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Stichproben nach § 42 RSAV - Bundesversicherungsamt

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Planung und Hochrechnung einer einfachen Zufallsstichprobe 33<br />

wurde. Zur Festlegung von k0 benötigen wir die Varianz der Schätzung<br />

k1 ˆp F <br />

n 1<br />

aus (2). Diese berechnet sich folgendermaßen (vgl. Bauer et al. 1986):<br />

2 p(1 ˆF p) ˆF<br />

(k1)(nk) (32) Sˆp<br />

<br />

F<br />

2<br />

n 2 (n 1) (n 2)<br />

(k >2)<br />

Soll nun so k0 wie im vorigen Abschnitt bestimmt werden, so ist pF dem Produkt aus u<br />

und der Wurzel aus (32) gleichzusetzen (mit u = Quantil der Standardnormalverteilung<br />

vgl. Abschnitt 3.4) und wir erhalten:<br />

(33)<br />

Sˆp (1 p ˆ F<br />

F)<br />

(n k 0)<br />

u u u <br />

pˆ k 1p ˆ (k 1)(n 2)<br />

F 0 F 0<br />

(k >2)<br />

Für kleine Fehlerquoten vereinfacht sich dieser Ausdruck zu<br />

(34)<br />

Sˆp 1<br />

F u u <br />

ˆp k 1<br />

F 0<br />

Aus (34) erhält man k0:<br />

(k >2) (vgl. Bauer et al. 1986).<br />

u 2<br />

(35) k 0 ( ) 1<br />

<br />

Der resultierende <strong>Stichproben</strong>umfang n ist eine Zufallsvariable. Erwartungswert und Varianz<br />

von n berechnen sich folgendermaßen:<br />

(36)<br />

k<br />

E(n) <br />

p<br />

0 F<br />

(37) Var(n) 2<br />

pF<br />

0<br />

F<br />

k(1p) (vgl. Bauer et al. 1986).<br />

Wählt man nun z. B. ɛ = 40% so ergibt sich aus (34) k0 = 25 und aus (36) E(n) = 2.500<br />

für pF = 0,01 oder E(n) = 1.250 für pF = 0,02 oder E(n) = 500 für pF = 0,05.<br />

Der Vergleich dieser bei sequentieller Vorgehensweise zu erwartenden <strong>Stichproben</strong>umfänge<br />

mit den in Tabelle 3-7 und Tabelle 3-8 für die gleichen Eingangsparameter ausgewiesenen<br />

zeigt für die hier betrachteten endlichen Grundgesamtheiten infolge der<br />

Endlichkeitskorrektur kein Vorteil der sequentiellen Vorgehensweise gegenüber der einfachen<br />

Zufallsstichprobe mit festem <strong>Stichproben</strong>umfang.<br />

Schäfer <strong>Stichproben</strong> <strong>nach</strong> <strong>§</strong> <strong>42</strong> <strong>RSAV</strong>

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