Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

124 Vorlesungsskript von E. Best / Stand: 17. Januar 2011
Definition 5.1.4 Berechnung durch einen Booleschen Schaltkreis
Sei f: {0,1} n → {0,1} m Boolesche Funktion mit f = (f1,...,fm) und fj: {0,1} n → {0,1} (1 ≤ j ≤ m).
Ein Boolescher Schaltkreis C = (g1,...,gk) berechnet f genau dann, wenn für alle j, 1 ≤ j ≤ m, ein i,
1 ≤ i ≤ k, existiert mit fj = result(gi). 5.1.4
Beispiel: (Abbildung 5.1) f = (f1,f2,f3), m = 3, n = 4.
f1 = x1 ∧(x2 ∨x3) = result(∧,x1,(∨,x2,x3))
f2 = ...
f3 = ...
Definition 5.1.5 Größe und Tiefe eines Booleschen Schaltkreises
Die Größe (auch: die Kosten) eines Schaltkreises ist die Anzahl der (internen) Bausteine. Die Boolesche
Größe c(f) einer Booleschen Funktion f ist die Größe eines kleinsten ( ” billigsten“) Schaltkreises, der f
berechnet.
Die Tiefe (auch: Zeit oder Zeitbedarf) eines Schaltkreises ist die Länge (gemessen in der Anzahl der
Gatter) eines längsten gerichteten Pfades im Schaltkreis. Die Boolesche Tiefe d(f) einer Booleschen
Funktion f ist die Tiefe eines flachsten (d.h. schnellsten) Schaltkreises, der f berechnet. 5.1.5
C steht für ” Circuit“, c für ” cost“ und d für ” depth“.
Beispiel (Abbildung 5.1): Größe 6, Tiefe 4.
Die Tiefe entspricht dem, was für Turingmaschinen bisher als ” Zeitbedarf“ definiert war. Die Größe ist
jedoch ein neues Komplexitätsmaß und entspricht ungefähr dem Hardwareverbrauch.
Zu einem gegebenen Schaltkreis sind dessen Größe und Tiefe durch Abzählen im Allgemeinen leicht
zu bestimmen. Zu einer gegebenen Booleschen Funktion sind deren Boolesche Größe bzw. Boolesche
Tiefe im Allgemeinen jedoch sehr schwer bestimmbar, denn es werden die entsprechenden Minima über
alle möglichen Schaltkreise gebildet. Zudem muss ein kleinster“ Schaltkreis nicht unbedingt auch ein
”
” flachster“ sein, und umgekehrt.
5.2 Einige Beispiele
5.2.1 Addition von zwei Variablen
Wir betrachten die Funktion s: {0,1} 2 → {0,1} 2 , die die partielle Summe s0 und den Übertrag s1 liefern
soll. Schaltkreise dazu sind in Abbildung 5.2 (separat für s0 und s1) und zusammenfassend (für s) in
Abbildung 5.3 angegeben.
x1 x2 s1 (Übertrag) s0 (Summe)
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0
s0(x1,x2) = (x1 ∧x2)∨(x1 ∧x2)
s1(x1,x2) = (x1 ∧x2)