Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

Komplexitätstheorie - Wintersemester 2010/2011 83
Lemma 4.5.7 Polynomielle Reduktion von KÜ, CLIQUE und UM
Sei G = (V,E) ein Graph und sei V ′ ⊆ V. Dann sind äquivalent:
(i) V ′ ist Knotenüberdeckung.
(ii) V \V ′ ist Unabhängigkeitsmenge.
(iii) V \V ′ ist Clique im Komplementgraph G C = (V,(V×V)\E) von G.
Beweis: Sehr leicht zu sehen. 4.5.7
Also zieht jeder Algorithmus zur Lösung eines der Probleme KÜ, CLIQUE oder UM unmittelbar auch
einen Algorithmus zur Lösung der beiden anderen nach sich, denn der Komplementgraph ist polynomiell
konstruierbar. Die drei genannten Probleme sind also polynomiell aufeinander reduzierbar.
Wir zeigen im Folgenden die NP-Vollständigkeit des Problems Knotenüberdeckung.
Satz 4.5.8 NP-Vollständigkeit von KÜ
KÜ ist NP-vollständig.
Beweis: Dass KÜ in NP liegt, ist, wie gesagt, einfach zu zeigen: man rät eine Menge V ′ ⊆ V und prüft
die gewünschte Eigenschaft. Dies ist kein deterministischer polynomieller Algorithmus, weil es zu einer
Menge exponentiell viele (in der Anzahl der Elemente) Teilmengen gibt.
Um die NP-Härte zu zeigen, reduzieren wir von 3SAT, d.h., wir zeigen 3SAT ≤p KÜ.
Sei F = c1∧...∧cm eine Instanz von 3SAT mit Variablen U = {u1,...,un}. Wir konstruiereneinen Graphen
G = (V,E) und eine Zahl K ≤ |V|. Für jede Variable ui ∈ U führen wir zwei Knoten Vi = {ui,ui}
und eine Kante Ei = {{ui,ui}} ein. Jede Knotenüberdeckung muss mindestens ui oder ui enthalten. Für
jede Klausel cj in F (|cj| = 3!) führen wir einen Teilgraphen (V ′
j ,E′ j
V ′
j
E ′ j
= {a1[j],a2[j],a3[j]}
= {{a1[j],a2[j]},{a1[j],a3[j]},{a2[j],a3[j]}}
Jede Überdeckung muss mindestens zwei Knoten aus V ′
j enthalten.
Sei cj = {xj,yj,zj} mit den Literalen xj,yj,zj.
Wir führen neue Kanten E ′′
j ein:
E ′′
j
= {{a1[j],xj},{a2[j],yj},{a3[j],zj}}.
Dann setzen wir K = n+2m und G = (V,E) mit
V = n
Vi ∪ m
V ′
i=1
j=1
E = n
Ei ∪ m
i=1
Beispiel: (siehe Abbildung 4.6)
U = {u1,u2,u3,u4}
j
(E
j=1
′ j ∪E′′
j ).
F = (u1 ∨u3 ∨u4)∧(u1 ∨u2 ∨u4).
) ein: