Vorlesungsskript - Hochschule Emden/Leer

c○ Prof. Dr. B. Bartning, HS Emden/Leer Rumpfskript ” Informatik I/II“ (WS/SS 2010/11) 15
Zifferndarstellung Wert Bsp s = 8 (1 Byte) Wert
01. . . 11 2 s−1 − 1 01111111 127
01111110 126
00000100 4
00000010 2
00. . . 01 1 00000001 1
00. . . 00 0 00000000 0
11. . . 11 -1 11111111 -1
11. . . 10 -2 11111110 -2
10000001 -127
10. . . 00 −2 s−1 10000000 -128
(1.43)
” Reelle“ Zahlen
(a) Festkommadarstellung 〈fixed point notation〉: eine Zahlendarstellung, bei der jede Ziffer
allein aufgrund ihrer Stellung eine fest vorgegebener Wertigkeit besitzt, d. h. das Dezimalkomma
steht fest an vorgegebener bzw. vereinbarter Stelle.
Bsp Technisch-wissenschaftliche Rechnungen: Darstellung von Ganzzahlen; das (gedachte) Dezimalkomma
liegt hinter der letzten (wertniedrigsten) Stelle.
Kommerzielle Rechnungen, z. B. Rechnen mit Geldbeträgen (meist zwei Dezimale).
Nachteil: sehr betragskleine und sehr betragsgroße Zahlen nicht nebeneinander darstellbar.
(b) Gleitkommadarstellung, auch Fließkommadarstellung oder halb-logarithmische Darstellung
〈floating point notation〉: Darstellung als Produkt aus Mantisse m und Potenz zur Basis
B mit Exponent n; der Zahlenwert beträgt m · B n . Der Name der Darstellung rührt daher,
dass das wertrichtige Dezimalkomma in der Mantisse nicht an vorgegebener Stelle stehen
kann, sondern vom Exponenten abhängt.
Bei bekannter Basis werden nur Mantisse und Exponent abgespeichert. Bei Digitalrechnern
werden beide binär gespeichert (Mantisse mit Extra-Vorzeichenbit, Exponent meist als
Charakteristik, entstanden aus Exponent mit additivem Korrekturterm, der Vorgabe, damit
nicht negativ).
Für möglichst hohe relative Genauigkeit muss eine Gleitkommazahl normalisiert werden;
dabei ist in der Mantisse die werthöchste Ziffer ungleich Null (es sei denn, die Mantisse ist
hat Wert Null).
(c) △! Das Rechnen mit Fließkommazahlen kann infolge von impliziten Rundungsfehlern
zu völlig falschen Ergebnissen führen, wenn man einen ungünstigen Algorithmus benutzt:
Unterschied zwischen ” reiner“ und numerischer Mathematik. Dazu können auch Fehler durch
Bereichsüberschreitungen erfolgen, s. (1.44).
(1.44) Bereichsüberschreitungen beim Rechnen mit Zahlen
(a) Überlauf 〈overflow〉: der Betrag des Rechenergebnisses ist zu groß ist für die gewählte
Darstellung; kann auftreten bei Festkommadarstellung und bei Gleitkommadarstellung.
Praxis: je nach Art der Rechenoperation Weiterrechnen mit falschem Bitmuster oder Laufzeitfehler;
siehe auch (c).
(b) Unterlauf 〈underflow〉: der Betrag des Rechenergebnisses ist zu klein für die gewählte Darstellung;
kann auftreten bei der Gleitkommadarstellung und bei der Festkommadarstellung
(dort aber nur, wenn Dezimalkomma vor der wertniedrigsten Ziffer steht, also nicht bei
Ganzzahlen).
Praxis: je nach Art der Rechenoperation stillschweigendes Setzen auf Null, nur sehr selten
mit Laufzeitfehler versehen.
(c) △! Bei C ++/C im vorzeichenlosen Ganzzahlbereich gilt der Überlauf – in beide Richtungen
– nicht als Fehler! Bei Überlauf nach oben geschieht ein Überschlag zur Null und
aufwärts, bei Überlauf nach unten ein Überschlag zur werthöchstem Zahl und abwärts.
(1.45) Codes zur Zeichendarstellung
(a) Der ASCII 〈American standard code for information interchange〉 ist ein weitverbreiterter
7-Bit-Code zur Zeichendarstellung.