Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

Komplexitätstheorie - Wintersemester 2010/2011 137
erfüllt. Ein solches n kann gefunden werden (❀ Modul Analysis I). Laut Lemma 5.4.4 gibt es höchstens
(12·e·n log(n) ) nlog(n) Kreise der Größe nlog(n) . Damit bekommt man folgende Abschätzung für die Anzahl
der Kreise der Größe p(n), die die Sprache An,2n entscheiden:
a p(n) anlog(n) 1
2n ≤ anlog(n) 2n ≤
2 (2n ) ≤ (12·e·nlog(n) ) nlog(n)
2 (2n )
(wobeidie zweite Ungleichungaus(5.3) folgt,die dritteaus derAbschätzungvona nlog(n)
1 durchdie Anzahl
aller möglichen Kreise, die anderen aus Ungleichung (5.4), d.h., aus der Wahl von n) 1 und damit
a p(n)
2n = 0.
Es gibt also keinen Kreis der Größe p(n), der An,2n entscheidet.
In Abbildung 5.12 wird gezeigt, wie die Menge An,2n nacheinander aus An,1 ⊆ An,2 ⊆ ... ⊆ An,2n so
aufgebaut werdenkann, dassEigenschaft(5.3) gilt. In der vorletztenZeile dieses Algorithmus wird Schritt
für Schritt entschieden, ob das Wort xn i neu aufgenommen wird oder nicht.
An,0 := ∅;
for i := 1 to 2 n do
total := 0; % Anzahl der Kreise der Größe n log(n) , die An,i−1 richtig entscheiden für x n 1 ,...,xn i−1
accep := 0; % Anzahl der Kreise darunter, die 1 antworten für x n i
for jedes Wort w ∈ {0,1} ∗ mit |w| ≤ n log(n) do
if w ist Codierung eines Kreises C mit n Eingaben, der An,i−1 richtig entscheidet für x n 1,...,x n i−1 then
begin
total := total +1;
if der Kreis C antwortet 1 für x n i
end if w
end for w;
then accep := accep +1;
if accep > total/2 then An,i := An,i−1 else An,i := An,i−1 ∪{x n i
end for i;
< 1
} fi
Abbildung 5.12: Algorithmus zur Konstruktion von An,2 n
Beispiel: An,i−1 sei schon berechnet. Wir gehen durch die innere for-Schleife. Am Ende sei
total = 10000
accep = 6000.
Dann wird das Wort xn i nicht aufgenommen, d.h. der Algorithmus liefert An,i = An,i−1 und es gilt
xn i /∈ An,i. Ein Kreis entscheidet also richtig für An,i genau dann, wenn er richtig für An,i−1 entscheidet
und 0 für xn i antwortet. Das sind 10000 − 6000 = 4000 viele, also weniger als die Hälfte. Also gilt
1 Die letzte Ungleichung sieht man folgendermaßen ein. Man betrachte n log(n) ·log(12·e·n log(n) ) < 12·e·(n log(n) ) 2 < 2 n ,
wobei die erste Ungleichung aus der Abschätzung log(x) < x, die zweite aus der Wahl von n in 5.4 folgt, und nehme diese
Ungleichungskette zur 2ten Potenz.