Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

Komplexitätstheorie - Wintersemester 2010/2011 65
nur gefordert, dass wie in Definition 3.1.3(i) die minimale Berechnung die Zeitschranke einhält, sondern
sogar, dass alle Berechnungen die Zeitschranke einhalten. Für zeitkonstruierbare Zeitschranken kommt
dies jedoch auf das Gleiche heraus. Dies sieht man für Zeitschranken analog zu Lemma 3.4.2, wie folgt.
Lemma 3.6.1
Sei M1 eine t(n)-zeitbeschränkte TM mit t(n) ≥ n und sei t(n) zeitkonstruierbar. Dann gibt es eine
t(n)-zeitbeschränkte TM M2 mit L(M1) = L(M2), die für alle Eingaben hält.
Beweis: Die Maschine M2 sei folgendermaßen definiert:
- Eingabe w; M2 simuliert die Maschine, die wegen der Zeitkonstruierbarkeit von t existiert und schreibt
t(n) in Binärdarstellungauf ein extra Band. Dazu benötigt M2 wegen der ZeitkonstruierbarkeitO(t(n))
Zeit.
- M2 simuliert M1 und subtrahiert dabei bei jedem Schritt 1 von dem extra Band. Dies geht – wie wir
in der Vorlesung, aber bisher nicht im Skriptum gesehen haben (aber s.u.) – in O(t(n)) Zeit.
- Akzeptiert M1 das Wort w, bevor der Zähler auf dem extra Band 0 erreicht hat, tut M2 das Gleiche.
- Wenn andererseits der Zähler auf dem extra Band 0 erreicht, akzeptiert M1 w nicht in t(n) Zeit, und
deswegen hält M2 und verwirft w.
M2 braucht insgesamt O(t(n)) Zeit. Auf Grund der Sätze 3.3.6 und 3.3.8 (Zeitbeschleunigung) gibt es
eine Maschine M2, die das gleiche tut und auf allen Inputs der Länge n in t(n) Zeit anhält. 3.6.1
Nachtrag: Herunterzählen eines Binärzählers. Gegeben sei ein Turingband und darauf das Wort 1 n (also
n ≥ 1 Einsen) und einen Kopf, der auf der rechten Eins steht. Dieses Wort stellt binär die Zahl 2 n −1
dar. Behauptung: Herunterzählen in binär bis zur Null geht in Zeit O(2 n ).
Wir zählen die Schritte. Steht auf dem letzten Feld eine 1 (und das ist in 1
2 ·2n aller Fälle der Fall), dann
genügt ein einziger Schritt, die Änderung von 1 zu 0 auf dem letzten Feld. In den anderen 1
2 ·2n Fällen
steht auf dem letzten Feld eine 0. In der Hälfte dieser Fälle (also einem Viertel aller Fälle) steht auf dem
vorletzten Feld eine 1. Dann genügen zwei Kopfbewegungen: ändere die 0 zu 1 und gehe nach links, dort
ändere die 1 zu 0 und gehe nach rechts.Im restlichen Viertel aller Fälle steht auch auf dem vorletzten Feld
eine 0. Diese Fälle unterteilen sich in zwei Achtel: einmal genügen 4 Schritte, und das restliche Achtel
unterteilt sich wieder in zwei Sechzehntel, wobei einmal 6 Schritte genügen, und die restlichen Sechzehntel
sich wieder in Zweiunddreißigstel halbieren, usw. Insgesamt ist die Anzahl der Schritte durch die Summe
2 n ·( 1 2 4 6 8 10
+ + + + + +...) (3.3)
2 4 8 16 32 64
nach oben beschränkt (es könnten etwaswenigerSchritte sein, weil vordem letzten Schritt schon entdeckt
werden kann, dass nur noch Nullen da stehen). Die Summe 1 2 4 6 8 10
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ... kann so
aufgeschrieben werden:
1
2
1 + 4
+ 1
4
+ 1
8
+ 1
8
+ 1
8
+ 1
8
+ 1
16
+ 1
16
+ 1
16
+ 1
16
.
+ 1
32
+ 1
32
+ 1
32
+ 1
32
... ≤ 1
... ≤ 1/2
... ≤ 1/4
... ≤ 1/4
.
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