Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

30 Vorlesungsskript von E. Best / Stand: 17. Januar 2011
• Das Eingabewort w wird an einer sicheren Stelle gespeichert, z.B. eingeschlossen zwischen Sonderzeichen:
$lw$r. Links davon werden Wörter u über dem Alphabet {1,...,r} in systematischer
Reihenfolge gemäß dem Prinzip der Breitensuche, also
” der Länge nach, kürzere zuerst, und bei gleicher Länge in lexikographischer Ordnung“,
also ε, 1, 2, ..., r, 11, 12, ..., 1r, 21, ..., ..., rr, 111, ... usw.,
erzeugt. Da das Band von det(M) nach links unendlich ist, steht stets genug Platz zur Erzeugung
solcher Wörter u zur Verfügung. Jeder endliche Pfad im Konfigurationsbaum von M(w) entspricht
einem solchen u. Z.B. bedeutet u = 1332: an der Wurzel die erste Alternative wählen, danach
die dritte, dann wieder die dritte, danach die zweite. Es kann sein, dass eines der erzeugten u
keine Auswahl darstellt, aber andersherum (und das ist entscheidend) ist jeder Knoten durch eine
solche Auswahl erreichbar. Gegeben ein Wort u ∈ {1,...,r} ∗ , simuliert det(M) rechts neben $lw$r
genau den Pfad des Konfigurationsbaums von M(w) der durch u beschrieben wird (falls ein solcher
Pfad vorhanden ist). det(M) hält im Endzustand, wenn der aktuell simulierte Pfad auf ein Blatt
des Konfigurationsbaums von M mit q0w als Wurzel führt, das eine akzeptierende Konfiguration
darstellt:
input w;
u := ε;
do simuliere M(w) mit Hilfe der Auswahl u;
if Auswahl führt auf ein Blatt mit akzeptierender Konfiguration → halte
else → skip
fi;
generiere nächstes u
od.
Der else-Fall in der inneren if-Anweisung kann eintreten, wenn u zu einer Konfiguration von M
führt, die nicht akzeptiert oder wenn u zu keiner Konfiguration von M führt, weil der tatsächliche
Grad des Nichtdeterminismus in M kleiner ist als r. det(M) kann in der do...od-Anweisung in
eine unendliche Schleife geraten kann, nicht aber in der Simulation von M(w), da diese Simulation
von u kontrolliert wird. 2.2.6
Die Breitensuche wird gewählt, weil gewährleistet werden muss, dass jeder Knoten des Konfigurationsbaums
von M(w) tatsächlich von det(M), angesetzt auf w, erreicht wird; würde stattdessen die Tiefensuche
gewählt, könnte es vorkommen, dass ein unendlich langer Ast des Baumes durchlaufen wird und eine
daneben liegende akzeptierende Konfiguration ” nicht gesehen“ wird. Insbesondere wird von det(M), angesetzt
auf w, jeder akzeptierende Knoten von M(w) auch besucht, und det(M) stoppt dann. Bei anderen
Knoten stoppt det(M) nicht, selbst wenn diese anderen Knoten w verwerfen oder wenn sie Stopp-Knoten
von M(w) sind. D.h., die obige Konstruktion führt zu einer simulierenden deterministischen Maschine,
die genau dann stoppt, wenn ein akzeptierender Knoten der simulierten nichtdeterministischen Maschine
erreicht wird.
2.2.5 Turingmaschinen als Sprachakzeptoren
Wir definieren nun die Verwendung einer Turingmaschine zum Akzeptieren von Sprachen (und kommen
damit zur Signifikanz der Parameter Σ und qa,qr in der Turingmaschinendefinition). Gegeben sei ein