Stichproben nach § 42 RSAV - Bundesversicherungsamt

Planung und Hochrechnung einer geschichteten Zufallsstichprobe 41
(47) nh nWh
und
n
N
h
h
vereinfacht sich die Varianz bei proportionaler Aufteilung zu
2
n
N
(48) Var y f W S
L
h
( st ) ( 1
) h
h1n
L
1 1
2
( ) WS
h h .
n N h1
Soll nicht das Gesamtmittel, sondern die Merkmalssumme geschätzt werden, so berechnet
sich diese nach Schichtung der Grundgesamtheit als mit den Schichtumfängen
gewichtete Summe der Schichtmittelwerte und wird deswegen konsistent und erwartungstreu
geschätzt durch
L
N y.
Die zugehörige Varianz berechnet sich aus
h1
h h
L
L
2
2 Sh
(49) Var( Nhyh) Nh ( 1 f h)
.
n
h1h1
(vgl. Cochrane 1972).
h
Die proportionale Schichtung hat viele Vorteile. 17 Dennoch hat sich das Interesse der
Stichprobentheoretiker naturgemäß auf diejenige Aufteilung gerichtet, mit der die Varianz
minimiert, der Schichtungseffekt maximiert wird. Unter Zugrundelegung einer Kostenfunktion
stellt sich in diesem Zusammenhang eine Optmierungsaufgabe mit Nebenbedingungen,
die eine besonders einfache Lösung findet, wenn die stratumsspezifischen
Stückkosten alle gleich sind:
(50)
n n
h L
h1 NS
h h
NS
h h
Eine Aufteilung gemäß (50) wird nach ihren Entdeckern als Neymann-Tschuprow-
Allokation oder auch kurz nur als Neymann-Allokation bezeichnet. Diese wird vielfach
auch ohne Bezugnahme auf eine Kostenfunktion als optimal bezeichnet.
Ein Nachteil der Optimallösung besteht darin, dass (50) die unbekannten Schichtvarianzen
enthält, so dass man diese aus Vorerhebungen schätzen oder von geeigneten Annahmen
über ihre Relationen untereinander ausgehen muss. Darüber hinaus ist bei kleinen
Grundgesamtheiten nicht auszuschließen, dass sich Auswahlsätze größer als Eins
ergeben, weil die gefundenen Stichprobenumfänge größer sind, als die zugehörigen
Schichtumfänge. Für solche Strata ist dann eine Vollerhebung durchzuführen. Die überschüssig
geplanten Stichprobenelemente verteilt man dann am besten auf die übrigen
Schichten nach einem Schlüssel der dem Verhältnis der berechneten nh entspricht.
17
Wenn die Mittelwerte zwischen den Schichten große Unterschiede aufweisen, die Varianzen aber
nicht, so ist sie darüber hinaus dicht am Optimum (vgl. Cochrane 1970).
Schäfer Stichproben nach § 42 RSAV