Zahl mehrere Darstellungen hat (z.B. 101, 0101, 00101, usw., für die Zahl fünf). Ebenfalls möglich
ist die Darstellung einer natürlichen Zahl über dem ” Strichalphabet“ Σunär = {|}. Man kann die Zahl
null als das leere Wort ε darstellen, die Zahl eins als |, die Zahl zwei als ||, die Zahl fünf als |||||, usw.
Diese Darstellung ist tatsächlich eine (sogar umkehrbare) Funktion, sie ist aber nicht gut. Warum nicht,
wird später erklärt.
Codiert man die Elemente von X also allgemein als eine Menge von Wörtern, dann ist X als Sprache
auffassbar und Y als eine Teilsprache davon. Ein Entscheidungsproblem (X,Y) algorithmisch zu lösen
bedeutet, eine Maschine oder ein Programm anzugeben, das für ein Wort x ∈ X als Eingabe entscheidet,
ob x ∈ Y oder ob x ∈ X\Y.
Auch andere Probleme können unter Umständen als Entscheidungsprobleme aufgefasst werden, z.B. das
Problem ” berechne 2·x für x ∈ N“:
X = N×N und Y = {(x,y) | x,y ∈ N∧y = 2·x}.