Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

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Komplexitätstheorie - Wintersemester 2010/2011 53 Sei ε = d ′ −1 > 0. Wir konstruieren eine Zahl n0 ∈ N und eine Zahl r ∈ N, so dass für alle n ≥ n0 die Ungleichung n d·n n+ +6· < n+ε·n = (1+ε)·n (3.1) r r gilt. Das beendet schon den Beweis, denn ab n ≥ n0 hat N mit dieser Wahl von r die Zeitschranke d ′ ·n, und für die endlich vielen n < n0 kann ein endlicher Automat gemäß Lemma 3.2.2 mit Zeitschranke n benutzt werden. Um n0 und r mit obigen Eigenschaften zu finden, schätzen wir folgendermaßen ab: n d·n +6· ≤ r r n 6·d·n +1+ r r +6, und der letzte Term ist genau dann < ε·n, wenn gilt: n+6·d·n+7·r < ε·r·n. (3.2) Umformen ergibt n+6·d·n < r·(ε·n−7), was nach r aufgelöst werden darf, sofern ε·n−7 größer ist als 0. Es seien n0 und r ∈ N so gewählt: 7 n0 = +1 und r > ε n0 +6·d·n0 ε·n0 −7 Dann gilt ε·n−7 ≥ ε·n0 −7 > 0 für alle n ≥ n0. Also gilt die Ungleichung (3.2) – und damit auch die Ungleichung (3.1) – für alle n ≥ n0, da die Funktion (n+6·d·n)/(ε·n−7) mit steigendem n fällt. 3.3.8 Korollar 3.3.9 t(n) ∈ O(t ′ (n)) ⇒ DTIME(t) ⊆ DTIME(t ′ ) und NTIME(t) ⊆ NTIME(t ′ ). 3.3.9 Später geben wir eine Gesamtschau all solcher Beziehungen (siehe Satz 3.4.5). Es folgt ein weiterer Satz über eine Reduktion in der Anzahl der Bänder. Satz 3.3.10 Zeitschranke bei Reduktion auf 2 Arbeitsbänder Ist L von einer s(n)-bandbeschränkten und t(n)-zeitbeschränkten k-Band-TM M akzeptierbar, dann auch von einer O(s(n))-bandbeschränkten und O(t(n)·log(t(n)))-zeitbeschränkten off-line-3-Band-TM M ′ . Beweis: (Skizze): Das Arbeitsband 1 von M ′ hat 2 Spuren pro Arbeitsband von M. Das Arbeitsband 2 von M ′ ist nur zum Datentransport da. Zelle B0 des Arbeitsbandes 1 von M ′ hat die momentan betrachteten k Symbole. M ′ bewegt aber keine ” Kopfmarken“, sondern Daten in umgekehrter Richtung wie der entsprechende Kopf von M. Das funktioniert in Zeit O(t(n)·log(t(n))), wenn man die Daten geschickt positioniert. 3.3.10
54 Vorlesungsskript von E. Best / Stand: 17. Januar 2011 Es folgt ein Satz über das Platz- und Zeitverhalten von universellen TM. Satz 3.3.11 Zeitbedarf universeller Turingmaschinen Es gibt eine universelle TM U, so dass für jede 2-Band-TM M gilt: M akzeptiert w in t Schritten und besucht s Felder ⇔ U akzeptiert 〈uM,w〉 in O(t) Schritten und besucht O(s) Felder. Dabei ist uM eine Codierung (z.B. in binär) der Maschine M und 〈uM,w〉 besteht aus einer Codierung von uM gefolgt von einer Codierung von w, geeignet abgetrennt. Die Konstanten, die in O(t) und O(s) eingehen, sind von M abhängig. Beweis: (Skizze.) U (die universelle Maschine) braucht O(|uM|) Schritte für die Initialisierung und O(|uM|) Schritte für die Simulation von jedem Schritt von M. Dabei braucht U die Felder, die auch M braucht, und dazu noch O(|uM|) zur Speicherung der Codierung von M. 3.3.11 3.4 Band- und Zeithierarchiesätze Im Prinzip sind wir an verschiedenen Arten von Beziehungen interessiert: • Deterministische Hierarchien: Zeithierarchie: Wie stehen DTIME(t(n)) und DTIME(t ′ (n)) in Beziehung miteinander? Platzhierarchie: Wie stehen DTIME(s(n)) und DTIME(s ′ (n)) in Beziehung miteinander? • Nichtdeterministische Hierarchien: Zeithierarchie: Wie stehen NTIME(t(n)) und NTIME(t ′ (n)) in Beziehung miteinander? Platzhierarchie: Wie stehen NTIME(s(n)) und NTIME(s ′ (n)) in Beziehung miteinander? • Beziehungen zwischen Zeit und Platz: Wie stehen DTIME(t(n)) / NTIME(t(n)) und DSPACE(s(n)) / NSPACE(s(n)) in Beziehung miteinander? Wir untersuchen zuerst einige Beziehungen vom Typ Hierarchie. Gegeben mehr Zeit bzw. mehr Platz, sollte es auch mehr erkennbare Sprachen bzw. berechenbare Funktionen geben. Aber wieviel mehr Zeit bzw. Platz muss es geben, damit es echt mehr Sprachen/Funktionen werden? Die Sätze 3.3.4 und 3.3.6 zeigen, dass eine lineare Erhöhung (mit einem konstanten Faktor) nicht genügt. Wie wäre es mit einem langsam wachsenden Faktor, z.B. mit log(log(n))? Und – eine andere Frage – gibt es eine vielleicht eine Grenzfunktion f(n), so dass jede rekursive Sprache in DTIME(f(n)), oder etwa in DSPACE(f(n)) liegt? Der nächste Satz zeigt, dass die letzte Frage mit ” nein“ zu beantworten ist. Die Fragen davor haben für eine Klasse von ” gutartigen“ Funktionen (die sogenannten konstruierbaren Funktionen) verschiedene Antworten, von denen wir einige erklären.
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