Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

128 Vorlesungsskript von E. Best / Stand: 17. Januar 2011
1) (ui,vi) = (0,0) bedeutet xi +yi = 0. Unabhängig von anderen Inputs ist zi = 0. Überträge, die zur
Stelle i kommen, werden abgefangen. Diese Stellen heißen E ( ” eliminieren“).
2) (ui,vi) = (0,1) bedeutet xi +yi = 1. In dieser Situation ist zi = zi−1. Ein Übertrag aus der vorigen
Stelle wird weitergeleitet. Derartige Stellen heißen P ( ” propagieren“).
3) (ui,vi) = (1,0) bedeutet xi+yi = 0 und ein neuer Übertrag wird erzeugt: zi = 1. Diese Stellen heißen
G ( ” generieren“).
4) (ui,vi) = (1,1) kommt nicht vor.
An Stelle i entsteht ein Übertrag genau dann, wenn ein Übertrag an einer Position j ≤ i erzeugt wird
(uj = 1) und dann bis zur Position i weitergeleitet wird (vj+1 = ... = vi = 1):
zi =
0≤j≤i
(uj ∧vj+1 ∧...∧vi)
Alle die zi können dann parallel aus u, v berechnet werden.
Die Formeln uj ∧vj+1 ∧... ∧vi lassen sich mit balancierten Bäumen aus ∧-Bausteinen in Größe O(n)
und Tiefe O(log(n)) berechnen. Es gibt O(n) logische Summanden, für jeden genügen O(n) Bausteine
(insgesamt also O(n 2 ) für ein einziges zi), die Tiefe bleibt O(2·log(n)) = O(log(n)). Da es O(n) zi’s gibt,
folgt:
Carry-Look-Ahead-Addierer haben Größe O(n 3 ) und Tiefe O(log(n)).
5.2.5 Produkt zweier Boolescher Vektoren
Gegeben: x = x1,...,xn und y = y1,...,yn
Gesucht:
dot: {0,1} 2n → {0,1} gemäß dot(x,y) =
n
(xi ∧yi).
i=1
Dies kann durch einen Schaltkreis (siehe Abbildung 5.6) geleistet werden, der eine ” einfachere Version“
desjenigen für die zi im vorigen Beispiel ist.
5.2.6 Produkt zweier quadratischer Boolescher Matrizen
A = [aij] B = [bij] 1 ≤ i,j ≤ n
Ai = (ai1,...,ain), Bj = (b1j,...,bnj) 1 ≤ i,j ≤ n
A·B = C mit cij = dot(Ai,Bj) 1 ≤ i,j ≤ n.
Alle cij können parallel zueinander berechnet werden. Benutze
DOT
!