Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

32 Vorlesungsskript von E. Best / Stand: 17. Januar 2011
Also w ∈ L(M) genau dann, wenn w ∈ L(det(M)), was L(M) = L(det(M)) bedeutet. 2.2.8
Man kann also stets zu einer nichtdeterministischen Turingmaschine eine sprachäquivalente deterministische
finden:
{ L ⊆ Σ ∗ | es gibt eine nichtdeterministische Turingmaschine M mit L = L(M) }
= { K ⊆ Σ ∗ | es gibt eine deterministische Turingmaschine M ′ mit K = L(M ′ ) }.
2.3 Erweiterte TM-Modelle
Es gibt viele Variationen des TM-Modells. Eine einfache ergibt sich z.B. daraus, daß das ” N“ überflüssig
ist: Jeder N-Schritt kann durch zwei aufeinanderfolgende Schritte – erst R, dann L oder erst L, dann R
– simuliert werden.
Die1-Band-TMistkeinsehrgeeignetesModellfürdieKomplexitätstheorie,dennZeitbedarfundSpeicherbedarf
sind darin ” verquickt“. Wir definieren einige weitere Modelle, die dafür (und für andere Zwecke)
geeigneter sind. Alle diese Modelle sind äquivalent in dem Sinne, daß die Menge der erkannten Sprachen
gleich bleibt.
Im diesem Abschnitt betrachten wir äquivalente Erweiterungen, im nächsten Abschnitt äquivalente Einschränkungen
des TM-Modells.
2.3.1 Mehrspurmaschinen
Eine Turingmaschine M über dem Alphabet Σ mit k-Spur-Band (k ≥ 1) ist dadurch gekennzeichnet,
dass ihr Bandalphabet ein k-Tupel von Elementen aus Γ ist. D.h., M ist ein Achttupel
M = (Q,Σ,Γ k , ,δ,q0,qa,qr)
mit einer Übergangsrelation
δ ⊆ ((Q\{qa,qr})×Γ k )×(Q×Γ k ×{L,N,R}).
Bei einer solchen Maschine steht der Lese/Schreibkopf stets auf einer ” Spalte“ (einem Vektor der Größe
k mit Einträgen aus Γ) der durch die k Spuren definierten, nach links und rechts unendlichen ” Matrix“
(siehe Abbildung 2.10 mit k = 3). In einem Schritt kann sich der LSK auf den Vektor links davon oder
den Vektor rechts davon bewegen, oder er kann auf dem gerade gelesenen Vektor stehen bleiben. Der
Begriff L(M) ⊆ Σ ∗ ist direkt übertragbar. Bildlich stellt man sich vor, dass das ” Ansetzen von M auf
ein Wort w“ bedeutet, dass w auf der ersten Spur geschrieben wird, alle anderen Felder (insbesondere
alle Felder auf allen anderen Spuren) das Blankzeichen tragen und dass die anfängliche Kopfposition der
durch das Anfangszeichen von w bestimmte Vektor (oder irgend einer, wenn w = ε) ist.
Da Mehrspurmaschinen sich nur durch die Tatsache, dass Γ strukturiert ist, von normalen Turingmaschinen
unterscheiden, unterscheidet sich die Klasse der von Mehrspurmaschinen akzeptierten Sprachen
nicht von der Klasse der Turing-akzeptierbaren Sprachen. Genauer:
• Jede 1-Band-Turingmaschine ist auch eine k-Spurmaschine mit k = 1.
• Umgekehrt ist jede k-Spur-TM auch eine 1-Band-TM, indem Elemente a ∈ Σ mit Vektoren
(a, ,..., ) der Länge k identifiziert werden.