Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

Komplexitätstheorie - Wintersemester 2010/2011 101
4.7 PSPACE-vollständige Probleme
Die PSPACE-vollständigenProbleme sind vermutlich echt schwerer als die NP-vollständigen Probleme. Ein
grundlegendes PSPACE-vollständiges ist QBF, die ” Erfüllbarkeit quantifizierter Boolescher Formeln“.
Definition 4.7.1 Quantifizierte Boolesche Formeln
Eine quantifizierte Boolesche Formel (QBF) ist folgendermaßen strukturell definiert:
• Eine Konstante 0 oder 1 ist eine QBF; darin kommt keine Variable frei vor.
• Eine Variable x ist eine QBF; darin kommt x frei vor.
• Wenn E1, E2 zwei QBF sind, dann auch ¬E1, E1∨E2 und E1∧E2. Eine Variable x kommt in ¬E1
(bzw. in E1 ∨E2 oder in E1 ∧E2) frei vor gdw. sie in E1 (bzw. in E1 oder in E2) frei vorkommt.
• Wenn E eine QBF ist, dann sind auch ∃xE, ∀xE QBF. Eine Variable y kommt in ∃xE bzw. in
∀xE frei vor, wenn y = x und y kommt in E frei vor.
Sei E eine QBF ohne freie Variablen. Der Wert V(E) ∈ {0,1} von E ist rekursiv definiert:
V(0) = 0
V(1) = 1
V(¬E) = 1−V(E)
V(E1 ∨E2) = V(E1)∨V(E2)
V(E1 ∧E2) = V(E1)∧V(E2)
V(∃xE) = V(E[x ← 0])∨V(E[x ← 1])
V(∀xE) = V(E[x ← 0])∧V(E[x ← 1]),
wobei E[x ← 0] bzw. E[x ← 1] die gleichen Formeln sind wie E, außer dass alle freien Vorkommen von
x durch 0 bzw. durch 1 ersetzt sind. 4.7.1
Beispiel:
E = ∃x∀y(x∨y)
V(E) = V(∀y(0∨y))∨V(∀y(1∨y))
= (V(1∨0)∧V(1∨1))∨(V(0∨0)∧V(0∨1))
= (1∧1)∨(0∧1)
= 1.
Problem 4.7.2 Quantifizierte Boolesche Formel QBF
Gegeben: Eine quantifizierte Boolesche Formel E ohne freie Variablen.
Frage: Gilt V(E) = 1? 4.7.2
Bemerkung: Das Problem SAT ist ein Spezialfall von QBF, denn eine Boolesche Formel F mit m
Booleschen Variablen u1,...,um ist erfüllbar genau dann, wenn V(∃u1...∃unF) = 1 gilt. Daraus folgt
bereits, dass QBF NP-hart ist.
Gilt QBF∈NP? Das ist unbekannt und unwahrscheinlich.