Stichproben nach § 42 RSAV - Bundesversicherungsamt

Planung und Hochrechnung einer einfachen Zufallsstichprobe 21
ausgeht, dass der Anteil der Versicherten mit Fehlern in den übermittelten Daten 11 klein
ist und in einer Größenordnung von unter 10% angenommen werden kann, so lässt sich
aber schlussfolgern, dass der Korrekturbetrag als Versichertenmerkmal eine extrem
schiefe Verteilung aufweist, da dann mindestens 90% der Merkmalsausprägungen Null
sind. Damit ist der Median der Verteilung a priori ebenfalls Null und der Mittelwert weist
eine aufgeblähte Varianz auf, die jedenfalls wesentlich größer ist, als man z. B. bei
Messwerten, die einer Normalverteilung genügen, erfahrungsgemäß erwarten kann.
Diese Überlegungen weisen auf ein Grundproblem des Versuchs hin, den mittleren Korrekturbetrag
(oder, was aufs Gleiche hinauskommt, die Summe der Korrekturbeträge)
auf Stichprobenbasis zu ermitteln. Der Stichprobenumfang, der benötigt wird, um den
mittleren Korrekturbetrag mit vorgegebener Präzision zu schätzen, ist, wie im nächsten
Abschnitt gezeigt wird, näherungsweise proportional zum quadrierten Variationskoeffizienten
12 . Da die aufgeblähte Varianz mit einem aufgeblähten Variationskoeffizienten
einhergeht, werden überdurchschnittlich große Stichprobenumfänge benötigt, um eine
ausreichende Genauigkeit zu erreichen.
Wie die folgende Überlegung zeigt, kommt es dabei vor allem darauf an, den Anteil der
Versicherten mit Fehlern in den übermittelten Daten genau zu schätzen.
Ist K deren Anzahl (in der Grundgesamtheit) und seien die Versicherten insgesamt so
nummeriert, dass diejenigen mit Datenfehlern die ersten K Plätze einnehmen, dann ist
K 1
(11) YF Yi
K i1 ein mittlerer Korrekturbetrag, der ohne Einbeziehung der vielen Versicherten mit einem
Null-Betrag berechnet wurde, also frei von den oben geschilderten Defiziten ist.
Der Anteil der Versicherten mit Fehlern in den Daten berechnet sich in der Grundgesamtheit
wie folgt:
K
(12) pF
N
Es besteht nun offenbar folgende Beziehung zwischen dem mittleren Korrekturbetrag
und den Größen aus (11) und (12):
(13) YpF YF,
so dass Fehler bei der Schätzung von pF unmittelbar zu Fehlern in der Schätzung von Y
führen.
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Diese Versichertengruppe sei im Weiteren unter dem Kürzel VGF angesprochen.
12
Der Variationskoeffizient V ist definiert als Standardabweichung/Mittelwert.
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