Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

80 Vorlesungsskript von E. Best / Stand: 17. Januar 2011
ist. Jedes cj wird durch eine Konjunktion von Dreier-Disjunktionen F ′ j
U ′ j von Variablen verwendet, die nur in F′ j vorkommen. Dann wird
U ′ m
= U ∪{ Uj}, F ′ =
j=1
m
∀
j=1 F′ j
Sei cj = z1 ∧...∧zk, wobei die zl Literale von U sind, für 1 ≤ l ≤ k.
ersetzt. Dabei wird eine Menge
k = 1: U ′ j = {y1,y2}; F ′ j = (z1 ∨y1 ∨y2)∧(z1 ∨y1 ∨y 2 )∧(z1 ∨y 1 ∨y2)∧(z1 ∨y 1 ∨y 2 ).
k = 2: U ′ j = {y}; F′ j = (z1 ∨z2 ∨y)∧(z1 ∨z2 ∨y).
k = 3: U ′ j = ∅; F′ j
= cj.
k > 3: U ′ j = {yi | 1 ≤ i ≤ k −3};
F ′ j = (z1 ∨z2 ∨y1)∧(y i ∨zi+2 ∨yi+1) k−4
i=1 ∧(y k−3 ∨zk−1 ∨zk).
Rein aussagenlogisch ist zu ersehen, dass F ′ genau dann erfüllbar ist, wenn auch F erfüllbar ist.
F ′ ist ersichtlich in 3SAT-Form. Die Konstruktion ist polynomiell, denn O(m·n) ist eine obere Schranke
für die Länge von F ′ . 4.4.6
Beispiel:
F = (u1 ∨u2)
k=2,U ′ 1 ={y}
∧ (u1 ∨u2 ∨u3 ∨u4 ∨u5 ∨u6)
k=6,U ′ 2 ={y1,y2,y3}
F ′ = (u1 ∨u2 ∨y)∧(u1 ∨u2 ∨y) ∧ (u1 ∨u2 ∨y1)∧(y 1 ∨u3 ∨y2)∧(y 2 ∨u4 ∨y3)∧(y 3 ∨u5 ∨u6).
Ende des Beispiels
In diesem Abschnitt haben wir mehrere Probleme als NP-vollständig nachgewiesen. Dabei haben wir
bei einem einzigen, CNF−SAT, die Definition der NP-Vollständigkeit angewendet, und das war etwas
kompliziert und vor allem sehr technisch. Bei den anderen wurde Korollar 4.3.3(b) verwendet, was im
Allgemeinen die übliche (wenn nichtsogar,außerbei Satz 4.4.5,die einzig übliche) Methode ist, die Eigenschaft
der NP-Vollständigkeit zu zeigen. Korollar4.3.3(b) setzt allerdings voraus, dass ein NP-vollständiges
Problem bereits bekannt ist, und das war in den bisher betrachteten Fällen das Problem CNF−SAT.
Sei L ein Problem, dessen NP-Vollständigkeit nachgewiesen werden soll. Im Allgemeinen verlangt die
Anwendung von Korollar 4.3.3(b) drei Schritte:
(1) Man suche ein geeignetes Problem L ′ , dessen NP-Vollständigkeit bereits bekannt ist.
(2) Man zeige L ′ ≤p L. Nach diesem Schritt ist die NP-Härte von L gesichert. Intuitiv: ” wenn L ′ schon
NP-hart ist, dann erst recht L“.
(3) Man zeige L ∈ NP. Erst nach diesem Schritt ist die NP-Vollständigkeit von L bewiesen.
Dabei ist es ganz wichtig, die Reduktionsrichtung in Schritt (2) zu beachten. Beweist man stattdessen
L ≤p L ′ , kann man überhaupt keine Aussage machen!
Unter den vielen praktisch bekannten Fällen solcher Beweise gibt es solche, in denen Schritt (3) einfach
ist, Schritt (2) dagegen relativ kompliziert; aber auch solche, in denen es sich umgekehrt verhält, dass
nämlich die Reduktion einfach zu beweisen ist, die Aussage L ∈ NP dagegen nicht so einfach; und auch
solche, in denen beide Aussagen einfach oder auch beide Aussagen kompliziert sind.