Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

Komplexitätstheorie - Wintersemester 2010/2011 31
festes Alphabet Σ. Wir interessieren uns für die Klasse der Turingmaschinen mit dem Eingabealphabet
Σ, d.h., für Maschinen der Form M = (.,Σ,., ,.,q0,qa,qr).
Definition 2.2.7 Akzeptanz durch eine Turingmaschine
M akzeptiert ein Wort w ∈ Σ ∗ , wenn es eine akzeptierende Berechnung von M gibt, die mit der Konfiguration
q0w beginnt. Die von M akzeptierte (erkannte) Sprache, L(M), ist die Menge aller von M
akzeptierten Eingabewörter w∈Σ ∗ . Zwei Turingmaschinen M und M ′ über Σ heißen sprachäquivalent,
wenn L(M) = L(M ′ ). 2.2.7
Beispiele:
Die Maschine Mnondet ist eine Turingmaschine über dem Eingabealphabet {0}. Sie akzeptiert nur das
leere Wort:
L(Mnondet) = {ε}.
Das leere Wort ε wird von Mnondet beispielsweise durch den Übergang ((q0, ),(q1,0,L)) akzeptiert.
Es gibt zwar auch den Übergang ((q0, ),(q0,0,L)), jedoch genügt zur Akzeptanz die Existenz einer
akzeptierenden Berechnung, unabhängig davon, wie viele nicht-akzeptierende (oder auch unendliche) es
sonst noch geben mag. Kein anderes Wort wird von Mnondet akzeptiert.
Die MaschineMeven ist eineTuringmaschineüberdemEingabealphabet{0,1}.SieakzeptiertalleWörter,
die nicht leer sind und deren letzter Buchstabe eine 0 ist:
L(Meven) = {w ∈ {0,1} ∗ | w = w ′ 0 für ein Wort w ′ ∈ {0,1} ∗ }.
Außerdem gilt:
L(Meven,1) = L(Meven)
L(Meven,2) = L(Meven) ∪ {ε}.
Ende der Beispiele
Satz 2.2.8 M und det(M) sind sprachäquivalent
Sei M eine Turingmaschine. Es gilt L(M) = L(det(M)).
Beweis: In Abschnitt 2.2.4 wurde die Wirkungsweise von det(M) beschrieben. Dadurch hat man:
w ∈ L(M) ⇒ ( Definition von L(M) )
es gibt einen Pfad im Konfigurationsbaum von M(w),
der auf ein Blatt mit einer akzeptierenden Konfiguration führt
⇒ ( Definition von det(M), Breitensuche )
det(M) findet diesen Pfad und simuliert ihn
⇒ ( Definition von det(M), L(det(M)) )
w ∈ L(det(M)).
w /∈ L(M) ⇒ ( Definition von L(M) )
im M(w)-Baum gibt es keine akzeptierende Berechnung
⇒ ( Definition von det(M) )
det(M) läuft unendlich
⇒ ( Definition von L(det(M)) )
w /∈ L(det(M)).