Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

Komplexitätstheorie - Wintersemester 2010/2011 73
Beweis:
a) Sei L ≤ L ′ .
L ist C-hart bzgl. ≤ ⇔ für alle L ′′ ∈ C gilt L ′′ ≤ L (nach Def. von C-hart)
⇒ für alle L ′′ ∈ C gilt L ′′ ≤ L ≤ L ′ (wegen L ≤ L ′ )
⇒ für alle L ′′ ∈ C gilt L ′′ ≤ L ′ (weil ≤ transitiv ist)
⇔ L ′ ist C-hart bzgl. ≤ (nach Def. von C-hart)
b) Mit a) und L ′ ∈ C. 4.3.2
Korollar 4.3.3
a) L ist NP-hart und L ≤p L ′ ⇒ L ′ ist NP-hart.
b) L ist NP-vollständig, L ′ ∈ NP und L ≤p L ′ ⇒ L ′ ist NP-vollständig.
c) L ist NP-hart und L ∈ P ⇒ P = NP.
d) L ist PSPACE-hart und L ∈ P ⇒ P = PSPACE.
e) L ist PSPACE-hart und L ∈ NP ⇒ NP = PSPACE.
Beweis:
a) und b) Direkt aus Satz 4.3.2.
c) L NP-hart ∧ L ∈ P ⇒ ∀L ′′ ∈ NP: L ′′ ≤p L (Def. NP−hart)
⇒ ∀L ′′ ∈ NP: L ′′ ∈ P (L ∈ P und Satz 4.2.2(i))
⇔ NP ⊆ P
⇒ P = NP (P ⊆ NP, Satz 3.5.1(a)).
d) und e) Analog. 4.3.3
Um zu wissen, was NP gegebenenfalls ” echt schwerer“ macht als P, muss man also die Klasse NPC der
NP-vollständigen Probleme analysieren. Gibt es überhaupt welche?
4.4 SAT und der Satz von Cook-Levin
In diesem Abschnitt definieren und untersuchen wir zuerst etwas genauer das Problem SAT, das in
Abschnitt 1.3 bereits besprochen wurde.