Stichproben nach § 42 RSAV - Bundesversicherungsamt

Planung und Hochrechnung einer geschichteten Zufallsstichprobe 35
4 Planung und Hochrechnung einer geschichteten Zufallsstichprobe
4.1 Bezeichnungen
In der h-ten Schicht betrachten wir als schichtspezifische Größen jeweils:
N h
W N
h
h
N
Schichtgewicht
Stichprobenumfang
n h
f
Y
y
S
s
h
h
h
2
h
2
h
nh
Auswahlsatz
N
h
1
N
h
1
n
h
N h
i1
n h
i1
Y
y
i
i
Schichtumfang (Zahl der Untersuchungseinheiten)
Schichtmittelwert
Stichprobenmittelwert
Nh 1
( Yhi Yh)
N h 1 i1
Schichtvarianz
nh 1
( yhi yh)
n 1
Stichprobenvarianz
h
i1
Ist die Grundgesamtheit in L Schichten zerlegt, so gilt offenbar:
L
(38) NhN , nhn, WY h h Y
h1
L
h1
L
h1
4.2 Schätzung des Mittelwertes und der Varianz
Da jeder schichtspezifische Stichprobenmittelwert den Mittelwert der zugehörigen
Schicht konsistent und unverzerrt schätzt, ergibt sich aus (38) unmittelbar, dass
L
st h
h1
(39) y W y
h
eine konsistente und unverzerrte Schätzung des Gesamtmittels ist, wobei der Index „st“
auf die geschichtete (stratifizierte) Stichprobe verweisen soll.
Weil die Auswahlen in verschiedenen Schichten unabhängig voneinander vorgenommen
wurden, gilt für die Varianz dieses Schätzers die Gleichung
st
L
h1
h
2
(40) Var( y ) W Var( y ) ,
h
aus der dann unmittelbar die Varianzformel der geschichteten Stichprobe folgt:
(41) Var y f W S
L
2 L
2 h 1 1 2
( st ) ( 1
h ) h ( ) WhS n n N
h1h
h1h
h
Schäfer Stichproben nach § 42 RSAV
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h