Stichproben nach § 42 RSAV - Bundesversicherungsamt

Planung und Hochrechnung einer einfachen Zufallsstichprobe 33
wurde. Zur Festlegung von k0 benötigen wir die Varianz der Schätzung
k1 ˆp F
n 1
aus (2). Diese berechnet sich folgendermaßen (vgl. Bauer et al. 1986):
2 p(1 ˆF p) ˆF
(k1)(nk) (32) Sˆp
F
2
n 2 (n 1) (n 2)
(k >2)
Soll nun so k0 wie im vorigen Abschnitt bestimmt werden, so ist pF dem Produkt aus u
und der Wurzel aus (32) gleichzusetzen (mit u = Quantil der Standardnormalverteilung
vgl. Abschnitt 3.4) und wir erhalten:
(33)
Sˆp (1 p ˆ F
F)
(n k 0)
u u u
pˆ k 1p ˆ (k 1)(n 2)
F 0 F 0
(k >2)
Für kleine Fehlerquoten vereinfacht sich dieser Ausdruck zu
(34)
Sˆp 1
F u u
ˆp k 1
F 0
Aus (34) erhält man k0:
(k >2) (vgl. Bauer et al. 1986).
u 2
(35) k 0 ( ) 1
Der resultierende Stichprobenumfang n ist eine Zufallsvariable. Erwartungswert und Varianz
von n berechnen sich folgendermaßen:
(36)
k
E(n)
p
0 F
(37) Var(n) 2
pF
0
F
k(1p) (vgl. Bauer et al. 1986).
Wählt man nun z. B. ɛ = 40% so ergibt sich aus (34) k0 = 25 und aus (36) E(n) = 2.500
für pF = 0,01 oder E(n) = 1.250 für pF = 0,02 oder E(n) = 500 für pF = 0,05.
Der Vergleich dieser bei sequentieller Vorgehensweise zu erwartenden Stichprobenumfänge
mit den in Tabelle 3-7 und Tabelle 3-8 für die gleichen Eingangsparameter ausgewiesenen
zeigt für die hier betrachteten endlichen Grundgesamtheiten infolge der
Endlichkeitskorrektur kein Vorteil der sequentiellen Vorgehensweise gegenüber der einfachen
Zufallsstichprobe mit festem Stichprobenumfang.
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