Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

Komplexitätstheorie - Wintersemester 2010/2011 47
Die für OTTI benötigte Zeit ist nicht relevant für die Zeitschranke 3·(n + 1). D.h., L(Mpali) wäre in
DTIME(3·(n+1)), selbstwenndie Maschinebei OTTI eine unendlicheSchleife einginge,stattzu verwerfen.
Ende des Beispiels Mpali
Die beiden folgenden Lemmata beschreiben einfache Tatsachen über die Erkennung endlicher Mengen.
Lemma 3.2.2
Sei A eine endliche Sprache und sei m = max{|w| | w ∈ A}. Es gibt eine m-zeitbeschränkte und 1bandbeschränkte
TM M mit L(M) = A.
Beweis: Es existiert ein endlicher Automat, der A akzeptiert. Man nimmt diesen Automaten als endliche
Steuerung für eine Offline-2-Band-TM, die nur auf dem ersten Band ihren Kopf bewegt. 3.2.2
Lemma 3.2.3
Seien A,B ⊆ Σ ∗ mit A\B endlich. Wird A von einer t(n)-zeit- und s(n)-bandbeschränkten TM M
akzeptiert, so gibt es ein m ∈ N und eine (t(n)+m)-zeit- und s(n)-bandbeschränkte TM M ′ , die A∩B
akzeptiert.
Beweis: M ′ verhält sich wie folgt. Für eine Eingabe w überprüft M ′ in m Zeit, ob w ∈ A\B. Wenn ja,
verwirft M ′ , andernfalls benimmt M ′ sich wie M. 3.2.3
3.3 Reduktionssätze
Dieser Abschnitt enthält einige Ergebnisse zu den folgenden Fragen:
• Was geschieht mit Zeit- bzw. Platzschranken, wenn die Anzahl der Bänder reduziert wird?
• Kann man den Zeit- bzw. den Platzbedarf einer TM, vielleicht im Austausch mit einem größeren
Bandalphabet, reduzieren?
Satz 3.3.1 Bandreduktionssatz
Kann L durch eine s(n)-bandbeschränkte (s(n) ≥ n) und t(n)-zeitbeschränkte k-Band-TM M akzeptiert
werden, so kann L auch von einer O(s(n))-bandbeschränkten und O(s(n)·t(n))-zeitbeschränkten 1-Band-
TM M ′ akzeptiert werden.
Beweis: Betrachten wir die Simulation einer k-Band-TM M durch eine 2·k-Spur-TM M ′ aus dem Beweis
von Satz 2.3.1 (wiedergegeben für k = 2 in Abbildung 3.3).
Wegen s(n) ≥ n verbraucht M auf Band 2 mindestens so viele Felder, wie die Eingabe lang ist. Daher
ist M ′ auch s(n)-bandbeschränkt.