Verstehen heißt Wiedererfinden - Freinet-Kooperative eV

Paul Le Bohec
Verstehen
heißt
Wiedererfinden
Natürliche Methode und Mathematik
Pädagogik-Kooperative
Reihe Moderne Schule

Für die Rohübersetzung des Buchmanuskriptes von
Paul Le Bohec danken wir Peter Schütz, Hildesheim.
Für die stilistische und inhaltliche Überarbeitung gilt
unser Dank vor allem Angela Glänzel, Berlin.
Pädagogik-Kooperative e.V., Bremen
2. Auflage 1997
Copyright © by Pädagogik-Kooperative e.V.
Pädagogik Kooperative, Goebenstr. 8, 28209 Bremen,
Germany
Übersetzung: Peter Schütz, Hildesheim
Satz: Ingrid Kroll, Bremen
Druck: Perspektiven Druck, Bremen
Printed in Germany
ISBN 3-9805100-1-8
Paul Le Bohec
Verstehen
heißt
Wiedererfinden
Natürliche Methode und Mathematik
Pädagogik-Kooperative e.V.
Reihe Moderne Schule

Inhalt
Vorwort 7
Vorwort zur 2. Auflage 15
1. Einleitung 17
Mein persönlicher Weg 17
Setting bei Erwachsenen und Kindern 22
2. Elemente der natürlichen Methode - aufgezeigt an der Arbeit
mit Erwachsenen 27
Die Quelle der Erfindungen 28
Subjektivität des Wissens 40
Das Lachen 51
Macht durch Wissen 58
Gruppenphänomene 71
Teilgruppen 76
Die Komplexität 80
3. Die natürliche Methode im Mathematikunterricht 90
Beispiele mit 7-8 Jahre alten Schülern 94
Erste Erfahrungen 94
Erfinden von Zeichen 96
Erfinden von Ziffern 96
Der Kalender 99
Die nicht- dezimalen Zahlensysteme 104
Zahlenfelder 110
Sachprobleme 120
Rechnen mit Unbekannten 128
Ausklammern eines gemeinsamen Faktors 130
Beispiele mit 8-9 Jahre alten Schülern 135
Drillinge 135
‘Fehler’ werden zu Qualitäten 141
Vektoraddition 146
Abenteuer mit Vektoren 153
4. Wie entwickelt sich mathematisches Wissen? 163
Denkmodelle 163
Vier unterschiedliche Positionen 169
Intuitive oder konkrete Mathematik 169
Die mathematische Strukturierung von Situationen 172
Mathematisches Spiel 173
Angewandte Mathematik 175
Zusammenfassung 176
5. Rückblickende Überlegungen 177
Was ist aus den Schülern geworden? 177
Lösungsverfahren und Strategie 180
Die Frage nach dem didaktischen Material 190
Die Kraft, die uns antreibt 193
6. Die Weiterentwicklung der Idee 203
Die gegenseitige Fortbildung der Lehrer 205
Die Rolle des Lehrers 217
Natürliche Lehrpläne 223
Zwei Bereiche von Erfindungen 224
Verschiedene Richtungen 230
7. Grundsätzliches 235
Dimensionen der natürlichen Methode 235
1. Eigene Praxis (des Lehrers) ist unabdingbar. 235
2. Gruppenphänomene 235
3. Informationsquellen 237
4. Physische Besonderheiten 238
5. Psychische Eigenarten 238
6. Rahmenbedingungen 239
Blick über den Zaun 239
Die Bedeutung ungewöhnlicher Erfindungen 243
8. Erfahrungsberichte aus Frankreich und Deutschland 249
Bilanz von Daniel Boulanger 249
Bilanz von Marie Therese Bousquant 250
Einige Eindrücke von Monique Quertier 251
Bilanz von Angela Glänzel nach 2 Jahren Erfahrung 254
Erste Versuche in einem 2. Schuljahr von Peter Schütz 258
1. Ausgangsideen 258
2. Anfang 259
3. Durchführung 260
4. Verzahnung mit dem ‘normalen Matheunterricht’ 262
5. Beobachtungen 262
6. Ausblick 267
9. Schlussbemerkung 268
Bibliographie 269

Vorwort
„Le texte libre mathématique - la méthode naturelle“
so hatte Paul Le Bohec ursprünglich dieses Buch genannt
und damit bereits im Titel ausdrücken wollen, dass sein
Anliegen ein doppeltes ist. Zum einen geht es ihm um eine
besondere Art der Annäherung an die Mathematik (Le
texte libre mathématique: der freie mathematische Ausdruck),
zum anderen um die Darlegung einer beson deren
Lernmethode (méthode naturelle: natürliche Methode). Für
den deutschen Sprachgebrauch ist beides nicht sonderlich
aussagekräftig. Weder dürfte dem Leser vor der Lektüre
dieses Buches klar sein, was ein freier mathematischer
Text sein könnte, noch ist die „natürli che Methode“ ein in
pädagogischen Kreisen sonderlich bekannter Begriff. So
gab es während der Übersetzung und Bearbeitung dieses
Buches die verschiedensten Titel vorschläge. Bis schließlich
ein Zitat in den Blick geriet.
„Verstehen heißt Wiedererfinden!“, so ein Piaget-Zitat,
auf das Paul Le Bohec in Kapitel 3 (S. 94) aufmerksam
macht, pointiert auf das Treffendste, worum es bei
der natürlichen (Lern-) Methode eigentlich geht. Und
den Zusammenhang zwischen „Mathematik und natürliche
Methode“ - so der Untertitel - wird der Leser dann
ja noch im Buch in Erfahrung bringen. Damit war der
Titel geboren zu einem Werk, das in vieler Hinsicht bemerkenswert
ist.
Bemerkenswert ist schon die Entstehensgeschichte. Da
drückt der Franzose Paul Le Bohec, einer der großen alten
Männer der Freinet-Bewegung und der Hauptvertreter
der natürlichen Methode, der Freinet-Pädagogin Marie-
Claude Flügge-Dutilly, die er auf einem der internationalen
Freinet-Treffen kennengelernt hat, ein Manuskript mit
7

dem Titel „Le texte libre mathématique“ in die Hand mit
der Nachfrage, ob die Deutschen es vielleicht herausge ben
wollten.
Marie-Claude, Französin und schon seit Jahrzehnten
in Berlin lebend, Lehrerin, aber keineswegs Mathematiklehrerin,
bringt dieses Werk dann in die Berliner Freinet-
Gruppe mit, die sich - welch Zufall - gerade mit Mathematik
beschäftigt.
So entsteht der Entschluss, eine Rohübersetzung einiger
Passagen vorzunehmen, um genauer prüfen zu können,
wie lohnend das Werk wäre.
Parallel dazu beginnt Angela Glänzel auch schon mit
ersten Versuchen zu einer derartigen Mathematik in Berlin
und veröffentlicht einen ersten Artikel dazu in „Fragen
und Versuche“ Nr. 56 (1), dessen Quintessenz bald auch
von anderen Freinet-Pädagoginnen z.B. in Hamburg aufgegriffen
wird.
Auf diese Weise wächst das Interesse an dieser Art
Mathematik sehr schnell und damit fällt auch die Entscheidung
für die Herausgabe. Es gilt nun einen passenden
Übersetzer für das Manuskript zu finden. Dieser
sollte - so die Berliner Freinet-Gruppe - sowohl gut vom
Französischen ins Deutsche übersetzen können als auch
einiges von Mathematik verstehen und schließlich auch
noch Paul und dessen „natürliche Methode“ sowie die Eigenarten
seines Sprachstils kennen. Schließlich findet sich
Peter Schütz aus Hildesheim, der seit längerem im internationalen
Bereich der Freinet-Bewegung aktiv ist, fließend
Französisch spricht und Paul persönlich kennt. Als auf
einem der jährlich stattfindenden Freinet-Grundschultreffen
in Altenmelle Pauls Ansatz vorgestellt wird, ist Peter
begeistert und erklärt sich bereit, die Rohübersetzung des
(1) “Fragen und Versuche” ist die Zeitung deutscher Freinet-Lehrerinnen,
die drei- bis viermal jährlich erscheint.
Buchmanuskriptes anzufertigen.
Marie-Claude Flügge konnte dann gewonnen werden,
die Rohübersetzung nochmals zu überprüfen, Angela
Glänzel übernahm die stilistische und sachlogische
Über arbeitung, so dass das Buch im Deutschen lesbar,
schlüs sig und verständlich wurde, und Gerda Frommeyer
(Bremen) schließlich stand für die Feinarbeiten (Rechtschreibprüfung,
Layout etc.) zur Verfügung - das Abenteuer
konnte beginnen.
Und es war wirklich ein Abenteuer, denn ziemlich bald
stellte sich heraus, dass Pauls Werk nicht nur wie ein Manuskript
aussah, sondern tatsächlich noch ein solches war.
Und es bedurfte noch erheblicher Arbeit in der Gruppe
Peter, Angela und Marie-Claude - teils mit teils ohne Paul
- um aus dem Manuskript das Buch werden zu lassen, als
das es jetzt vorliegt. Da mussten ganze Kapitel weggelassen,
völlig umgestellt oder auch fast neu geschrieben werden
usw. usw.
Im Laufe des Entstehungsprozesses dieses Buches
haben alle Beteiligten viel über die Komplexität der Übersetzung
und Herausgabe eines Werkes gelernt und sind oft
genug an ihre Grenzen gestoßen, zumal sie diese Arbeit
neben ihrem normalen Berufsalltag bewältigten.
Letztendlich ist das Vorhaben dann auch nur mit gu tem
Zuspruch und mancherlei Übersetzungs- und Formulierungshilfen
vieler - hier ungenannt bleibender - Freinetfreunde
zum Abschluss gekommen. So ist dieses Buch
wirklich zu einem Gemeinschaftswerk von Freinet-PädagogInnen
geworden und hat, noch ehe es erschienen ist,
eine breite Wirkung innerhalb der deutschen Freinet-Bewegung
entfaltet.
In welcher Weise sich dabei Freinet-Pädagoginnen
haben anregen lassen, wie sie die Bohec‘schen Ideen in
ihren Unterricht integrieren oder adaptieren, zeigen z.B.
die beiden der französischen Übersetzung angefügten
8 9

Berichte aus deutschen Grundschulklassen (vgl.S. 254 ff).
Dieses Buch ist aber vor allem wegen der hier entwickelten
Lernmethode bemerkenswert. Eines der zentralen
Anliegen Paul Le Bohecs ist es, mit diesem Buch zu
einer Grundlegung der ‘natürlichen Methode‘ zu kom men,
einer Lernmethode, die sich bewusst gegen das didaktisch
aufbereitete (systematisierte) Lernen, wie es in der Regel
in der Schule für notwendig erachtet wird, abhebt. Nach
der natürlichen Methode lernt z.B. jedes Kind seine Muttersprache
sprechen. Das Kind hört, spricht nach, hört
wieder, korrigiert sich usw. und es dürfte kaum einen Pädagogen
geben, der die Effektivität derartigen Lernens
in Zweifel ziehen und z.B. den Eltern raten würde, doch
lieber mit ihrem Kind erst ein Übungs programm für einzelne
Buchstaben oder einfache Wort gebilde zu absolvieren,
ehe sie mit ihm in ganzen Sätzen und schwierigeren
Wörtern sprechen sollten.
Eine der ersten, die recht umfassend mit der natürlichen
Methode in Berührung gekommen ist, ist meines
Wissens die taubstumme und blinde Helen Keller, die ab
1887 - Helen war damals etwa 7 Jahre alt und konnte sich
nur mit Hilfe einiger Gesten verständlich machen - von
ihrer Lehrerin Annie Sullivan in der Weise „unterrichtet“
wurde, indem sie ihr (ganz wie die Mutter mit ihrem kleinen
Kinde spricht) fast von Anfang an unaufhörlich in die
Hand buchstabierte, ohne ihre Sätze erst didaktisch aufzubereiten
oder vorgefertigte Sätze vorzulegen, die Helen
dann ‚nachzubuchstabieren‘ hatte - eine ‚Methode‘, die
sich Annie Sullivan in der Arbeit mit Helen selbst erarbeitet
hatte. Auf diese Weise entwickelte sich die Sprachfähigkeit
von Helen derart rasch und weitgehend, dass die
Lehrer einer Taubstummenschule, die nach herkömmlichen
Unterrichtsmethoden mit ihren Schülerinnen mit
vorgefertigten Sätzen arbeiteten, die diese dann ‚nach-
sprechen‘ mussten, es kaum glauben konnten (2) . Auch der
Reformpädagoge Berthold Otto war von der natürlichen
Methode überzeugt. Seine ideale Schule sollte eine solche
sein, in der das Kind das natürli che Lernen der Vorschulzeit
nahtlos fortsetzen kann.
Freinet hat die Leistungsfähigkeit der natürlichen Methode
sehr eindringlich in seinem Buch „apprentissage de
la langue“ (3) an der Schreib- und Leseentwicklung sei ner
Tochter Balouette aufgezeigt; übrigens ein Ansatz, wie er
heute in der Méthode ‚Lesen durch Schreiben‘ des Schweizers
Jürgen Reichen erfolgreich in vielen schwei zer und
deutschen Grundschulklassen praktiziert wird.
Dennoch hatte Freinet offensichtlich auch seine Zweifel
an der generellen Einsetzbarkeit der natürlichen Méthode.
Er war es jedenfalls, der Paul abriet, daran weiterzuarbeiten.
Freinets Frau Elise, im Unterschied zu ihrer
späteren Euphorie anfangs noch eher skeptisch gegenü ber
Pauls Vorhaben, schrieb dagegen, so berichtet es Paul selber:
„Hier sind Freinet, Pierrot, Jean gegen dich. Und ich
bin auch eher auf ihrer Seite. Aber mach weiter; denn du
könntest gegenüber uns allen Recht behalten.“ (vgl. S.166)
Dies offensichtlich beherzigend und eingebettet in eine
pädagogische Bewegung, die weniger auf die Worte ihres
Gründers denn auf die eigenen Erfahrungen und Forschungen
gibt, hat sich Paul lange Jahre der Entwicklung
der natürlichen Methode verschrieben und sie, wie unter
anderem dieses Buch zeigt, zu seinem Lebenswerk gemacht.
Im Laufe seiner Forschungen und Erfahrungen mit
(2) H. Keller: Geschichte meines Lebens, Scherz-Verlag, Bern 1955.
(3) C. Freinet: La méthode naturelle, Bd. I: L’apprentissage de la langue,
Editions Delachau et Niestle, Neuchâtal, Schweiz 1968, Teilabdruck unter
dem Titel „Vom Schreiben- und Lesenlernen“ in Boehncke/Humburg,
„Schreiben kann jeder“, Reinbek bei Hamburg 1980
10 11

Kindern und auch mit Erwachsenen hat er die Grenzen
dieser Methode immer weiter hinausschie ben können und
ist gerade in der Mathematik, an die er sich zuletzt gewagt
hatte, besonders erfolgreich gewesen. Dies macht schon
Erstaunen, scheint sich doch ein Fach, das immer als der
Inbegriff der Systematik betrachtet wird, einer solchen
„unsystematischen“ Methode gegen über auf den ersten
Blick völlig zu versperren.
Bemerkenswert schließlich ist dieses Werk von dem
in ihm vorgestellten Verständnis von Mathematik und
Mathematikunterricht.
Überblickt man die derzeitige Situation des Mathematikunterrichts,
so wird man feststellen, dass auch heute
noch - zumindest in Deutschland - die Mehrzahl der Mathematiklehrerinnen
dem Glauben anhängen, die Aufgabe
des Mathematikunterrichts bestehe im wesentlichen
darin, Standardverfahren zur Lösung von - in Mathematikbüchern
zusammengestellten - Aufgaben einzuüben.
Aber auch reformpädagogisch orientierte Lehrerinnen
sind trotz aller Öffnung ihres Unterrichts im sprachlichen
und sachkundlichen Bereich in der Regel nur wenig
über diesen eben erwähnten Ansatz hinausge kommen und
können sich unter einem anderen Mathe matikunterricht
letztlich auch nur die Auflockerung durch mathematische
Übungsspiele oder Aufgabenkärtchen in Karteikartenform
vorstellen.
Dagegen stellt Paul Le Bohec nun einen Ansatz vor,
der das kreative Potenzial der Kinder (und der Erwachsenen)
auch in der Mathematik voll zur Entfaltung bringt.
Wer die Passagen dieses Buches liest, in denen es um
die mathematischen Kreationen der Kinder und der Erwachsenen
geht, wird bald merken, dass Mathematik eine
ganze Menge mehr bedeutet als routiniertes Nachmachen
von Lösungsschemata. Dass Mathematik etwas ungeheuer
Spannendes und Kreatives sein kann, haben große
Mathematiker immer wieder deutlich gemacht. Bekannt
ist z.B. Norbert Wieners Ausspruch: „Ich bin Mathematiker,
also Künstler“. Diejenigen, die im Studium bis in
die neuere Forschung der Mathematik vorstoßen konnten
(wie es mir z.B. vergönnt war), wer den diesen Zusammenhang
zwischen Mathematik und Kunst bestätigen
können. Dass auch mathematische Laien etwas von diesem
Fluidum spüren können, kann man diesem Buch entnehmen
und - wie ich hoffe - auch selbst erleben, wenn
man sich, sei es mit Kolleginnen oder seiner Klasse - auf
das Abenteuer des freien Ausdrucks auch in der Mathematik
einlässt.
Dabei bleibt Paul Le Bohec mit seinen Klassen nicht im
unverbindlichen ‘Sandkastenspiel’ hängen, wie man vielleicht
argwöhnen könnte. Vielmehr werden die Leserinnen
staunen, mit welcher Schnelligkeit seine Klassen sich
in die Tiefen der Mathematik eingraben und spielend Themen
bearbeiten, die weit über den Rahmen der übli chen
Grundschulmathematik hinausgehen.
Als das Abenteuer dieser Buchherausgabe vor fast
vier Jahren begann, ahnte noch niemand, dass wir damit
unmittelbar im Trend der neuen Diskussion um den Mathematikunterricht
liegen würden. Nach der selbstverordneten
Innovationspause, nach dem Desaster mit der Einführung
der so genannten ‚neuen Mathematik‘, scheint
nämlich jetzt ein neuer Innovationsschub in der Mathematikdidaktik
Platz zu greifen:
• Da mehren sich in letzter Zeit Beiträge, die sich in radikaler
Weise mit dem bisherigen Mathematikunter richt
auseinandersetzen: etwa von der französischen Mathematikerin
Stella Baruk, die dem Mathematik unterricht vorwirft,
absolut nichts über die Psyche der Kinder zu wissen,
12 13

denen man Mathematik beibringen will (4) oder von Forschern
der ‚Chaosmathematik‘ (5) , die dem Mathematikunterricht
vorwerfen, dass „von den Lernenden
mehr erwartet wird, als das gedan kenlose Exerzieren von
Fertigkeiten...“.
• Da erscheinen zwei Ausgaben der „Grundschulzeitschrift“
kurz hintereinander mit einem Schwerpunkt in
Mathematik (6) , in dem sich bereits zeigt, wie Grundschullehrerlnnen
- z.T. mit, aber auch ohne den Bohec‘-schen
Impuls - einen freieren Mathematikunterricht prak tizieren
und reflektieren.
• Da gibt es schließlich die Schweizer Urs Ruf und Peter Gallin,
die seit einigen Jahren mit ihrem Buch „Sprache und
Mathematik“ (7) einen Ansatz des Mathematikunter richts
vertreten, der die Rollenverteilung von Lehrerinnen und
Schülerinnen völlig verändert. Hier wird nicht mehr, wie
in der Regel im Mathematikunterricht üblich, von Schülerinnen
erwartet, dass sie in erster Linie die Theorien der
Lehrerinnen nachzuvollziehen haben, die ihnen diese als
wohlportionierte Mathehäppchen verabreichen. Vielmehr
sind die Schülerinnen als aktive Teile aufgefor dert, sich
selbst einen Reim auf das Ausgangsproblem zu machen,
und die Aufgabe der Lehrerinnen besteht darin, die von
dem Kind erdachten Ideen nachzuvollziehen und ihm zu
helfen, diese seine privaten Theorien weiterzuden ken und
auszuentwickeln. Und erst danach ist die richtige Zeit, die
reguläre Theorie der Wissenschaft kennen zulernen und
zu übernehmen - wozu die Schülerinnen dann auch sehr
leicht und schnell bereit sind.
(4) S. Baruk: Wie alt ist der Kapitän? Über den Irrtum in der
Mathematik, Basel 1989 (vgl. Bibliographie)
(5) Peitgen u.a.: Bausteine des Chaos - Fraktale, Stuttgart 1992
(6) Die Grundschulzeitschrift, Hefte Nr. 72 und 74. Seelze, 1994
(7) U. Ruf und P. Gallin: Sprache und Mathematik in der Schule, Verlag
Lehrerinnen und Lehrer Schweiz, Zürich 1990
Dem doppelten Ansatz dieses Buches entsprechend
gehen unsere Wünsche denn auch in zweierlei Richtung.
Zum einen hoffen wir mit dieser Herausgabe einen kräftigen
Impuls für die Neuentwicklung des Mathematikunterrichtes
zu geben. Auf der anderen Seite möchten
wir hiermit zur Auseinandersetzung mit und Weiterentwicklung
der natürlichen Methode anregen, einer ‚Lernmethode‘,
die derzeit - von Pädagogen offensichtlich
weitgehend unbemerkt und diese außen vor lassend -mal
wieder ihre Leistungsfähigkeit beweist. Wer beobach tet,
wie und mit welcher ‚Methode‘ - und Leichtigkeit - sich
Kinder und Jugendliche derzeit des Computers bemächtigen,
wird wissen, was ich meine.
Hartmut Glänzel, Pädagogik-Kooperative e.V.,
Bremen im Juli 1994
Vorwort zur 2. Auflage
Paul Le Bohec’s Buch hat schnell einen interessierten
und begeisterten Leserkreis gefunden, so dass es unerwartet
jetzt schon in die 2. Auflage geht.
Eine Reihe von aufmerksamen Lesern hat uns nach
dem Erscheinen des Buches wertvolle Tips und Hinweise
gegeben auf Druckfehler, Übersetzungsfehler, sachliche
Fehler. Dafür möchten wir an dieser Stelle herzlich danken.
Da trotz dieser Hilfe und eigener Recherche immer
noch einiges unbefriedigend bleibt, bitten wir auch weiterhin
um unterstützende Rückmeldung.
Seit der Herausgabe dieses Buches hat sich die Diskussion
über Mathematikunterricht ziemlich dynamisiert.
So sind meine Hinweise vom Jahre 1994 jetzt schon
14 15

ergänzungsbedürftig. Ohne Anspruch auf Vollständigkeit
möchte ich auf zwei mir besonders bemerkenswerte Veröffentlichungen
hinweisen.
Die schon erwähnten Gallin und Ruf haben ihre Arbeit
fortgesetzt und in ein interessantes Schulbuch (8) gegossen
(für die Klassen 1 bis 3 und über alle Fächergrenzen
hinweg!).
H.W. Heymann hat eine Schrift (9) vorgelegt, in der er
die allgemeinbildenden Anteile des derzeitigen Mathematikunterrichts
untersucht und mit seinen Thesen eine
sehr kontroverse Diskussion - bis in die Boulevard-Presse
hinein - vom Zaun gebrochen hat.
Dass „Verstehen heißt Wiedererfinden“ so schnell eine
so große Resonanz gefunden hat, hat nicht nur uns, sondern
verständlicherweise auch den Autor sehr zufrieden
gemacht. „Ich wäre noch viel zufriedener“, schrieb uns
Paul vor kurzem in einem persönlichen Brief, „wenn ich
hören würde, dass sich viele Lehrer darangemacht haben,
die natürliche Methode auch zu praktizieren.“ Dem habe
ich, außer der Bitte, dann mit uns darüber in Austausch
und Diskussion zu treten, nichts hinzufügen.
Hartmut Glänzel, Pädagogik-Kooperative e.V.,
Bremen im September 1997
(8) Peter Gallin/Urs Ruf: Ich mach das so! Wie machst du es?
Das machen wir ab. - Sprache und Mathematik, 1. bis 3. Schuljahr,
Lehrmittelverlag des Kantons Zürich, 1995. Zu beziehen über Pädagogik-
Kooperative, Bremen
(9) Hans Werner Heymann: Allgemeinbildung und Mathematik, noch
unveröffentlichte Habilitationsschrift, Bielefeld 1995
1. Einleitung
Mein persönlicher Weg
„In Wirklichkeit liest jeder, wenn er liest, etwas über sich
selbst. Das Werk des Schriftstellers ist nur eine Art optisches
Instrument, das er dem Leser anbietet, um ihm zu
ermöglichen, das zu erkennen, was er ohne dieses Buch
vielleicht nicht in sich selbst gesehen hätte ...“
Marcel Proust
Um ein solches ‘optisches Instrument’ haben mich
Praktiker der Freinet-Pädagogik gebeten. Nachdem viele
Lehrer an Tagungen zur Einführung in die natürliche Methode
der Mathematik teilgenommen und ebenso vie le
entsprechende Versuche in ihrer Klasse gestartet haben,
meine ich, dass der Moment gekommen ist, ein solches
‚optisches Instrument‘ in Form eines Buches zu schaffen.
Für sie schildere ich meine ‚Abenteuer‘ auf zwei Ebenen:
mit Kindern und mit Erwachsenen.
Meine Erfahrungen mit Kindern waren sehr umfangreich
und intensiv: Ich habe die natürliche Methode der Mathematik
mit Schülern von sechs bis neun Jahren Tag für
Tag über drei Jahre hinweg entwickelt und praktiziert.
Meine Ideen und Erfahrungen scheinen auch für ande re
ganz brauchbar zu sein, denn sie sind jetzt wieder aufgenommen
worden und werden noch weiter entwickelt.
Außerdem habe ich in Frankreich, Belgien, Deutschland
und bei internationalen Treffen mehr als 200 Semina re
für Erwachsene durchgeführt. Und zusätzlich habe ich die
natürliche Methode italienischen Lehrern in etwa sechzig
Städten, vom Norden bis zum Süden, vom Westen bis
zum Osten der Halbinsel - Sizilien und Sardinien nicht zu
vergessen -, nahegebracht.
16 17

Es handelt sich selbstverständlich um die natürliche
Methode von Célestin Freinet.
Er stammte aus einer unterprivilegierten Klasse. Das
Unrecht, das diese Klasse erdulden musste, hatte ihn dazu
gebracht, die Fragen von Schule, Erziehung und Unterricht
zu überdenken. Sehr früh beeindruckte ihn die Tatsache,
dass alle Mütter auf der Welt ihren Kindern ihre
Sprache beibringen konnten, ohne jemals auf die Flut
von schulischen Übungen zurückgreifen zu müssen, die
in der Pädagogik seiner Zeit für jedes Lernen unverzichtbar
waren. Und er fragte, ob man nicht diese ‚natürliche‘
Methode auf alle Bereiche anwenden könnte. Aber er gab
sich mit dieser theoretischen Vision nicht zufrieden. Er
lieferte praktische Beweise, indem er einen Bericht vom
Leselernprozess seiner eigenen Tochter veröffentlichte (10)
Außerdem führte er Studien über die natürliche Méthode
beim Spracherwerb, beim Zeichnen sowie beim Schreibenlernen
(Freinet 1968) durch.
Diese Arbeiten haben mich seit ihrer Veröffentlichung
interessiert. Deshalb habe ich fünfundzwanzig Jahre lang
in meinen Klassen (meist 1. und 2. Jahrgang gemeinsam) (11) ,
also mit Kindern von sechs bis acht teilweise bis neun
Jahren, die Ideen von Freinet und seiner Frau Elise umgesetzt,
und zwar nicht nur im Bereich des Lesens und des
(10) In C. Freinet: La Méthode Naturelle, I. L’Apprentissage de la Langue.
Editiond Delachaux et Niestle, Neuchâtel, Schweiz 1968 Übersetzung
(leicht gekürzt) in: Boehncke/Humburg: Schreiben kann jeder, Rowohlt,
Hamburg 1980, S 32ff
(11) In dieser Übersetzung werden die deutschen Bezeichnungen für
die Klassenstufen verwendet: In Frankreich werden die Kinder wie in
Deutschland mit sechs Jahren eingeschult, die Grundschule umfasst jedoch
fünf Jahre. Die Klassenstufen haben dort folgende Bezeichnungen:
C.P. (cours préparatoire): 1. KL, C.E. 1. (cours élémentaire 1): 2. KL, C.E.
2. (cours élémentaire 2): 3. KL, CM. 1. (cours moyen 1): 4. KL, CM. 2.
(cours moyen 2): 5. Kl. (Anm. d. Übers.)
schriftlichen Ausdrucks, sondern auch im mündlichen
Ausdruck, in Musik, im Sport bis hin zur Mathematik.
Gleichzeitig konnte ich hautnah die engagierten Versuche
meiner Frau in den Bereichen Lesen- und Schreibenlernen,
Umwelterkundung sowie in Zeichnen und Malen
- über 23 Jahre hinweg! - verfolgen.
Da wir in Parallelklassen unterrichteten, hatten wir
täglich die Möglichkeit zu vergleichen, zu diskutieren
und gemeinsam nachzudenken. Das war mir von großem
Nutzen für meine theoretische Forschung, deren Ergebnisse
ich oft Freinet und seiner Frau Elise mit der Bitte um
Kommentar vorlegte. Weil ich nämlich auf diese Weise
von einer dreifachen Kritik profitieren konnte, hatte ich
gute Aussichten, ein wenig klarer zu sehen.
Außerdem hatte ich das Glück, diesem Weg der Forschung
weiter folgen zu können, da ich in der Folge der
68er Jahre zum Dozenten für Pädagogik an dem I.U.T. (12)
für Sozialberufe in Rennes, in einem Ausbildungsgang
für Sozialarbeiter und Sozialpädagogen, ernannt wurde.
Am I.U.T. konnte ich neue Techniken entwickeln:
Schreiben in der Gruppe, Co-Biographien, Hören mit Bildern
usw. Dort habe ich auch gelernt, Studenten gruppen
anzuleiten. Diese Erfahrung mit Erwachsenen hat es mir
dann ermöglicht, den vielen Anfragen über Freinet-Pädagogik
nachkommen zu können, die von Einrichtungen der
Éducation Nationale (13) , der Éducation Surveillée (14) und
der Universität (aus Frankreich und dem Ausland) gestellt
wurden. Aber in den letzten Jahren habe ich mich vor allem
für die natürliche Methode des Lernens interessiert.
(12) Das I.U.T. (Institut Universitaire de Technologie ist eine
Hochschuleinrichtung, die etwa den Fachhochschulen vergleich bar ist.
(Anm. d. Übers.)
(13) ‚Éducation Nationale‘: Kurzbezeichnung für das Schulwesen, nach
dem Namen des zuständigen Ministeriums. (Anm. d. Übers.)
(14) ‚Éducation Surveillée‘: Heimerziehung (Anm. d. Übers.)
18 19

Es war ein sehr großes Gebiet, das ich - ausgehend von
meiner persönlichen Erfahrung - angefangen habe theoretisch
aufzuarbeiten. Aber ich hatte sehr schnell das Bedürfnis,
mich dabei auf bestimmte Persönlichkeiten, wie
zum Beispiel Freinet, Bachelard oder Ricardou bzw. auf
bestimmte Bücher zu stützen. Besonders interessant für
uns ist das Werk von Edgar Morin (1986), weil es ebenfalls
von der Ganzheitlichkeit des Menschen aus geht. Er
schreibt:
„Das Wissen ist ein multidimensionales Phänomen in
dem Sinne, dass es - auf nicht trennbare Weise - gleichzeitig
physisch, biologisch, neurophysiologisch, mental,
psychologisch, historisch, kulturell, sozial... ist“
(Morin 1986, S. 12)
Dass man eine weitere Größe, nämlich die der Komplexität,
nicht umgehen kann, wussten Freinet-Lehrer längst
durch eigene Erfahrung. Und wir können nur Freinet bewundern,
der uns bereits vor fünfzig Jahren auf diesen
Weg gebracht hat, obwohl der damalige Mode trend auf
einen extremen Segmentarismus wies. 1950 schrieb er
dazu:
„Unsere Ärzte haben unsere Kinder in ihre Gewalt bekommen,
sie haben sie isoliert, zurückgehalten, eingeschlossen,
um sie besser untersuchen und ihr Verhalten
analysieren zu können. Aber diese statische Studie des
Menschen, die vielleicht gerechtfertigt wäre, wenn man
ausschließlich die analytische Zusammensetzung des
untersuchten Individuums betrachten würde, wird völlig
unvollständig und irreführend, wenn man ein ganzheitliches
Verständnis des lebendigen Wesens anstrebt.
Wir werden über die fragmentarischen und einseitigen
Beobachtungen der Wissenschaftler hinaus das Kind in
seinem Werden in den Blick nehmen, um schließlich zur
Untersuchung des Menschen mit seinem inneren
Aufbau, in seinem Funktionieren, in seinem Leben, in seiner
Dynamik zu kommen.“
(Freinet 1966, S. 6)
Ja, für uns, die Praktiker der Freinet-Pädagogik, ist ein
Kind nicht die Summe verschiedener Teile, die losgelöst
voneinander analysierbar sind, sondern etwas Globales,
ein sich stetig veränderndes Ganzes. Wir müssen das Kind
mit seiner ganzen Dynamik sehen.
Es ist also der Begriff der Ganzheitlichkeit, den ich
versuche in meinen Seminaren mit Erwachsenen deutlich
zu machen. Ich denke, dass man sich bemühen muss, alle
Elemente ins Bewusstsein zu rücken, die das Lernen unterstützen
könnten. Ich gebe nicht vor Wissen zu ver mitteln;
ich versuche vielmehr, die Teilnehmer durch den Wurf
ins kalte Wasser zu provozieren, neue Ufer anzu streben.
Denn nichts wird sich in der Pädagogik ändern -und zweifellos
auch nicht anderswo -, solange sich die Praktiker
nicht darum bemühen, ihre eigene Praxis theo retisch zu
durchdringen. (Doch damit die Dinge sich wirklich ändern,
wird eine Handvoll pädagogischer Agitatoren nicht
ausreichen. Es ist notwendig, dass sich sehr viele Lehrer
auf den Weg machen. Und dafür setzen wir uns ein.)
Wenn man wissen will, was sich beim Lernen der Kinder
ereignet, ist es sinnvoll genau zu beobachten, wie sich
Lernen bei uns Erwachsenen abspielt. Das ist die Absicht
meiner Seminare. Im allgemeinen erstrecken sie sich über
drei Sitzungen: Mathematik, Schreiben/Lesen und Kunsterziehung.
Manchmal ist eine zusätzliche Sit zung dabei,
die sich dem mündlichen Ausdruck und dem Singen
widmet.
Ich fange dabei aus taktischen Gründen mit der Mathematik
an: Da die Ergebnisse hier sehr unzurei chend sind,
sind die Leute wahrscheinlich in diesem Fach besonders
offen für neue Perspektiven.
20 21

Setting bei Erwachsenen und Kindern
In meinen Seminaren kümmere ich mich anfangs sehr
wenig um fachliche (in diesem Fall mathematische) Inhalte:
Ich versuche vor allem das ‚Verhalten des Menschen
beim Lernen‘ herauszuarbeiten. Um das zu erreichen,
bitte ich die Teilnehmer, eine mathematische Erfindung zu
machen. Das bringt sie zunächst ganz durcheinander, weil
sie sich nicht an das klammern kön nen, was sie bereits
wissen, bzw. weil sie sich nicht auf hinlänglich erprobte
Strategien zurückziehen können.
Die Teilnehmer befinden sich so in einer für sie völlig
neuen Lage, und sie reagieren auf diese ungewohnte
Situation ganz offen und spontan. Sie zeigen sich so, wie
sie wirklich sind, weil sie ihre Verhaltensweisen und Gefühle
zu diesem Zeitpunkt nur wenig kontrollieren, denn
sie nehmen diese selbst (noch) nicht wahr. Ich sehe es als
meine Aufgabe an, ihnen diese Verhaltensweisen und Gefühle
bewusst zu machen, denn es scheint mir für Lehrer
sehr wichtig zu sein zu lernen, wie man solche Reaktionen
erkennt und entschlüsselt. Dies fällt ihnen übrigens sehr
leicht, weil es ihre eigenen Reaktionen sind. So sage ich
z.B.:
„Macht eine mathematische Erfindung!“
Anschließend ahme ich die Bestürzung einiger Teilnehmer
nach, indem ich die Hände über dem Kopf zusammenschlage:
„Eine Erfindung? Das kann ich nicht!“
Und ich fahre fort: „Aber klar doch! Aber ja doch! Ihr
schafft das. Als erstes: Was ist eigentlich eine Erfindung?
Es ist ganz einfach: Es ist irgendetwas! Also: Ihr geht von
Ziffern, Zahlen, Punkten oder Buchstaben aus und macht
damit irgendetwas. Und dieses ‚Irgendetwas‘, das kann
jeder!“
Ich füge hinzu: „Zermartert euch nicht den Kopf!
Wenn ihr es jetzt noch nicht genau verstanden habt,
dann versuchen wir es noch einmal.”
Aber in der Regel braucht man diesen zweiten Anlauf
nicht, weil jeder mitmacht. Schließlich sind diese Personen
hier, weil sie es wollen. (Eigentlich arbeite ich sehr
selten in einem ‚offiziellen‘ Rahmen und unter Pflichtbedingungen.
Und so habe ich es sozusagen immer nur mit
Freiwilligen zu tun, die immer mitarbeiten wol len.)
Während dieser Arbeit gehe ich durch die Reihen und
bitte einzelne Teilnehmer, diese oder jene Erfindung an
die Tafel zu schreiben. Und ich füge hinzu: „Entschuldigt
bitte, wenn ich nicht alle Erfindungen nehmen kann. Das
ist schade, denn durch die Kommentare zur eigenen Erfindung
lernt man am besten. Als Ausgleich werden morgen
diejenigen Vorrang haben, die heute nicht ausge wählt wurden.
Aber ich mache euch darauf aufmerksam, dass jeder,
der heute nicht dran kommt, frustriert sein wird. Und es
besteht die Gefahr, dass er keine Lust mehr hat etwas zu
erfinden und so benachteiligt sein wird! Und eine letzte
Anmerkung: Wenn ich bestimmte Erfin dungen eher auswähle
als andere, so geschieht dies nicht, weil sie besser
wären, sondern ich wähle diejenigen aus, die schneller
ausgewertet werden können. Normaler weise würde ich
von jedem eine Erfindung besprechen.“
Bevor ich mit der Besprechung anfange, vergesse ich
selten hinzuzufügen:
„Ich mache euch schon im Voraus darauf aufmerksam,
dass dieses Seminar nicht das halten kann, was es verspricht,
weil wir nicht genug Zeit haben. Und die Zeit ist
ein wichtiges Element der natürlichen Methode. Sie erlaubt
uns, Themen später noch einmal aufzunehmen, auf
Vergangenes zurückzugreifen, sich zurückzubesinnen, zu
wiederholen, zu...., denn oftmals taucht dieselbe Idee im
Laufe von zwei Tagen, einer Woche oder eines Monats
mehrmals auf. Und genau diese wiederholten Betrach-
22 23

tungen erleichtern das Lernen.“
Natürlich ist das nicht immer so, denn manchmal
wird eine Struktur sofort im Anschluss an ihre erste Vorstellung
dazu genutzt, die darauf folgenden Erfindungen
zu untersuchen. Und wenn noch Zeit bleibt, dann bitte ich
am Ende einer Sitzung um eine zweite Serie von Erfindungen.
Dabei stellen wir oft fest, dass die neuen Erfindungen
durch das, was vorher passiert ist, stark geprägt
sind. So weise ich auf meine Art auf die Bedeu tung der
Zeit hin.
Bevor ich dann anfange, die Erfindungen der Teilnehmer
untersuchen zu lassen, erzähle ich, wie ich in meiner
kombinierten Klasse (2./3. Schuljahr) vorgegan gen bin,
als ich die Dreistigkeit besaß, drei ganze Schuljahre lang
freie Mathematik zu betreiben. Die Kinder hatten ein Heft
mit Erfindungen, in das sie ‚freie mathematische Texte‘
niederschrieben, wenn und wann sie es wollten. Abends
sammelte ich die Hälfte der Hefte aus der 2. Klasse und
die Hälfte der Hefte aus der 3. Klasse ein. Aus jedem Heft
schrieb ich eine Erfindung an die Tafel. Am nächsten Tag
sammelte ich die andere Hälfte ein. So wurde innerhalb
von zwei Tagen eine Erfindung von jedem Kind berücksichtigt.
Das ist wichtig, um den Fluss der Produktion in
Gang zu setzen und aufrecht zu erhalten.
Einige Kollegen haben versucht, die Arbeit mit dieser
‘verrückten‘ Methode auf einen Tag pro Woche zu beschränken.
Aber das hat nicht funktioniert, weil der Fluss
zu einem dünnen Rinnsal wurde. Es ist, wie wenn man
den Mond nur an einem Tag pro Woche in Bewe gung
setzen würde - die Folgen wären an den Gezeiten zu erkennen.
Der Strom darf nicht versiegen. Wenn man den
Versuch wirklich wagen will, dann sollte man sich lieber
fünfzehn Tage vollständig darauf einlassen. Dann
könnte man das Spiel gründlich spielen und nicht nur
ein Lippenbekenntnis ablegen. Und wenn man zu dem
Entschluss käme, so nicht mehr weiterarbeiten zu wollen,
dann wäre es eine Entscheidung auf der Grundlage der
konkreten eigenen Erfahrung.
Was also den Fluss aufrecht erhält, ist die täglich wiederkehrende
Untersuchung der Texte. Und das habe ich so
gemacht: Ich habe den Zweitklässlern eine systemati sche
Arbeit aufgegeben (z.B. Rechenkarteien), während ich mit
den Drittklässlern arbeitete. Nach 45 Minuten wurde getauscht.
Auffallend war, dass einige Kinder der 2. Klasse
neben der Arbeit mit der Kartei aufgepasst und verfolgt
haben, was die Großen taten. Und da sie sich von der
Arbeit der Größeren sehr angezogen fühlten und sie aufmerksam
verfolgten, profitierten sie auch davon. Und umgekehrt:
Als die Kleinen an der Reihe waren, verfolg ten
einige Große dies mit Neugier und Heiterkeit. Und das bot
einigen von ihnen die Möglichkeit, ihr Wissen zu überprüfen
und zu festigen. Übrigens fehlte es den Kleinen
nicht an originellen Ideen, die es verdienten, aus gewertet
und erforscht zu werden.
Deshalb habe ich einer Kollegin (Monique Quertier),
die in jenem Jahr einen Jahrgang (ein drittes Schuljahr)
hatte, geraten, diesen in zwei Gruppen aufzuteilen. Der
Erfolg war sofort sichtbar und zwar hauptsächlich deshalb,
weil nicht zu viele Erfindungen auf einmal zu untersuchen
waren. So hatte die Klasse mehr Zeit sich jeder
einzelnen zu widmen. In meiner kombinierten 2./3. Klasse
mit 28 Schülern haben wir jeden Tag 7 Erfin dungen aus
jeder Gruppe untersucht. Das ist eine ver nünftige Anzahl.
Und da die Hefte nur alle zwei Tage ein gesammelt wurden,
hatte jedes Kind die Möglichkeit, eine Idee entweder
aus seiner alltäglichen Wahrnehmung oder aus den Erfindungen
des Vortages bzw. desselben Tages zu entwickeln
oder aus denen der anderen Gruppe.
24 25

Und manchmal passierte es, dass sich ein Kind in einer
Sitzung sein Heft schnappte, um das, was wir gerade behandelten,
noch einmal zu machen oder zu überprüfen.
Oder ein Kind fing - ausgelöst durch unser Gespräch - an,
etwas zu entwickeln, zu erweitern, zu umgehen, Umwege
zu gehen, umzustellen, zu verlängern, zu ver dichten,
weiterzuverfolgen....
2. Elemente der natürlichen Methode -
aufgezeigt an der Arbeit mit
Erwachsenen
Die grundlegende Neuigkeit und die Weisheit dieser
Methode liegt im Prinzip der Komplexität. Sie gründet
sich auf eine globale Aneignung des Wissens. Folglich
tre ten, wenn man diese Methode praktiziert, tausende von
verschiedenen Phänomenen an die Oberfläche, die so vielfältig
und so ineinander verschachtelt sind, dass es unmöglich
ist, sie voneinander isoliert und geordnet vor zustellen.
Man muss sich also darauf einstellen, auf den folgenden
Seiten von allen Aspekten etwas vorzufinden. Vor allem
aber werden überall Emotionen, die ein unab dingbarer
Katalysator für den Erwerb von Wissen sind, zu finden
sein. Aber wir werden noch auf mehr stoßen: auf die Fröhlichkeit,
auf das Bedürfnis zu erfinden, auf die Freude, die
durch Wissen entsteht, auf Gruppen phänomene, auf die
Dialektik von Weisheit und Verrückt heit, auf verschlungene
Entdeckungswege, auf die Unterschiede von linker
und rechter Gehirnhälfte, auf das Streben nach Macht
durch Wissen, auf die Vorteile gemeinsamen Arbeitens,
auf die Mannigfaltigkeit der Situationen und der Persönlichkeiten
usw.
All dies erfordert eine komplexe Darstellungweise. Ich
hoffe, dass die Leser sie angesichts der Authentizität der
Anekdoten akzeptieren können, mit deren Hilfe ich versuche,
die Komplexität des Lebens möglichst genau zu
beschreiben.
26 27

Die Quelle der Erfindungen
Welcher Art sind nun die Erfindungen, die bei der ersten
Begegnung mit der natürlichen Methode gemacht
wer den? Aus welcher Quelle können sie stammen? Auf
den ersten Blick scheinen sie von überall her zu kommen.
Schauen wir sie uns deshalb näher an!
Visuelle Ästhetik
Die Freude an der Symmetrie ist offensichtlich. Bei den
Erfindungen dieses Typs ist sie ein wenig versteckt,
da sich die Symmetrie nur auf die Lage der Buchstaben
bezieht.
Intellektuelle Ästhetik
1. 2. 4. 8. 16.
1. 4. 16. 64.
Hörästhetik
azi barzi corazza ozzara
Unsymmetrisches:
Für einige ist im Gegensatz dazu die Nicht-Symmetrie besonders
interessant:
28 29

Hier spürt man das Vorhandensein von bewussten
oder unbewussten Konstruktionsregeln, die sofort die
Auf merksamkeit der Teilnehmer erregen. Und tatsächlich
wird so das Gehirn in Bewegung gesetzt.
Manchmal reicht ein einziges Wort aus, um eine
Erfindung auszulösen:
Der Autor hat uns folgende Erklärung gegeben: „Es
sind die Buchstaben des Wortes ‚EUROPA‘. Ich bin darauf
gekommen, weil Rinaldo bei der Vorstellung des Semi nars
von Europa sprach. Aber halt, jetzt fällt mir noch mehr
ein. Vor einem Jahr hat meine Klasse an einem Wettbewerb
der Europäischen Gemeinschaft teilgenom men und
dabei einen Preis gewonnen. Also, eigentlich dachte ich,
dass meine Erfindung nur etwas mit Rinaldos Beitrag zu
tun hätte, aber in Wirklichkeit verbindet sich eine frühere
Erfahrung mit diesem Wort. Durch die Erfin dung ist sie
mir wieder bewusst geworden. Ohne sie hätte ich mich
nicht daran erinnert.“
Diese Erkenntnis hat mich am meisten erstaunt. Ich
hatte etwas Ähnliches zuerst bei Schülern beobachtet,
aber nicht vermutet, dass es auch bei Erwachsenen auftreten
könnte. Ich hatte die Erwachsenen eher für Spieler, für
oberflächlicher und für distanzierter gehalten. Wenn ich
nun zu Beginn der Arbeit sage: „Macht irgend etwas!“,
so kommt dabei selten etwas Beliebiges heraus. Und
genau dies macht die Besonderheit aus. Denn in diesen
Erfin dungen, selbst den schnellen oder den scheinbar banalen,
steckt sehr viel Persönliches des Menschen. Und
dies ist ein Hauptpunkt der natürlichen Methode. Wie im
mutter sprachlichen Unterricht stütze ich mich auch hier
auf den freien Ausdruck. Diejenigen, die dort vor mir
sitzen, sind nicht mehr Schüler oder Seminarteilnehmer,
sondern menschliche Wesen mit allem Drum und Dran,
ein schließlich dem unbewussten Bedürfnis, sich mit allen
Mitteln, die diese neue Sprache bietet, auszudrücken. Und
es ist sogar überraschend zu sehen, wie sich das Be dürfnis
einschleicht, etwas über sich mitzuteilen, wo es sich doch
eigentlich nur um kalte, abstrakte mathemati sche Dinge
handelt.
Das funktioniert deshalb so gut, weil man hier, wie
beim Zeichnen, seine Botschaft viel leichter tarnen kann.
Worte würden da viel mehr offen legen. Natürlich versuche
ich, nicht zu interpretieren. Wir sind hier in der Mathematik,
nicht in der Psychoanalyse. Trotzdem kann ich es
nicht vermeiden, von der psychologischen Dimension der
Dinge zu sprechen, denn sie ist ein wichtiges Element,
wenn nicht gar ein Hauptbestandteil der natürlichen Methode,
weil sie alle Dimensionen des menschlichen Wesens
berührt.
So kommt es vor, dass einige Teilnehmer ganz spontan
30 31

den Sinn und die grundsätzliche Bedeutung ihrer Erfindung
erklären, ohne dass man darum gebeten hätte.
Besonders ausgeprägt war dies bei einem Lehrerfortbildungskurs
in Aix-en-Provence. Bei 10 von 13 Erfindungen
wurde erklärt, welche besondere Bedeutung sie für
ihre Autoren hatten. Vielleicht waren sie geübt in der (Psycho-)Analyse
und deshalb so scharfsinnig. Vielleicht auch,
weil das Klima in der Gruppe gut war: man konnte hier
viel sagen.
Hier ein Beispiel:
Adrienne: „Oh! Man merkt, dass es rechts offen ist,
und das stört mich.“
Jean-Pierre: „Das ist eine Subtraktion, aber in Z und
nicht in N. In N (der Menge der natürlichen Zahlen) wäre
es unmöglich. Aber in Z (der Menge der ganzen Zahlen)
kann man sagen: 2 - 6 = - 4“
Rene (der Autor): „Ich mag die geraden Zahlen sehr
gern.“
Christine: „Oh! Ich überhaupt nicht. Ich mag die
ungera den Zahlen lieber.“
Paul: „De la musique avant toute chose.
Et pour cela préfère l‘impair.“
(Von der Musik vor allen Dingen.
Und deshalb ziehe ich das Ungerade vor.)
(Nachmittags bringt Helene das eben zitierte Gedicht
von Verlaine mit. Das Beispiel zeigt, wie wichtig es ist,
auch für Unerwartetes offen zu sein. Von der Mathematik
kann man auf die Poesie, auf die Psychologie, die Choreographie,
die Politik und tausend andere Dinge kommen.
Und umgekehrt. Jedes Element des Lebens beruht auf
Strukturen. Und man kann ständig von den Dingen zu den
Strukturen und von den Strukturen zu den Dingen wechseln.
Aber wehe, wenn man versucht, dieses Hin und Her
zu verhindern, weil man seriös sein will - dann passiert
nichts mehr.)
Rene (der Autor): „Oh, aber wartet, ich weiß jetzt, was
mit meinen Zahlen los ist. Es war der 2. 6. 64, als die See
mich zum zweiten Mal dem Leben zurückgegeben hat,
während alle meine Kollegen ertrunken sind.“
Das ist doch nicht möglich; es ist unglaublich, dass
diese einfachen geraden Zahlen dieses ganze Drama beinhalten!
Man kann davon nur ergriffen sein.
Ja, man muss begreifen, dass die Mathematik wie jede
Sprache mehrere Dimensionen umfasst: Ausdruck, Kommunikation,
Beschreibung, Argumentation, Meta-Linguistik,
Poesie, Verlockung, Zusammenhalt. Je nach Person
und ihren Bedingungen dominiert diese oder jene Dimension
für eine gewisse Zeit. Und manchmal sind diese Bedingungen
so günstig, dass der freie Ausdruck eine große
Tiefe erreicht.
Übrigens haben einige Autoren, wie z.B. S. Baruk und
J. Nimier, über diese Beziehung zwischen Mathematik
und Psychologie geschrieben. Aber im allgemeinen beachtet
man die Beziehung kaum: Man interessiert sich nur
für die Mathematik.
Weil jedoch die Grundlage dieser Methode der schöpferische
Ausdruck ist, muss man auf Äußerungen dieser
Art immer gefasst sein.
Hier ein Beispiel:
32 33

Ich (Paul) frage:
„Was sagt dir die Zahl 24? Spricht sie dich besonders
an?“ Renée: „Ah! Nein, überhaupt nicht.“ Paul: „Bist du sicher?
Hast Du nicht 24 Zähne oder viel leicht 24 Kinder?“
Renée: „Nein, nein! Nichts dergleichen! - Ach Scheiße!
Gestern wurde ich 24!“
Bei dieser Gelegenheit erkläre ich, dass die Zahlen
nicht so neutral sind, wie man glaubt. Zuerst erzähle ich
von meiner eigenen Erfahrung. Eines Tages, ich weiß
nicht mehr aus welchem Anlass, wurde ich gebeten, eine
zufällige Zahl zu nennen: 1728. Und ich war erstaunt, als
ich feststellen musste, dass sie aus meinem Geburtsdatum
stammte: 28.7.1921. Und später habe ich festgestellt, dass
Erfindungen sehr häufig mit dem Geburtsdatum zusammenhängen,
und zwar oft, ohne dass sich die Autoren
dessen bewusst sind. Einmal wollte ich die Probe aufs Exempel
machen. Ich habe einen Kollegen des Universitätsinstituts,
an dem ich arbei tete, gebeten mir eine Zahl zu
sagen. Es war jemand, der alles von Freud gelesen hatte
und der früher einmal Psychoanalytiker werden wollte.
Überrascht antwortete er mir: „Was? Was? Eine Zufallszahl?
Na gut: 4267.“
Ich brach in Lachen aus, weil es ein Teil der Zahl war,
die Freud in seinem Buch ‘Psychopathologie des Alltagslebens’
zitierte. (Die Zahl aus dem Buch war 426718.) Der
Patient hatte gesagt:
„Wenn ich daran erkranke, wird es 6 Wochen dauern (7x6
= 42).“
Freud hatte versucht, es zu vertiefen:
„Ich stelle fest, dass hier alle Ziffern bis auf die 3 und die
5 vor kommen.“
„Das ist mir klar. Wir sind 7 in der Familie und ich bin
der Siebte. Meine Quälgeister, das sind mein Bruder an
der 3. Stelle und meine Schwester an der 5. Stelle. Zweifellos
hätte ich lieber sie sterben sehen als meinen Vater.
Wenn mein Vater wei ter gelebt hätte, hätte er ein weiteres
Kind haben können, das wäre dann das 8. Und für dieses
wäre ich der Ältere gewesen“
Und vielleicht ist es auch nicht ohne Bedeutung gewesen,
dass mein Kollege nicht weiter als 4267 gegangen ist,
denn er war der strahlende Älteste von Fünfen.
Aber eine Seminarteilnehmerin (Marie) protestiert:
„Oh la la! Ich bin nicht einverstanden. Jeder kann mit ein
bisschen Phantasie etwas finden, das man über die Zahl
426718 sagen kann.“ Paul: „Ja und auf welcher Grundlage?“
Marie: „Natürlich über persönliche Gegebenheiten.“
Paul: „Das meine ich ja gerade!“
In meinen Seminaren habe ich manchmal dasselbe Experiment
versucht. Aber es funktioniert selten, weil der
innere Zensor aufpasst. Die Anekdote hat die Menschen
wachsam gemacht. Die Spontaneität ist verflogen. Wir
finden unsere Zahlen nämlich nur, wenn wir nicht auf sie
achten.
Da wir gerade bei der Resonanz von Ziffern und Zahlen
sind, hier etwas, das mir ein Mädchen aus dem 1.
Schuljahr sagte:
„Oh! Ich mag die 6 gern. Die 6, die liebt die 8. Die 7
möchte auch von der 6 geliebt werden. Sie versucht, sie
zum Lachen zu bringen, indem sie ihre Mütze verkehrt
herum aufsetzt. Die 6 lacht, aber trotzdem mag sie die 8
lieber. Aber die 13 ist mir ein Greuel.“
Wie kann sich dieses Mädchen mit einer solchen Sichtweise
der Dinge im Rechnen wohl fühlen? Trotzdem gibt
es einen Weg. Da der emotionale Druck bei ihm sehr stark
ist, sogar so stark, dass es alles durcheinander bringt,
muss man ihm viel Raum verschaffen. Wenn das Kind
34 35

die Möglichkeit erhält, sich mit Hilfe des Schrei bens, des
Sprechens, des Zeichnens, des Singens, der kör perlichen
Bewegung usw. auszudrücken, ist es eher dafür offen, die
(Um-)Welt in Ruhe und objektiv zu betrachten und so zu
einer richtigen Wahrnehmung der Strukturen zu kommen.
Das ist übrigens auch geschehen, und zwar durch einen
langen Bericht über die Abenteuer seiner Katze, die sich
als Störenfried ersten Ranges betätigte sowie durch eine
eindrucksvolle Serie von phantasierei chen und humorvollen
Zeichnungen. Das half ihm Abstand zu gewinnen.
Auf die gleiche Weise entpuppte sich ein Junge als Mathematiker,
nachdem er es geschafft hatte, sein Prob lem in
mündlicher Form auszudrücken (Katharsis).
Manchmal gibt es Erfindungen, die nur für die anderen
überraschend sind - der Autor selbst weiß ja, wie sie
zustande kommen.
Hier ein Beispiel:
Ein Berufsschullehrer: „Ich sehe hier eine Turbine.
Aber sie wird wohl kaum funktionieren.“
Pierre: „Ich, ich sehe, dass die Einsen auf dem Kopf
ste hen.“
Adrienne: „Du siehst sie verkehrt herum. Das ist komisch,
ich sehe, dass sie richtig herum sind. Vielleicht
hängt das damit zusammen, dass ich Linkshänderin bin.“
Die Autorin: „Ich kann euch sagen, warum ich das ge-
macht habe. Ihr seht, dass es elf Einsen sind. In der Schule
hatte ich große Schwierigkeiten mit der Zahl 11. Eines
Morgens sagte die Nonne zu mir: ‚Wenn du an diesem
Nachmittag nicht weißt, was 11 ist, stecke ich dich unter
das Pult/ Aber an diesem Nachmittag bin ich nicht zur
Schule gegangen, weil ich krank geworden bin. Ich muss
noch sagen, dass meine Eltern sich gerade scheiden ließen.
Und 11, das ist nicht möglich, das kann kein Paar sein. Für
ein Paar braucht man zwei Personen von unter schiedlicher
Art!“
Diese Interpretation der Autorin hat uns alle verstummen
lassen. Eine lange Stille folgte. Ganz anders reagierten
wir dagegen auf die Erfindungen von drei italieni schen
Kollegen, die sich unabhängig voneinander mit der Drei
(‚tre‘ auf italienisch) befassten.
Ich habe darauf hingewiesen, dass sie aus Trieste,
Mestre und Treviso kamen. In diesem Fall überwog das
Lachen!
Jetzt eine Erfindung von Helene. Sie weiß genau, was
sie hier mit großer List versteckt hat:
36 37

Christine: „Das ist doch klar, die Kreise, das sind Eier.“
Rene: „Man könnte auch sagen, dass die Henne eine Maschine,
ein Operator ist. Wenn die 1 durch die Henne
durchgegangen ist, wird sie zur 3. Die 2 ergäbe 6. Eine 3
ergäbe 9 usw.“
Alexis: „Oder überhaupt nichts. Aber ja, die 1, die 2 und
die 3 könnten Null ergeben, wenn sie durch die Henne gegangen
sind.“
Paul: „Ihr seht, wie Alexis ist: Wir haben etwas herausgefunden,
was gut funktioniert, und er muss zu allem Opposition
beziehen.“
Alexis: „Stimmt, so bin ich im Leben. Wenn es zu gut
läuft, langweile ich mich sehr schnell und dann versuche
ich eben, neue Wege zu finden.“
Paul: „Ihr seht, solche Typen wie Alexis sind für eine
Gruppe nützlich, sie stiften Unordnung, und das bringt
die Gruppe weiter.“
Aber sehr schnell wussten wir bei dieser Erfindung nicht
weiter. Also erteilten wir, wie üblich, der Autorin das
Wort.
Helene: „Ach ja, ihr habt euch total verrannt. Neun Jahre
ist es erst her, dass ich mich mit der Mathematik wieder
vertragen habe. Das verdanke ich einem Lehrer, der mir
auch ein Freund war. Bis dahin zog ich mich immer zurück,
wenn es um Mathematik ging. Also, die Karos sind
keine Karos, sondern eine Mauer. Die Henne sitzt auf der
Mauer. Sie legt nicht drei Eier, sondern sie dreht sich (wie
es in einem Kinderlied heißt) ‚dreimal im Kreis und geht
dann weg‘. Das wird durch die drei schweben den Punkte
angezeigt. Und ich, ich war diese Henne, die wegging.“
Und hier die Erfindung von Alain:
Wir suchen lange, ohne etwas zu finden. Also gibt Alain,
der ein sehr politischer Mensch ist, das Rezept, nämlich
das von Lenin:
„Ein Schritt vor, zwei Schritte zurück“, und dann dreht er
es um:
„Einen Schritt zurück, zwei Schritte vor“.
Verblüffendes Lachen!
Und schließlich hier noch ein Beispiel für Listiges:
Niemand weiß weiter. Luciana, die Autorin, gibt uns die
Lösung:
Luciana + Luciana = Lucianona
Im Italienischen ist ‘on’ eine Vergrößerungsform. Man
könnte Lucianona mit ‚große Luciana‘ übersetzen. Man
kann verstehen, dass wir auch in diesem Fall lachen mussten,
ein Lachen, in das sich das Erstaunen über die Kühnheit
der Idee, die Einfachheit der Erklärung und die Bewunderung
über die originelle Luciana mischten.
38 39

Subjektivität des Wissens
In der natürlichen Methode spielt die Gruppe beim Wissenserwerb
eine entscheidende Rolle. Um die Bedeu tung
der Gruppenphänomene näher zu beleuchten, möchte ich
einige Beispiele erzählen:
Meg stört etwas:
„Da ist ein Loch und das mag ich nicht.“
Raymonde meldet sich auch zu Wort: „Ah! Typisch
Clélia: Sobald sich eine Gelegenheit bietet, stellt sie sich
zur Schau.“
Clélia lacht: „Das ist richtig, so bin ich.“ Aber ich greife
nachdrücklich ein:
„Hört zu, es ist ihre Erfindung! Sie kann das tun, was
sie möchte. Sie ist dabei VOLL - KOM - MEN frei. Man
muss den Einzelnen vor jedem Werturteil, vor jeder Zensur
schützen. Sonst könnte er nicht den Weg frei wählen,
der sei nem wahren Willen entspricht bzw. zu dem ihn
seine bis herigen Lebenserfahrungen befähigen. Er muss
im Auf bau seines Wissens autonom sein und auf dem eigenen
Fundament aufbauen.“
In einer Klasse, in der gern gemalt wurde, habe ich dieses
Phänomen oft beobachten können: Die verblüffende
Originalität und die Qualität der Bilder war einzig und
allein auf die Tatsache zurückzuführen, dass die Lehrerin
dem Kind einen größeren Freiraum zugestanden hatte.
Die Lehrerin war in ihrer eigenen Jugend so sehr eingengt
worden, dass sie es nicht ertragen hätte, wenn ihre Schüler
nicht wenigstens einen Bereich gehabt hätten, in dem
sie völlig frei ihren persönlichen Eingebungen folgen und
immer neue Erfindungen machen konnten. Ähnlich einem
Spiel, das sich fortwährend weiterentwickelt. Ein Bereich,
in dem sie Ideen aufgreifen können, die im Raum schweben
oder aus irgendwelchen geheimnisvollen He fen aufsteigen,
die niemand zu ergründen vermag.
Kann man denn nicht so am besten sein Wissen erweitern?
Schauen wir noch einmal das Beispiel von eben an.
Schon in der zweiten Reihe eröffnet sich ein Weg:
Nehmen wir an, dass Clélia oder die Gruppe Lust hät te,
den Abstand der Buchstaben voneinander genauer zu untersuchen.
Dann würde man feststellen, dass ausge hend
vom ersten C als Ausgangspunkt das zweite C bei (-1, -1)
gezeichnet wurde. Und wenn man es nun bei (-2, -1)
einzeichnete?
Und wenn man es bei (-3, -1) zeichnete, usw.?
Das zeigt, dass das Motto der wissenschaftlichen Forschung
‘Was wäre, wenn...?‘ zur Natur des Menschen
gehört.
40 41

Von hier aus kann man zur Berechnung von Winkelwerten
gelangen. Man kommt offensichtlich zum Wert
des Tangens:
1, 1, 1, 1, 1 usw.
1 2 3 4 5
Und wenn man eine Grafik von der Folge der Tangens
werte macht, erhält man eine Hyperbel usw....
All diese Begriffe wären von Clélia aufgenommen
worden, weil wir sie anhand ihrer Erfindung entwickelt
hätten. Man hätte sich mit ihrer Person, mit ihrer Erfindung
befasst. Sie wäre der Mittelpunkt der Arbeit gewesen.
Und solange das Gespräch der Gruppe über ihre Arbeit
angedauert hätte, hätte sie alles gehört; sie wäre total
in das Geschehen eingebunden und ganz aufnahme bereit
gewesen.
Paul fragt: „Was ist, hatte Clélia das Recht, mit den
Buchstaben ihres Vornamen zu arbeiten?“ Renée: „Ja,
doch, sie durfte es.“
Paul: „Und wie du siehst, hat sie keine Angst mehr vor
dem Wort ‚Tangens‘, jetzt kennt sie es. Und außerdem hat
sie eine richtig nette Mutter.“
(„Eine richtig nette Mutter“ ist ein Wortspiel, denn
aus dem französischen Ausdruck „une mére tant gentille“
klingt das Wort „Tangens“ (franz. „tangent“) heraus,
Anm. d. Übers.).
Aber warum habe ich mir einen so plumpen Witz erlaubt?
Weil ich plötzlich gemerkt habe, dass es zu ernst
wurde. Ich habe gespürt, dass die Spannung unbedingt
gelöst werden musste. Sonst hätten wir uns geärgert und
wären blockiert und nicht mehr aufnahmebereit gewesen
Und deshalb habe ich irgend etwas gesagt. (15)
(15) Tatsächlich gibt es auf der Ebene des Unbewussten dauernd solche
Assoziationen, die uns sehr viel mehr beherrschen, als man es glauben
mag. Auf jeden Fall stehen sie mir immer zur Verfügung, wenn ich sie
brauche.
Danach sind wir nun ein wenig lockerer geworden und
können auf ganz ernsthafte Dinge zurückkommen.
„Die lebendige Zeitrechnung, die sich aus und über Zeichen,
Symbole und Formen auswirkt, die zum Einzeller
gehört, ist eine Zeitrechnung von sich, ausge hend von
sich, in Funktion zu sich. Sie ist lebendig.“
(Morin 1986)
Nach Morin ist dies nicht auf Einzeller beschränkt:
„Das lebendige Wissen kann sich nicht der Subjektivität
entziehen, d.h. dem Akt, sich selbst in den Mittelpunkt der
Welt zu stellen, um etwas kennenzulernen. Von dort rührt
das nicht eliminierbare Problem her, das sich auf allen
Ebenen, einschließlich der des Menschen, wieder findet,
nämlich das der egozentrischen Charaktere, die sich
ihrer selbst voll bewusst sind“.
(Morin 1986, S. 46)
Um wieder auf die Ebene unserer pädagogischen Realität
herabzusteigen, möchte ich die Erfindung einer belgischen
Kollegin vorstellen:
42 43

Sie hat zwei Vornamen: Sonia und Sophie. Und ihr
Nachname schreibt sich Chwartzmann anstelle von
Schwartzmann. Es wird deutlich, dass die Besonderheit
im Namen dieser Kollegin in der Erfindung gut zum Ausdruck
kommt, denn es ist ein Hinweis auf die beiden S in
ihren Vornamen und auf das fehlende S in ihrem Nachnamen.
Und zweifellos ist der Begriff der Punktsymmetrie,
den wir bei dieser Gelegenheit entfaltet haben, von
ihr und von allen anderen Teilnehmern vollständig (d.h.
effektiv und affektiv) gelernt worden. So wie es mit dem
Begriff des Tangens geschehen wäre. Also sollte man es
niemandem - weder sich, noch anderen - zum Vorwurf
machen, wenn man von sich selbst ausgeht.
Bevor man nicht selbst entsprechende Erfahrungen
gemacht hat, kann man sich kaum vorstellen, wie außergewöhnlich,
wie feinsinnig und wie unvorhersehbar Wege
sein können. Wie sehr, hängt von den Erfahrungen ab, die
die Menschen gemacht haben, aber auch von der Umgebung,
in der sie eingebettet waren und immer noch sind.
Denn wenn der Geist für die Entwicklung des Gehirns
notwendig ist und das Gehirn für die Entwick lung des
Geistes, so tragen beide zur Kultur bei, die ihrer seits von
diesen beiden abhängt.
Darüber darf man aber nicht vergessen, dass man bei
der natürlichen Methode nie auf sich allein gestellt ist. Beteiligt
ist nicht nur der Einzelne mit dem Reichtum sei ner
gesamten Persönlichkeit, sondern auch die Gruppe mit
ihren vielfältigen Reaktionen. Dazu möchte ich von zwei
Erlebnissen berichten.
Eines davon spielte sich in Aix ab:
Jean Camille: „Hier sehe ich lauter Paare: 0 - nul (16) ;
Ac - ac; X - x; XAC - xac. Das ist durchgestaltet.”
Daran anschließend hält Jean-Michel einen ausführlichen
Vortrag über die Musik des Barock (Bach), wie sie
aufgebaut ist und immer wieder in ein Gleichgewicht zurückkommt
... und dass die Tafelanschrift das sehr genau
wiedergeben würde. Aber Jean-Camille hört nicht zu. Er
ist von der 6 gefangen, die allein für sich steht und aus
diesem Grunde die herrliche duale Ordnung des ganzen
Systems zerstört. Das ärgert ihn so sehr, dass er sich den
Kopf zermartert, um eine Lösung zu finden.
Plötzlich schreit er los: „Ja! Ich hab‘s: Das ist eine
Menge mit sechs Elementen, die Paare bilden. Und an
diese Menge von sechs Elementen kann man die 6 als zugehörige
Kardinalzahl anbinden.“
In diesem Moment merke ich, wie etwas zum Vor schein
kommt, das bis dahin noch nie dagewesen ist: eine totale
Zustimmung der Gruppe (deren Teil ich ja auch bin) zur
vorgeschlagenen Lösung. Die totale Übereinstim mung
drückt sich in einer allgemeinen Freude aus, die Helene
so formuliert:
(16) ‘nul’ frz. für : nichtig, wertlos; keiner, niemand
44 45

„Oh, la la! Ihr könnt euch gar nicht vorstellen, wie sehr
ich mich darüber freue, dass er es geschafft hat, uns die
Perfektion des Systems aufzuzeigen. Es ist sehr gelungen.
Doch dieses Mal lässt Jean-Camille die Wertschätzung
seiner Person und die Anerkennung durch die Gruppe ganz
kalt. Zu sehr ist er von dem, was er sieht, beein druckt.
„Ja“, merkt Christine an. „Und außerdem sind die beiden
Dachschrägen völlig symmetrisch.“
Jetzt erhält der Autor, Daniel, das Wort: „Ihr habt mich
mit euren Überlegungen unheimlich amüsiert. Ich habe
einfach irgend etwas hingezeichnet ohne etwas zu denken.“
Man könnte meinen, dass ich aus einer Mücke einen
Elefanten mache und dass es die Erfindung von Daniel gar
nicht verdient, dass man so viel Aufhebens von ihr macht.
Doch das ist die Frage! Ich meine, dass wir hier auf etwas
gestoßen sind, das eng mit unserer Lust an die ser Arbeit
zusammenhängt. Bachelard drückt es so aus:
„Das mathematische Denken erscheint wie ein Sehnen
nach Vollständigkeit.“ ( Bachelard 1966, S. 33)
Und genau das habe ich auch ein weiteres Mal erlebt,
obwohl die Sitzung recht schwierig begann. In der Ecole
Normale (Pädagogische Hochschule, Anm. d. Übers.) von
Rennes fanden sich 35 Personen versammelt - anstelle
der erwarteten 13. Zwei Diplom-Psychologen hörten die
ganze Zeit nicht auf zu schwatzen, um deutlich zu machen,
dass sie von einem Dilettanten in Sachen Theorie
nichts lernen konnten. (Aber vielleicht sind die beiden der
Grund dafür, dass mir das folgende Phänomen besonders
bewusst wurde.)
Hier die Erfindung:
Am Anfang konnte niemand damit etwas anfangen.
Es schien wirklich irgendetwas zu sein, irgendein Zufallsprodukt.
Jemand sagte:
„Ich erkenne genau die 0, die 2, die 3. Es ist schade,
dass hier keine 1 ist, weil es sonst eine Folge wäre.“ „Aber
schaut doch, sie ist da!“
Also haben wir sehr aufmerksam hingesehen. Und wir
haben sie auch entdeckt. Und so hat sich alles zu einer
wundersamen Ordnung gefügt. „Die 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7
kreuzen sich in der Mitte.“ „Und außerdem gibt es keine
Null. Es sind Kreise, die immer größer werden.“ „Und es
sind 7!“
„Und sie drehen sich in der gleichen Richtung wie die
Ziffern.“
46 47

„Aber ja, die Kreuze drehen sich auch! Und in der gleichen
Richtung wie die beiden anderen!“
Jedenfalls stellte sich bei allen dieselbe totale Zufriedenheit
ein. Wir hatten etwas Vollkommenes erhalten,
was die gesamte Gruppe begeisterte. Dabei hat mich besonders
beeindruckt, dass die beiden Schwätzer sich in
die Falle des Entzückens hatten locken lassen. Und für die
Dauer eines Augenblicks hatten sie vergessen, ihre Komödie
zu spielen.
Das Erstaunliche an dieser Geschichte ist, dass die Erfindung
am Anfang ausgesprochen banal, gewöhnlich,
gänzlich zufällig erschien. Es war wirklich ‚irgendetwas‘.
Und die Suche nach einem einzigen kleinen Element hat
ausgereicht, um die Menge auf dreifache Weise in ihrer
Gesamtheit zu ordnen. Das Fehlen löste eine Art Leidensdruck
aus. Da war eine Lücke, das störte die Harmonie.
Aber einer der Teilnehmer hatte offensichtlich noch mehr
als die anderen gelitten. Dies hatte seinen Blick geschärft
und ihm ermöglicht, alle Anwesenden an die Grundlagen
für ihr Denken zu erinnern.
Das ist ein weiterer wichtiger Aspekt: Die Wahrnehmung,
dass ein Glied der Kette fehlt, regt den Geist an.
Und wenn wir es entdecken, entwickelt sich manchmal
‘psychische Freude und Ekstase’.
„Es gibt die quasi elektrische Entladung des ‚Ah‘, das
Entspannung und Zufriedenheit bringt. Es gibt
die ‚Freude‘ des Wissens. Es gibt die Trunkenheit
und das Hochgefühl des Wissens. Es gibt das
‚Entzücken‘ des Wissens. Es gibt, so müssen
wir hinzufügen, den ‚psychischen Koitus‘ (Nietzsche),
der durch die Lösung, die Idee oder das Lösungswort
hervorgerufen wird, wobei die glückliche Fülle des
Wissens sich in einer quasi orgastischen Freude entfaltet.“
(Morin 1986, S. 134)
Schauen wir uns nun an, was herauskommt, wenn man
die Punkte der Zeichnung verbindet.
Was den Instinkt für ein fehlendes Element betrifft,
so sollte man ebenfalls an das Radio-Astronomie-Labor
von Nancy denken, das die Folge 1,2,3,4,5,.. 7,8,9,10 in das
Universum schickt und nun horcht, ob man nicht aus irgend
einer Ecke des Universums die fehlende 6 emp fängt.
Dabei unterstellt man, dass die außerirdischen Lebewesen
denselben Hang wie wir zum Vollständigen, Regelmäßigen,
Fehlerlosen, Tadellosen und zum voll kommen
Zufriedenstellenden haben.
In einer Klasse, in der jedes. Kind der Gruppe viele
‘mathematische Objekte’ abliefert, steigen für jeden die
Chancen, dass er sich interessante und effiziente Gesetzmäßigkeiten
aneignen kann. Voraussetzung ist lediglich,
dass man den menschlichen Denkapparat entsprechend
füttert. Da nicht nur ein einzelner Geist arbeitet, sondern
eine ganze Gemeinschaft, haben wir viel mehr Trümpfe in
der Hand, um die unvermeidliche Komplexität so gut wie
48 49

möglich zu beherrschen. Und obendrein weiß jeder, dass
man die anderen sehr oft benötigt um aus der Klemme zu
kommen. Denn oft ist der eigene Kopf nicht ganz so frei.
Hier und da und vielleicht auch noch dort gibt es Reibungen
und Widerstände, die ihren Ursprung mögli cherweise
in der psychischen Vergangenheit, dem fami liären Hintergrund,
den verkrusteten Gewohnheiten, den automatischen
Taktiken, den durchlittenen Umständen, der Blindheit
gegenüber anderen Möglichkeiten ... und vielleicht
sogar in den Erfolgen hat, die man bereits erzielt hat, weil
dadurch das Forschen auf den Bereich beschränkt wird, in
dem man bereits Freude erfahren hat.
Dank der Gruppe kann man glücklicherweise neue
Perspektiven gewinnen, neue Strategien entwickeln, sei ne
festen Gewohnheiten überprüfen. Sehr schnell wird man
feststellen, dass die anderen die Welt ganz anders sehen.
Sie haben nicht die gleichen Wahrnehmungsstruk turen.
Anfangs lässt sich das nur schwer akzeptieren. Die anderen
scheinen nicht normal zu sein. Aber dann ge wöhnt
man sich daran. Langsam wird es sogar interes sant und
man versucht genauso wahrzunehmen, wie sie es tun. Die
neue Sache gefällt und man gefällt sich selbst dabei. Und
so macht man daraus sogar eine neue Gewohnheit. Und
wenn man Glück hat, bekommt man wieder einen neuen
Anstoß. Und so wird man viel freier in seinem Kopf.
Viel freier, also viel intelligenter; freier, um viel breiter
und genauer wahrzunehmen; fähiger, einen großen Fang
aus den Netzen zu holen, die man in den Ozean der Welt
taucht. Diese Art der Arbeit in der Gruppe ist so neu,
dass es sich lohnt, die verschiedenen Elemente genauer zu
untersuchen.
Das Lachen
Eigentlich müsste der Titel für dieses Kapitel ‚Die intellektuelle
Gesundheit‘ lauten. Aber das wäre zu ernsthaft
und stimmte überhaupt nicht mit den Inhalten überein, die
ich behandeln möchte.
Das Lachen begleitet mich ständig auf meinen Seminaren.
Ich kann wohl sagen, dass ich mich intensiv darum
bemühe, weil ich eine bestimmte Zielvorstellung habe: Ich
möchte im Seminar zeigen, dass man sich die Elemen te,
die beim Lernen eine Rolle spielen, unbedingt bewusst
machen muss, wenn man erfolgreich sein will. Aber wenn
ich mich darauf beschränken würde, sie vortragend aufzuzählen,
dann würde nichts passieren. Die Teil nehmer
sollen aber davon Besitz ergreifen, dafür müssen sie ganz
aufnahmebereit sein. Deshalb arrangiere ich eine Art
Schau, ungefähr so, wie es ein französischer Fernsehmoderator
(Bernard Pivot) anfängt. Er wollte, dass man
sich für die Literatur interessiert. Also setzte er den Kreis
sei ner Teilnehmer sorgfältig zusammen, so dass sich
Gegen sätze zeigen, Oppositionen bilden und Gleichartigkeiten
herauskristallisieren konnten. Kurzum, es wurde
leben dig, weil es dialogisch (Ergänzung, Widerspruch und
An tagonismus) war, ein typisches Merkmal für Lebendigkeit.
Auch die Fernsehzuschauer wirkten mit, nahmen teil.
Und das versuche ich auch: Die anwesenden Perso nen sollen
Teilnehmer sein. Sie sollen sich sehr stark engagieren,
sie müssen das Problem (er)leben, damit sie es später für
sich annehmen können. Damit das möglich wird, müssen
sie ohne Zurückhaltung dabei sein, sich darauf einlassen,
sich einfach hingeben.
Trotzdem braucht man sich keine Sorgen zu machen:
Das Lachen wird sich auf jeden Fall durchsetzen - vor
allem, wenn vier oder fünf Männer in der Gruppe sind.
Tatsächlich fühlen sich die Männer in unserer Gesellschaft
50 51

viel sicherer als die Frauen - (...vielleicht auch weniger in
Konkurrenz?). Deshalb können sie sich darauf einlassen
Witze zu machen, ohne hinterher zu sehr eine herabsetzende
Bewertung fürchten zu müssen. Vielleicht sind sie
einfach nur mit sich selbst zufrieden. Oder die Meinung
der anderen rangiert für sie erst an zweiter Stelle. Aus
welchem Grund auch immer, die Wirklichkeit ist einfach
die: Wenn Männer anwesend sind, kommt es beinahe automatisch
zum Rückzug in den Humor, zu einer Distanzierung
und - wer weiß - vielleicht sogar zu einer Abwehr
und einer Verteidigung. Jedenfalls ist das Witzemachen
ein Kennzeichen der Gruppen mit Män nern. Aber glücklicherweise
können auch die Frauen lachen. Sie fangen oft
nicht als erste an, aber sie schaffen es, die Stimmung aufrechtzuerhalten.
Und es macht mich glücklich, wenn ich
sie so lachen sehe.
Aber wodurch wird dieses Lachen ausgelöst? Manchmal
reicht eine winzige Kleinigkeit aus:
„Jean-Marc, warum hast du das gemacht, ABE + 150 =
eintausendeinhundertzwanzig?“
„Ich weiß nicht, ich war eigentlich noch nicht fertig.
Aber Paul hat mir gesagt, ich solle das schon mal an die
Tafel schreiben.“
Hier deutet sich ein Angriff auf die ‘Macht’ an, und das
bringt uns immer zum Lachen. Aber meistens sind es drollige
Kommentare, die sich auf die eine oder die ande re Erfindung
beziehen. Das geht übrigens ziemlich schnell los.
Ob damit ausgedrückt werden soll, dass man sich nicht so
schnell auf die ernsthafte Arbeit einlassen möchte? Oder
will man damit seine Unabhängigkeit kundtun?
Aber eigentlich sind die Leute ja gekommen um etwas
zu lernen. Und wenn sich einer immer nur lustig macht,
ist er über kurz oder lang schlecht angesehen, weil man ja
schließlich weiter kommen und nicht auf einem so niedrigen
Niveau bleiben will. Aber glücklicherweise berührt
man mit der Mathematik immer etwas wirklich Ernsthaftes,
und so werden es die Leute nicht zulassen, dass
so ein kleiner Witzbold sie auf ihrem Weg behindert. Und
falls er nicht aufhört, werden sie ihm mit wütenden Blicken
zu verstehen geben, dass er nervt.
Also muss ich ihn jetzt verteidigen und bausche die Situation
noch ein bisschen auf:
„Jean-Marc ist für uns sehr nützlich, weil er zur Gesundheit
der Gruppe beiträgt. Auf der Ebene des Wissens
taugt er vielleicht nicht viel. Aber dafür fallen ihm immer
wieder irgendwelche Eulenspiegeleien ein.“
So kann ich das Lachen anheizen. Ich habe keine
Hemmungen, solche Töne anzuschlagen, denn im Allgemeinen
kann derjenige, der sich gelassen so stark exponieren
konnte, auch viel einstecken. Wir können nur noch
seine Zufriedenheit und sein heiteres Gesicht bewundern.
(Ein einziges Mal hatte ein Lehramtsstudent aus Draguignan
nicht begriffen, dass ich nur Sprüche machte, obwohl
sie aus meiner Sicht so übertrieben waren, dass man
sie nicht ernst nehmen konnte. Ich hatte mich anschließend
darum bemüht ihn zu beruhigen und ihm zu sagen,
welche Meinung ich tatsächlich von ihm hatte. Mir war
nämlich vorher entgangen, dass hier besondere Umstände
vorlagen: Er hatte gerade sein Studium begon nen und befürchtete
zu Recht, von seinen Kommilitonen als Kasper
abgestempelt zu werden. Seither achte ich immer darauf,
dass eine gelöste Stimmung erhalten bleibt.)
Sobald ich mich also für den Tageshelden Jean-Marc
eingesetzt hatte, konnte ich meine Theorien entwickeln:
„Eines ist unbestreitbar: Eine gute Gesundheit begünstigt
das Lernen. Jeder weiß aus eigener Erfahrung, dass
man besser lernt, wenn man sich gut fühlt. Es handelt sich
hierbei also, um es präziser zu sagen, um ‚eine gute Gesundheit’
im ganzheitlichen Sinne. Das entspricht dem
Bemühen der Freinet-Pädagogik, den Menschen in seiner
52 53

Ganzheit zu erfassen. Seit 1949 spricht Célestin Freinet
in sei nem Buch: L‘éducation du travail‘ von der Notwendigkeit
einer guten physischen Gesundheit (Freinet 1949).
Darü ber waren wir befremdet:
‘Was denn nun noch? Was haben wir als Lehrer mit
der physischen Gesundheit zu tun? Das ist überhaupt nicht
unsere Aufgabe. Wir müssen Lesen, Rechnen und Rechtschreibung
unterrichten. Wir werden uns doch nicht zusätzlich
in den sechs Stunden, die wir täglich Unter richt
haben, auch noch mit der Gesundheit der Kinder be fassen.
Das ist nicht unsere Arbeit. Das ist ausschließlich Aufgabe
der Eltern.‘
Aber uns ist bald bewusst geworden, dass - wenn ein
Kind krank ist, wenn es schlecht geschlafen hat, wenn
es zu viel oder zu wenig gegessen hat, wenn es müde ist,
wenn es ..., - es einfach nicht gut lernen kann. Wenn es
aber lacht, ist es ein sicheres Zeichen dafür, dass es sich
wohl fühlt und gesund ist. Das weiß inzwischen nahezu
jedes Kind. Aber das ist nur ein Aspekt der globalen
Gesundheit. Es gibt nämlich auch die intellektuelle Gesundheit,
die psychologische Gesundheit und die ‚soziale‘
Gesundheit, die in ständiger Interaktion mitein ander verbunden
sind. Wenden wir uns der ersten mit dem Beispiel
einer ziemlich dramatischen Begebenheit zu:
„Seit drei Tagen halten vier Personen im Leichenschauhaus
eines Krankenhauses die Totenwache bei einem
17-jährigen Jugendlichen, der sechs Monate nach dem Tod
seines Vaters (der durch einen Autounfall starb) ebenfalls
von einem Auto getötet wurde. Eine Fliege kommt, eine
Person macht eine ungeschickte Geste, um die Fliege wegzujagen.
Da bricht die Mutter des Kindes in Lachen aus.“
Das Beispiel zeigt, dass der menschliche Geist es selbst
unter den schlimmsten Umständen nicht schafft, in dauernder
Anspannung zu verharren.
Übrigens hat wohl jeder irgendwann einmal das irr-
witzige Lachen erlebt, das einen einfach so während einer
Trauerzeremonie überfällt. An dieser Stelle warne ich die
Teilnehmer:
„Wartet, wir werden schon bald ein Beispiel für dieses
Phänomen hier erleben.“
Dann leite ich zum Kapitel des Wahnsinns über. Aber,
siehe da, kaum habe ich begonnen, fängt die Gruppe an zu
lachen; denn ich habe mich verhaspelt, weil jemand gehustet
hat, weil ein Stuhl gequietscht hat, weil jemand zu spät
herein gekommen ist, kurzum aus einem nichti gen Anlass,
der in keinem Verhältnis zur Intensität des Lachens steht,
das er hervorgerufen hat. Es ist so ein drucksvoll, dass ich
meine Schlussfolgerungen zum Besten geben muss:
„Wie ihr seht, braucht man nicht lange zu warten. Die
Geschichte, die ich euch erzählt habe, und das Stück Theorie,
das ich euch vorgetragen habe, haben euch mit ihrer
Ernsthaftigkeit und Schwere in eine Anspannung versetzt.
Das konnte nicht so weitergehen. Und ihr habt den erstbesten
Anlass genommen, um diese Anspannung zu lösen.
Denn in Wirklichkeit war der Witz von Jean-Marc nicht
toll. Jedenfalls rechtfertigte er kaum das große Lachen,
mit dem ihr ihn quittiert habt. Aber es hat ausge reicht um
mit dem Lachen anzufangen.“
Natürlich protestiert Jean-Marc: „Pass auf, Paul, das ist
das zweite Mal, das du mich festnagelst. Und außerdem ist
deine Theorie falsch.“
Dadurch verdoppelt sich das Lachen. Jetzt sind die Leute
in so guter Stimmung, dass sie ihre ganze Aufmerk samkeit
dem widmen können, was ich jetzt sagen möchte:
„Man hat lange geglaubt, dass der Mensch ein ‚homo
sapiens‘ ist. Aber viele Forscher (Atlan, Morin und noch
andere) sagen, dass das wahre Wesen des Menschen das
des ‚homo sapiens demens‘ ist; d.h., dass er zwischen zwei
Extremen steht, zwischen dem Anspruch nach Weisheit
(womit Wissenschaftlichkeit und Besonnenheit gemeint
54 55

ist) und dem entgegengesetzten Hang zur Verrücktheit.
Wenn man einem der beiden Pole sehr nahe kommt, dann
wird man von dem anderen angezogen, so, als ob man
etwas kompensieren oder neutralisieren oder ein Gleichgewicht
herstellen müsste.
Und da liegt genau der Irrtum der Schule, die das
Kind nicht in seiner Ganzheitlichkeit akzeptiert, so, wie
es Freinet immer getan hat. (Nebenbei bemerkt, hatte er
viel Humor.) Die Schule hat eine klare Trennungslinie
zwischen Denken und Blödsinn gezogen. Das erste ist für
die Schule reserviert und das zweite für die Pause, für zu
Hause, für den Sonntag, für die Ferien. Aber die Kinder
können die Suche nach ihrem Gleichgewicht nicht so lan ge
hinausschieben.
Außerdem klassifiziert die Schule die Dinge danach, ob
sie schulisch wertvoll sind oder nicht. Aber wenn sie das
Kind auf diese Weise zwingt ernsthaft zu bleiben, muss es
ersticken und leiden, kann es nicht entspannen und nicht
aufnahmebereit sein; kurzum, es ist intellektu ell nicht gesund.
Und dadurch werden die Schwierig keiten, das zu
lernen, was man ihm vorsetzt, noch größer, zumal es oft
eine Nahrung ist, die es nicht selbst gewählt hat. Vielleicht
können wir jetzt den Kindern nachempfin den und ermessen,
wie schlimm die ganze Situation für sie ist.
Und deshalb muss der Lehrer, um effizient arbeiten zu
können, selbst die Rolle des Gruppen-Clowns übernehmen,
wenn niemand in der Gruppe diese Rolle übernimmt.“
Und damit wir unsere Aufnahmefähigkeit nach die sem
zu ernsthaften Vortrag wiederfinden, vergesse ich meistens
nicht hinzuzufügen:
„Zum Glück können wir hier in dieser Beziehung beruhigt
sein. Wir haben hier ja einige, die ein bisschen Verrücktheit
säen. Zumindest helfen sie uns dabei.“
Nun möchte ich mein Verhalten in diesem Fall ein
wenig erläutern; denn einige werden mich der Manipulation
beschuldigen. Es stimmt, dass ich eine klare Vorstellung
von dem habe, was ich den Leute bewusst machen
möchte. Es stimmt, dass ich Erfahrung mit Gruppen
habe, dass ich bestimmte Phänomene immer wieder habe
auftauchen sehen, dass ich gelernt habe sie zu berücksichtigen,
wenn sie auftreten, dass ich sie her vorrufen kann,
wenn es notwendig ist. Kurzum, es stimmt, dass ich manipuliere.
Aber ist das nicht das Los eines jeden Erziehers?
Sie haben Ziele, sie haben Pflichten. Und liegt darin nicht
genau das Ziel der Pädagogik, andere dazu zu bringen,
sich ein Maximum an Wissen so effektiv wie möglich anzueignen?
Wenn ich schon nicht umhinkomme, ein bisschen
schuldig zu wer den, weil ich so leichter mein Ziel erreiche,
dann gehört es für mich auf jeden Fall dazu, meine
Manipulation zu gestehen:
„Ihr seht, wie ich es gemacht habe. Habt ihr meine Taktik
begriffen?“
Aber manchmal wende ich eine weitere Taktik an.
„Nun gut, da die Frage bereits gestellt wurde, werden
wir jetzt von der Macht sprechen.
56 57

Macht durch Wissen
Wenn es eine Sache gibt, die während der vielen Kurse,
die ich abgehalten habe, immer wieder aufgetaucht ist,
dann war es die Frage nach der Macht durch Wissen. Eigenartigerweise
(aber ist das überhaupt verwunder lich?)
taucht sie wie selbstverständlich am Anfang auf, sobald
einige Männer in der Runde sitzen. Bereits im Kapitel
über das Lachen habe ich die Rolle der Männer angesprochen,
aber auch an dieser Stelle muss man über sie reden
und zwar vor allem über ihre intellektuelle Rivalität. Natürlich
kann diese auch bei Frauen in Erscheinung treten,
aber sie lässt sich wesentlich schwie riger herausarbeiten,
weil sie sich nicht so klar und deutlich aufdrängt. Damit
kein Missverständnis entsteht, möchte ich klarstellen, dass
ich mich in diesem Punkt auch zu den Gefangenen des
Systems zähle.
Ein Ereignis in Perugia hat mir klargemacht, dass auch
ich zu der Spezies ‘Mann’ gehöre: Ehe ich nach Italien
fuhr, hatte ich mir die Mühe gemacht, dreimal den Assimil
(ein Programm zum Lernen von Fremdsprachen,
Anm. d. Übers.) zu lesen und dreimal die Kassetten anzuhören.
Also kam ich ungefähr mit dem Italienischen
zurecht. Aber meine Frau hatte nicht derart vorgesorgt; sie
verließ sich auf die Übersetzer. Da diese aber nicht dauernd
anwesend waren, stand sie sehr bald ohne Hilfe da.
Dennoch, eines Tages sieht sie am Ende einer Sackgasse
ein Schild: ‚Vigili del Fuoco‘. Beglückt, dass sie es endlich
geschafft hat, etwas ganz alleine zu verstehen, stürzt sie
auf mich zu, um mich zum Zeugen ihrer Entdeckung zu
machen. Aber ehe sie auch nur den Mund öffnen kann,
platze ich los: „Feuer wehr“. Auf diese Weise habe ich ihr
- wahrscheinlich nicht das erste Mal - die Freude daran
verdorben, dass sie sich ihr Wissen selbst erobert hatte,
ohne dass sie irgend jeman dem, wer immer es auch sei, zu
Dank verpflichtet wäre.
In den Gruppen kommt es nicht selten vor, dass die
erste Demonstration eines Wissensvorsprungs oft von
Ausrufen oder Pfiffen der Bewunderung begleitet wird
-manchmal freilich ironisch gemeint. Aber die Reaktion
ist manchmal doch stärker: In Turin hat uns Georges
unun terbrochen zum Lachen gebracht, indem er mit einer
nahezu italienischen Begeisterung immer wieder an die
Tafel gestürmt ist, um uns zu zeigen, dass er der erste war,
der herausgefunden hatte, was ein bestimmtes Wort in Esperanto
bedeutete. (17)
Aber sehr bald werde ich gefragt: „Und du, was macht
dir Freude?“
Ich gebe es unumwunden zu: Wenn ich schon bereit
bin, von einem Seminar zum nächsten zu gehen, möchte
ich natürlich die Freude genießen und die Anerkennung
auskosten, die man meinem herausragenden Wissen zollt.
So wie es überall und jeden Tag Millionen von Forschern,
Professoren und Intellektuellen tun. Und ich frage mich,
ob ich mit dem Löwen als Sternzeichen nicht mehr als andere
für diese Krankheit anfällig bin.
So etwas kann man in einer entspannten Atmosphäre gut
sagen. Aber manchmal entwickeln sich eher gegenteili ge
Gefühle. Besonders deutlich erlebte ich dies in Le Bourget.
In der Pause, nach einer längeren Ausführung über die
Macht durch Wissen, schrieb ich - noch etwas erschöpft -
einen Text in Stenographie an die Tafel, als eine Teilnehmerin,
die sich bis dahin kaum beteiligt hatte, her einkam.
Sofort überfiel sie ihre Nachbarin mit einem nicht enden
wollenden Vortrag über die Stenographie, die sie per fekt
beherrschte. Die Nachbarin interessierte es wenig. Und ihr
war angesichts dieser anschaulichen Demonstration der
(17) Da es hier vor allem darum geht, die natürliche Methode herauszuarbeiten,
zögere ich nicht, auch Beispiele aus Workshops zum
Fremdsprachen lernen usw. heranzuziehen.
58 59

von mir zuvor gemachten Ausführungen genauso unbehaglich
wie den anderen Anwesenden zumute.
Offensichtlich kann man das Bedürfnis, sein Wissen
oder seine Fähigkeiten zu zeigen, kaum unterdrücken.
Bei der Veranstaltung in Verviers z.B. war jedem klar,
dass man den Esperanto-Satz, den man sich selbst ausgedacht
hatte, nicht auch noch selbst übersetzen sollte - man
konnte die anderen probieren lassen. Aber eine Schulrätin
konnte nicht an sich halten. Als der Text ihres Nachbarn
(ebenfalls ein Schulrat) an der Reihe war, verkündete sie
laut die Übersetzung, obwohl klar war, dass sie nicht selbst
darauf gekommen war, denn sie hatte zuvor mit ihm darüber
diskutiert. Sie wusste: Natürlich war das nicht recht,
nicht anständig; so etwas tut man einfach nicht! Und ganz
rot vor Verwirrung hat sie unter dem Lachen der anderen
jammervoll eingestanden, dass sie nicht anders konnte.
Die Frage nach dem Macht-Wissen wird übrigens rasch
offensichtlich, wenn man Rätsel stellt. Man kann den
Menschen zwar immer wieder sagen:
„Natürlich behält derjenige, der die Lösung vorher
kannte, diese für sich. Es ist verboten vorzusagen.“
Es kommt selten vor, dass nicht wenigstens einer die
Lösung vorsagt. Aber warum legt derjenige, der das Rätsel
stellt, so viel Wert auf das Schweigen derjenigen, die
das Geheimnis kennen? Weil sie sonst seine Freude schon
im Keim ersticken würden. Damit diese Erfahrung auch
richtig bewusst werden kann, stelle ich bei italieni schen
Lehrern öfter ein Rätsel, das ich aus dem alten Assimil
habe, der 40 Jahre alt ist:
„AM, altini (Groß, weniger groß
Tante uova, tanti nidi So viele Eier, so viele Nester
Tanti nidi, tante uova So viele Nester, so viele Eier.
A indovinarlo, prova.“ Versuch es herauszufinden.)
Da es sehr alt ist, kennt es niemand mehr. Und ich spiele
dann vollkommene Zufriedenheit und freue mich sichtlich
über meine Überlegenheit: „Ich, ich weiß es.“
Wenn ich die Lösung (die Eichel) bekannt gebe, sind die
Reaktionen sehr unterschiedlich. Aber ich halte mich nicht
lange damit auf, sondern frage sofort, ob nicht je mand ein
anderes Rätsel kennt. In der Pädagogischen Hoch schule
von Trento erhob sich ein Mädchen und sagte:
„Aäagino, Pianino (Adagino, Pianino
se ne vanno gehen fort
nel giardino in den Garten.
Quanti sono ? „ Wieviele sind es?)
Die Leute sahen sich an und wollten gerade ihre Niederlage
eingestehen, als eine Frau sich erhob und die Lösung
sagte. (Die Antwort ist vier, weil man auch Ada, Gino, Pia
und Nino sagen kann.)
„Das stimmt“, sagte das Mädchen und setzte sich hin.
Ich versuchte ihre Haltung zu imitieren:
„Habt ihr gesehen, wie sie gesagt hat: ‚Das stimmt‘?
Sie hat nicht gesagt: ‚Bravo!‘ und hat nicht in die Hände
geklatscht. Nein, sie hat sich hingesetzt und ein enttäuschtes,
unzufriedenes Gesicht gemacht, ungefähr so.
Und das ist ganz normal so, denn diese Kollegin hat ihr
den Boden unter den Füßen weggezogen. Sie hat sie ihrer
Macht beraubt.“
Inzwischen mache ich mir oft einen Spaß daraus, in
Ermangelung eines anderen Rätsels dieses zu stellen, die
Lösung aber der ersten Reihe vorzusagen. Die Reaktionen
sind immer sehr aufschlussreich.
Sie sind übrigens manchmal sehr heftig. In Cuneo hat te
diejenige, die als erste ein Rätsel wusste, gerade erst angefangen,
es zu stellen, als sich schon drei Frauen mel deten,
um die Lösung zu sagen. Natürlich habe ich die Gunst der
60 61

Stunde genutzt, um zu erläutern, was sich hier abspielte.
Die erste wollte gerade die Macht über die drei anderen
sowie über die Gruppe übernehmen. Das war nicht akzeptabel.
Sie mussten die Macht sofort zerstören, indem sie
zeigten, dass sie nicht nur die Lösung, sondern auch den
genauen Wortlaut des Rätsels kannten.
Diese Reaktion auf die Gefahr des Beherrscht-Werdens
durch das Wissen der anderen, tritt immer wieder auf.
Man braucht nur den Unterhaltungen in den Familien, im
Restaurant, im Bus, im Zug usw. zu lauschen um festzustellen,
dass es ein allgemeines Phänomen ist. Ich hatte
übrigens die Gelegenheit festzustellen, dass es auch auf
mich zutrifft. Stolz auf meine wenigen Italienischkenntnisse,
amüsierte ich mich eine Weile mit dem Spiel, bei
jeder sich bietenden Gelegenheit den Ausdruck ‚lo so, lo
sapevo‘ (ich weiß es, ich wusste es) zu benutzen. Aber
dann bemerkte ich, dass ich ihn nicht nur im Spiel benutzte
. Und jetzt, wo ich sensibler darauf achte, höre ich
überall sagen: „Ich weiß“ und außerdem noch:
„Oh! Das weiß ich schon seit langem!“
„Du sagst uns nichts Neues!“
„Was bildest du dir ein?“
„Wir brauchten dich nicht um das herauszufinden.“
„Wir sind schon lange auf dem Laufenden.“
„Das wissen wir doch alle schon.“
„Du musst immer mit deiner Wissenschaft kommen.“
Natürlich findet man dies auch bei Kindern wieder,
diesen großen Rätselexperten.
Ich denke da z.B. an Philippe (8 Jahre alt), der eine mathematische
Erfindung gemacht hatte:
„Ich habe sechs Schildkröten und vier Salatköpfe. Eine
Schildkröte nimmt einen Salat oder zwei. Welche nimmt
welche?“
Also haben seine Mitschüler viele irgendwie zufällige
Lösungen vorgeschlagen. Aber jedes Mal antwortete er
mit nein. Schließlich gab die ganze Klasse auf: „Sag es
uns, Philippe.“
„Nun gut, es waren die dritte und der vierte.“
„Aber wie sollten wir das rauskriegen, wenn du uns
nicht genügend Auskünfte gibst?“
„Ja richtig, aber ich, ich wusste es.“
Dieses Kind hatte große Schwierigkeiten in der Beziehung
zu seiner Mutter, die es erdrückte. Und es musste
lange an der kunstvollen Konstruktion eines ganz persönlichen
Wissens arbeiten, ehe es aufnahmebereit für die
Beziehungen war, die zwischen den Dingen (Zahlen, Formen,
Figuren usw.) bestehen. Ehe es Zugang zur objektiven
Mathematik haben konnte, musste es durch seine
subjektive Mathematik hindurchgehen. Und die Mathematik
von Philippe war voll von Rätseln. (Hier auch wieder
die Macht desjenigen, der die Rätsel stellt und durch
die Macht seines Wissens herrscht.) Er war unter ande rem
der Älteste in einer Geschwisterreihe und hatte ein starkes
Bedürfnis, die wiederholten Machtverluste zu kompensieren.
Es mag ein extremes Beispiel sein, aber so etwas
kommt viel öfter vor, als man glaubt. (18)
Wenn jemand ein herausragendes Wissen zeigt, das
die Bewunderung herausfordert, zeichne ich sofort einen
Strich an die Tafel und sage:
(18) Eine so umwerfende Feststellung schockiert den Leser vielleicht.
Aber wir haben eine über 30-jährige stete Erfahrung mit die sem
psychologischen Phänomen, (vergl. auch Baruk 1985)
62 63

„Also, dort waren wir vorher:
Und hier sind wir jetzt:
Jean-Luc hat die Aufmerksamkeit von allen auf sich
gezogen.”
Alsbald lässt ein Witzbold in der Menge einen Witz los.
Ich zeichne sofort einen zweiten Pfeil und sage:
„So das war‘s; die beiden sind beruhigt. Sie wissen
genau, woran sie sind: Der erste kann sein Wissen darlegen
und der andere ist zumindest begabt, andere zum Lachen
zu bringen.“
Wir arbeiten an der Untersuchung der Erfindungen
weiter und ziemlich bald habe ich die Gelegenheit, einen
dritten Pfeil zu zeichnen. Ich nutze die nun heitere und
entspannte Atmosphäre der Gruppe aus, um den zweiten
Teil meines Vortrages zu halten:
Wir sind ‘homine capitalisti’, also Kapitalisten. Und im
kapitalistischen System kommt man schnell dazu, sich die
Frage nach dem eigenen Wert zu stellen: „Wie viel bin ich
persönlich wert? Wer sagt es mir?“
Oft ist mit diesen Fragen eine nicht unerhebliche Beunruhigung
verbunden. Sie grenzt manchmal sogar an
Angst. Und wie kommt man zu einer Antwort? Man lauert
auf eine Bewertung der eigenen Produkte und des eige nen
Handelns:
„Ach! Wenigstens habe ich dies tun oder jenes sagen
können!“
Aber vor allem möchte man wissen, wie gut man im
Vergleich zu den anderen ist. Und manchmal ist man er-
leichtert, wenn man entdeckt, dass jemand noch schlech ter
ist als man selbst. Man ist ängstlich darauf bedacht zu erkennen,
welchen Stellenwert man in den Gruppen, denen
man angehört, einnimmt. Und wenn jemand sich vor den
anderen hervortut, dann wird er natürlich selbst sicherer.
Und das beunruhigt sofort die anderen.
Wenn man nun von diesem Pfeil ausgeht
so ergeben sich zwei Möglichkeiten.
Entweder kann man ein ‘homöostatisches‘ Gleichgewicht
wieder herstellen, indem man sich auf die Höhe
dieses Niveaus zieht.
Und genau dies hat Michel getan, als er gezeigt hat, dass
er die Gruppe zum Lachen bringen konnte. Damit kommt
er vielleicht nicht an die Bemerkung von Jean-Louis
heran. Aber am Anfang ist man noch nicht so wäh lerisch:
Man hat es geschafft, sich von den anderen abzu heben.
Das kann man auf jeden Fall als Plus verbuchen. Und man
genießt es so sehr, dass man versucht sein könnte, solche
Scherze während der restlichen Dauer der Sitzung immer
wieder zu machen. Wie das Kind, das es durch Zufall geschafft
hat, andere zum Lachen zu brin gen.
Oder es gibt eine zweite Möglichkeit: Man kann das
Gleichgewicht herstellen, indem man denjenigen zurecht-
stutzt, der sich hervorgetan hat.
Manchmal
sind alle Mittel recht.
Man schreit durcheinander: „Er hat geschummelt!“
„Natürlich, er ist Mathe-Lehrer.“
„Das ist nicht sein Verdienst.“
„Er hat in einem Buch nachgeguckt.“
„Er hat das studiert.“
Aber ich versuche beim Anzeichnen der Pfeile großzügig
zu sein. Die Möglichkeiten zum Erfolg sind so breit
gefächert, dass viele schnell auf ihre Kosten kommen.
Und die Leute lachen. Sie fordern ihren Pfeil ein. Und die Atmosphäre
ist so gut, dass man wie ausgewechselt er scheint: Die
64 65

Frage nach der Bewertung stellt sich nicht mehr. Man ist damit
zufrieden, glücklich, entspannt und in perfekter Harmonie mit
der übrigen Gruppe zu sein. Und folglich ist man auch empfänglich
und ausgeglichen und kann die Dinge ruhig, objektiv
und wissenschaftlich betrachten.
Zumindestens läuft es im Allgemeinen so ab. Aber auf dem
R.I.D.E.F. (19) in Dänemark habe ich etwas Beson deres erlebt.
Da die Voraussetzungen günstig waren, habe ich verwegen ein
Atelier ‚Dänisch lernen mit der natürli chen Methode‘ vorgeschlagen.
Jeder Teilnehmer plapper te irgend etwas. Die Dänin
Lina Nielsen hörte aufmerk sam zu und sobald sie ein dänisches
Wort hörte, machte sie darauf aufmerksam und schrieb
es an die Tafel. Zum Beispiel habe ich losgeplappert: „schtrine
tom gram ver ström gur.“ „Ah, du hast ‚ström‘ gesagt, damit
ist Strom (wie bei ‚Golfstrom‘) gemeint. Ich schreibe es an die
Tafel.“
Auf diese Weise hatte bald jeder der fünfzehn Teil nehmer
sein eigenes Wort. Und dann haben wir in dieser Art weitergearbeitet.
Am Ende der Tagung, genau in der letzten Sitzung,
habe ich alles aufgezählt, was sich noch hätte ereignen können
und auch zur natürlichen Methode gehört. Als ich dabei zum
Thema des weiten und des engen Bewusstseins kam, rief Diva,
die junge Brasi lianerin aus: „STRAMM!“
Wir sind hochgeschreckt und haben uns verblüfft angesehen.
Was ist los? Was hat sie gepackt? Warum hat sie so geschrieen?
Und Diva hat es uns so erklärt:
„Stram, das heißt eng. Es ist das erste dänische Wort,
das ich am Anfang des Seminars gefunden hatte.
Paul hat gesagt, dass es wichtig ist, dass jeder aus irgendeinem
Grunde von der Gruppe anerkannt würde:
durch seine Anständigkeit, die Hilfe, das Lachen, das
(19) R.I.D.E.F.: ‘Rencontre Internationale des Educateurs Freinet’:
Internationale Tagung der Freinet-Pädagogen. Sie findet alle zwei Jahre in
wechselnden Ländern statt. (Anm. d. Übers.)
Wissen, das Teilen usw. Aber ich habe mir während die ser
ganzen Tage immer wieder gesagt: ‚Die anderen kön nen
etwas, aber ich tauge zu nichts. Ich habe mich bei kei ner
Gelegenheit hervortun können.
Ich war sauer und zornig auf mich selbst. Und außer
mir waren alle anderen lustig und entspannt. Sie waren
alle von der Gruppe akzeptiert.
Paul merkte aber nichts und fuhr mit seiner Zusammenfassung
fort. Wir hatten nur noch eine halbe Stunde
für die gemeinsame Arbeit. Einmal mehr hatte ich meine
Gelegenheit verstreichen lassen. Auf alle Fälle war es zu
spät, es war verpatzt.
Aber als Paul das Wort ‘etroit’ (eng) aussprach, kam
mir das dänische Wort wieder in den Sinn, und ich habe
es, so laut ich konnte, aus mir rausgeschrieen, ohne dass
ich mir dessen bewusst war, so glücklich war ich, dass ich
jetzt auch für die Gruppe existierte.“
Ihr könnt es ruhig glauben, dass wir es nicht nötig hatten,
dieses Ereignis aufzuschreiben um es in Erinnerung
zu behalten. Wir haben kapiert, dass sie wirklich gelitten
hatte.
Ich brauchte einige Zeit, um die Bedeutung dieser
Angelegenheit zu verstehen. Ich habe mir lange Zeit eingebildet,
dass es einen (unausgesprochenen) Konsens gibt,
nämlich dass es sich in den Sitzungen lediglich um eine
Simulation handelt. In meiner Vorstellung ist mir klar gewesen:
Es ist alles nur zum Spaß. Und nun? Nun scheint es
so zu sein, dass man nicht auf der Ebene des Spiels bleiben
kann. Die Teilnehmer lassen sich sofort viel intensiver darauf
ein, als ich es vermutet hätte.
So war es z.B. auch bei Veronique, einer Teilnehmerin
bei einem anderen Seminar. Sie kam in der Pause zu mir
und sagte:
„Das, was die Gruppe gerade herausgefunden hat, das
hatte ich aber zuerst herausgefunden. Warum hast du es
66 67

nicht allen gesagt?“
„Weil du zu schnell warst. Das Phänomen, auf das ich
aufmerksam machen wollte, war noch nicht aufgetreten.“
„Ach, ich verstehe. Aber weißt du, für mich ist das ungeheuer
wichtig. Es hat mich sehr stark belastet, dass Du
meine Entdeckung nicht anerkannt hast. Offen sichtlich
mache ich denselben Fehler auch in meiner eige nen Klasse.
Von nun an werde ich mehr darauf achten.“
Nach der Pause habe ich erzählt, dass Veronique zu
mir gekommen sei, weil sie die Erste war, die das Gesetz
gefunden hatte. Alles platzte vor Lachen. Ihr offensichtlich
kindliches Verhalten war eine unmittelbare Illustration
dessen, was gerade herausgearbeitet wurde. „Wartet,
wartet, wir werden ihr das Wort geben.“
Veronique hat dann noch einmal allen ihre starke emotionale
Reaktion erklärt und ihre Absicht erläutert, noch
aufmerksamer das zu verfolgen, was in ihrer Klasse passiert.
In derselben Gruppe haben wir uns lange über den
Ausspruch „Das ist ungerecht“ unterhalten, als ich die
Leistung einer Teilgruppe herausgestellt hatte und der
Rest sich benachteiligt fühlte. Ich führe die Seminare bewusst
so durch, dass diese Erfahrungen möglich wer den.
Die Teilnehmer erleben selbst, welche Verhaltens weisen
beim Lernen in der Gruppe auftreten und welche Irrtümer
man als Lehrer begehen kann.
In meinen Seminaren versäume ich es nur selten, die
Geschichte von der jungen Brasilianerin zu erzählen. Natürlich
kann das nicht so intensiv nachvollzogen wer den.
Trotzdem findet jeder bei sich selbst diesen starken Wunsch
nach grundsätzlicher Anerkennung, diesen Wunsch nach
einer guten sozialen Gesundheit (20) wie der.
Dabei weise ich fast immer darauf hin, dass wir in Dänemark
nur drei Stunden pro Tag an sechs Tagen gearbeitet
haben. Dadurch hatte jeder einzelne nur wenig Zeit
gehabt, sich seinen Platz in der Gruppe zu erobern. In der
Klasse liegen die Dinge anders.
Vor allem muss man sich darum bemühen, die Chancen
der Kinder zu vergrößern, indem man jedes in seiner
ganzen Person annimmt. Aber das fordert von den Pädagogen,
dass sie auch andere Fähigkeiten akzeptieren und
sich für neue Bereiche öffnen. Ich habe das auch in meiner
Klasse festgestellt, als ich freie schöpferische Aktivitäten
beim Sprechen, Singen und den Bewegungen zugelassen
habe.
Dabei habe ich einige Überraschungen erlebt. Was mich
am meisten verwunderte, war Jean-Pauls Fortschritt beim
Lesenlernen, nachdem er als der beste Clown aner kannt
worden war. Es scheint, dass sich irgendetwas in ihm gelöst
hat, irgendetwas, das vielleicht mit Angst zu tun gehabt
hatte. Das erinnert mich an eine andere Ge schichte.
Eine Schule aus Saint-fitienne war ins Schul landheim ans
Meer gefahren. Dort wunderte sich die Lehrerin:
„Wenn wir in Saint-Etienne sind, macht Patrick ungefähr
fünfzehn Fehler im Diktat. Und hier macht er kaum
noch welche. Das kann ich mir nicht erklären“.
„Und wie ist er beim Segeln?“
„Beim Segeln? Oh, da ist er der Meister, er gewinnt
einfach alle Regatten.”
„Aha! Könnte das nicht die Erklärung sein?“
Da scheint ein wenig Hexerei im Spiel zu sein. Aber
auf jeden Fall wissen die Freinetlehrer, die das Kind in
(20) Die soziale Gesundheit betrifft vor allem die Reaktionen des
Individuums auf die anderen in einer Gruppe, einer Gruppe, von der es
angenommen sein möchte, bewundert, akzeptiert, aner kannt.
68 69

seiner Ganzheitlichkeit wahrnehmen, dass jedweder Erfolg
in einem Bereich eine Verbesserung der Leistungen
in den anderen Bereichen nach sich zieht. Und mit der
natürlichen Methode haben die Kinder so viele Gelegenheiten,
selbstbewusst zu werden, dass der Lehrer sich sehr
bald keine Sorgen mehr macht.
So in seinem Selbstvertrauen gestärkt, entwickelt
man eine neue Bereitschaft, an den vielen verschiedenen
Aktivi täten der Gruppe teilzunehmen und sich Kenntnisse
anzueignen. Dieses Phänomen war besonders bei
dem Lehrerfortbildungskurs in Aix-en-Provence deutlich.
Ein Teilnehmer, Jean-Marie, Ausbilder im Fleischerhandwerk,
kam sich in seiner Gruppe, die von Intellektuellen
dominiert wurde, ein wenig verloren vor. Nun hatte
er herausgefunden, dass das Esperanto-Wort ‘la’ im Französischen
‚la‘ und auch ‚les‘ bedeutet. Und - einmal auf der
Fährte - hatte er entdeckt, dass die beiden französi schen
Begriffe ‚de la‘ und ‚du‘ in Esperanto ‚de la‘ wer den.
Und obwohl er in dieser Gruppe nicht so viele Eisen
im Feuer hatte, so hat er doch einen Bereich gefunden,
der ihm gefiel. Sein erster Fund hat ihm den Weg geebnet.
Danach, selbstsicher geworden, konnte er beruhigt
die Entdeckung der Pronomen in Angriff nehmen. Und
da er dadurch offener wurde, konnte er sich auch für die
Untersuchungen der anderen interessieren und sich ohne
(psychische) Probleme die von der Gruppe erarbeiteten
Ergebnisse aneignen.
Aber bevor ich fortfahre, möchte ich noch einen besonderen
Aspekt von ‚Macht durch Wissen‘ ansprechen: Ich
möchte diejenigen erwähnen, die die Macht nicht mehr
aufgeben wollen, wenn sie sie einmal erobert haben.
Am I.U.T. hat mir ein Professor einmal gesagt:
„Ich habe die Absicht, eine Vorlesung über Linguistik
zu halten und mich dabei auf die Schifffahrtszeichen beziehen.“
„Das ist ausgezeichnet. Die Studenten werden zufrieden
sein, weil sie fast alle segeln.“
„Ja, aber ich nehme die Zeichen der Flussschifffahrt.“
„Aber hier bei uns in der Bretagne gibt es keinen
schiffbaren Fluss.“
„Das macht nichts. Ich weiß aber nur darüber Bescheid.“
„Aber könnten Sie das nicht auf die Seeschifffahrt
übertragen?“
„Aber nein, schließlich habe ich nur über die Flussschifffahrt
gearbeitet.“
Zu diesem Professor kamen nur drei Studenten, später
waren es nur noch zwei. Aber das machte ihm nichts: Er
war genauso zufrieden, als ob er fünfzig gehabt hätte, weil
er seine Rolle spielen konnte.
Gruppenphänomene
Oft sehe ich gleich zu Beginn einer Sitzung zwei Personen,
die miteinander reden. Ich greife das sofort auf: „Halt,
wartet: Hier passiert gerade etwas Wichtiges. Ihr beiden,
ihr habt miteinander geredet. Könnt ihr uns bitte sagen,
worüber ihr geredet habt?“ Da die Atmos phäre meistens
entspannt ist, tun sie es. Und danach fahren wir fort. Aber
sehr bald muss ich wieder unterbrechen, weil ein anderes
Zwiegespräch stattfindet. Und kaum habe ich die beiden
gebeten, den Inhalt ihres Gesprächs der Gruppe mitzuteilen,
mache ich auf ein drittes Zwiegespräch aufmerksam,
das ebenfalls gerade stattfindet. Endlich habe ich einen
Anlass gefunden, meinen Vortrag loszuwerden:
„Ihr seht, obwohl ich auf dieses Phänomen hingewie sen
habe, obwohl wir mit dem Finger darauf gezeigt haben,
hat euch all das nicht daran hindern können mit einander
70 71

zu schwatzen. Oder genauer, ihr habt nicht ein mal bemerkt,
dass ihr miteinander sprecht. Denn hier handelt
sich um spontanes Verhalten. Und es gehört zur Arbeit
von uns Praktikern, genau zu registrieren, was sich in unseren
Klassen ereignet. Ihr wisst, dass das Seminar unter
dem Thema: ‚Das Verhalten des Menschen beim Lernen‘
steht. Ihr seid Menschen und ihr seid gera de beim Lernen.
Es reicht vollkommen aus, wenn ihr euer eigenes Verhalten
anseht, um interessante Fragestellun gen zu finden.
Warum also redet man mit seinem Nach barn? Warum hat
Laura mit Gabriella geredet? Ich möchte euch zwei Hypothesen
vorstellen. Sagt mir bitte, welche der Wirklichkeit
entspricht.
Früher schien mir alles ganz klar zu sein: Man benutzt
den anderen um seine Ideen zu verbreiten. Du Laura, du
hast Gabriella angesprochen. ‚Ma se ne fregava completamente‘
(Aber es war ihr völlig egal). Und alles, was du hättest
sagen mögen, wäre ihr völlig egal gewesen. Denn in
Wirklichkeit hast du deine Rede an dich selbst adres siert.
Wenn man etwas nur denkt, wird es noch nicht ganz
klar, ist es noch irgendwie konfus, ist noch alles durcheinander.
Wenn man aber seine Gedanken ausspricht, dann
sieht man sie sofort vor sich. Wir sprechen ja in linearer
Weise, indem wir ein Wort an das andere reihen. Und ehe
wir eine Botschaft aussenden, müssen wir sie vorher in
unserem Kopf zusammensetzen. Man muss also zuerst
Ordnung schaffen. Das Sprechen zwingt uns dazu, die
Gedanken zu strukturieren, also zu einer Anstrengung,
der man sich sonst nicht unterziehen würde. Unser Gehirn
ist voll von vagen Ideen, die noch im Entstehen sind.
Damit sie eine feste Gestalt annehmen können, müs sen sie
ausgesprochen werden.
Aber in unserer Gesellschaft wird man schnell für verrückt
gehalten, wenn man mit sich selbst spricht. Also
brauchen wir ein Alibi, einen Vorwand. Und deshalb
brauchen wir unseren Nachbarn. Aber ist es egal, wer dieser
Nachbar ist?
Laura und Gabriella, habt ihr euch zufällig zusammengesetzt?“
Ein lautes Gelächter erschallt, denn es ist offensicht lich,
dass jeder seinen Platz genau ausgesucht hat, dass jeder
versucht neben Personen zu sitzen, die er kennt, neben
Personen, auf die er sich nötigenfalls verlassen kann. Eigentlich
müssten wir an diesem Punkt ein wenig verweilen,
um dieses Phänomen ‚Suche nach Nähe‘ genauer zu
untersuchen, das einmal mehr das Grund bedürfnis nach
Sicherheit belegt.
Also, man hat jemanden, der es einem ermöglicht mit
sich selbst zu sprechen, ohne dass man für verrückt gehalten
wird. Es reicht aus, wenn man ein Ohr in unmittelbarer
Nähe weiß. Jeder hat einmal die Erfahrung in einer
Gruppe gemacht, dass man das Wort an jemanden richtet
und mit einem Male sprechen alle gleichzeitig. Plötzlich
ist die Aufmerksamkeit der Person, die euch zuzuhören
scheint, abgelenkt, und ihr hängt in der Luft, ganz verlegen,
ganz verblüfft. Und ihr sucht sofort jemanden in der
Umgebung, der sich euch zuwendet, der euch gleichsam
das Almosen seines Gesichtes gibt. Die gleiche Verlegenheit
empfindet ihr, wenn ihr von zwei Personen gleichzeitig
angesprochen werdet. Ihr wisst nicht, wem ihr euch
zuwenden oder genauer gesagt, wen ihr anschauen sollt
(denn es ist das Anschauen, das für das Zuhören bürgt).
In Italien musste ich oft protestieren, weil alle zur selben
Zeit mit mir redeten. Schließlich habe ich nur zwei
Ohren. Manchmal fragte ich: „Stört es euch nicht, dass
niemand euch verstehen kann?“ Sie lachten. Nein, das
störe sie nicht, weil sie auf diese Weise ihre Botschaft
unter dem Vorwand, sie sei für meine Ohren bestimmt, an
sich selbst richten könnten. Aber jetzt, nachdem ich Antoine
de la Garanderie gelesen habe, weiß ich auch, dass
72 73

in der italienischen Kultur der mündliche Ausdruck eine
besondere Bedeutung hat.
Schließlich muss man die Dinge oft genug für sich
selbst wiederholen, damit man sie sich gut aneignen kann.
Das geschieht auch, wenn man allein arbeitet.
Trotzdem gibt es eine zweite Hypothese, mit der das
Phänomen des Zwiegesprächs erklärt werden kann: Man
benutzt den anderen um seine Idee zu prüfen. Man weiß
nicht genau, was sie taugt, man glaubt nur ein bisschen
daran; aber man fragt sich, wie sie wohl bei anderen ankommen
würde. Man sagt sich: „Das ist vielleicht eine
etwas verrückte Idee.“ Und dann erzählt man sie dem
Nachbarn und überprüft dabei, ob er sie richtig verstanden
hat. Und wenn er nicht zu heftig darauf reagiert, wenn
er nicht auf die eine oder andere Weise sein Missfallen
äußert, wenn er nicht laut losschreit, kann man das Risiko
eingehen, seine Idee laut vor der ganzen Gruppe zu
äußern.
In Aix wurde ich auf dieses Phänomen aufmerksam.
Leider bin ich kein besonders aufmerksamer Beobachter,
und so müssen mir die Dinge von selbst ins Auge springen.
Aber damals haben sie sich richtig aufgedrängt. Es
war unmöglich, sie nicht zu bemerken. Man stelle sich
dreizehn Personen vor, die so gesessen haben: sechs auf
der einen, sieben auf der anderen Seite.
Ich weiß nicht mehr aus welchem Anlass, jedenfalls fingen
alle zur selben Zeit an, immer zu zweit miteinan der zu
reden, und wandten sich dabei paarweise einan der zu. Ich
hätte vielleicht nichts bemerkt, wenn ich nicht die siebte
Person gesehen hätte, die sich an die sechste wandte, die
ihrerseits zur fünften gewandt war. Es gab offensichtlich
ein außerordentlich spontanes, simultanes und allgemeines
Thema für die gesamte Gruppe. Ich kam nicht umhin,
der Sache auf den Grund zu gehen. Und was stellte sich
heraus? Es war die Überprüfung von eige nen Hypothesen
mit Hilfe anderer Personen.
Manchmal passiert es in einer Gruppe, dass jemand
eine Idee aufschnappt, die jemand seiner Umgebung leise
mitgeteilt hat. Und er äußert sie laut, so als ob es seine
eigene wäre. Manchmal freut sich der Autor der Idee darüber,
dass er diesen ‚Laut-Sprecher‘ zu seiner Verfügung
hatte. Und selbst, wenn niemand entdeckt, dass er der eigentliche
Autor der Idee ist, beglückwünscht er sich innerlich
selbst:
„Mensch, das war doch meine Idee... manchmal habe
ich ganz gute Ideen ... vielleicht bin ich gar nicht so
schlecht... „
Aber oft ist der ‘Laut-Sprecher’ von der guten Resonanz,
die ‘sein’ Vorschlag erhalten hat, ein wenig überrascht
und fühlt sich genötigt die Sache aufzuklären.
74 75

„Ehrlich gesagt, war das nicht meine Idee, sondern die
von Patricia.“
In diesem Fall zeichne ich zwei Pfeile an die Tafel:
einen für Patricia für die gute Idee und einen für den
‚Laut-Sprecher‘, für seine Ehrlichkeit.
Aber meist deckt er die Wahrheit erst dann auf, wenn
die Idee schlecht ankommt: „Das ist schließlich nicht auf
meinem Mist gewachsen, das hat Patricia gesagt.“
Teilgruppen
Manchmal bilden sich kleine Forschungsgruppen. Die
Leute haben sich nicht irgendwie zufällig hingesetzt; denn
es lässt sich leichter mit Leuten zusammenarbeiten, zu
denen man sich hingezogen fühlt.
Ich erinnere mich daran, dass einmal eine Gruppe von
vier Personen zu meiner Rechten sehr schnell die Lösung
einer grammatischen Regel in Esperanto fand. Aber zu
dem Zeitpunkt tat ich noch so, als hätte ich nichts gehört.
Ich wollte die Spannung des Suchens noch aufrechterhalten,
damit das Phänomen noch genauer herausgearbeitet
werden konnte. Und als ich dann die Hypothese einer
Dreier-Gruppe zu meiner Linken aufgriff, schrie das
Quartett los:
„Aber das hatten wir doch schon vorher gesagt!“ „Das
weiß ich auch, ich habe euch genau gehört; aber ich wollte
noch ein wenig abwarten um zu sehen, ob sich noch andere
Dinge entwickeln. Was ich nun bei euch sehe und was
ich nicht erwartet habe, ist, dass nicht nur das Individuum,
sondern auch eine Teilgruppe den Wunsch haben kann,
von der ganzen Gruppe bestätigt zu werden. Ihr bildet
eine Gruppe, denn ihr habt euch ziemlich wahrschein lich
vorher schon gekannt, und nun seid ihr enttäuscht, weil ihr
nicht als die Besten anerkannt worden seid.”
Das wurde gut aufgenommen. Das entspricht übrigens
einer Realität, die ziemlich oft vorkommt. Es gibt
oft Rivalitäten zwischen Teilgruppen, die sich manchmal
aufgrund irrationaler Beweggründe bilden, z.B.: Alle,
die rechts sitzen, diejenigen, die hinten sitzen, usw. Hier
kommt wieder der Wunsch zum Tragen, einer erfolgreichen
Gruppierung anzugehören. Im Sport versucht man
Partei für die Mannschaft zu ergreifen, die gewinnt, ob
sie nun auf lokaler, örtlicher, regionaler oder nationaler
Ebene spielt. Und wenn diese Mannschaft verliert, dann
sagt man sich von ihr los. Wenn es einerseits heißt: „Wir
haben gewonnen!‘, so kann es andererseits nur heißen:
„Sie haben verloren!‘.
Aber wenn man oft in verschiedenen Vorhaben zusammenarbeitet,
nimmt die Zahl der Kontakte zu und
das Phänomen der Teilgruppen verschwindet. Denn am
Anfang ist die Affektivität besonders gegenwärtig, mäßigt
sich dann aber im Laufe der Zeit.
In Florenz hatte eine Frau die Lösung eines Problems
gefunden. Aber dieses Mal hatte ich sie wirklich nicht
gehört. Und nachdem ich den Verdienst der Entdeckung
jemand anderem zugesprochen hatte, protestierte Giancarlo:
„Aber Rosalia hatte es doch schon herausgefunden.“
„Ach, und ihr kennt euch?“ „Oh ja, wir arbeiten an derselben
Schule.“ Ein anderes Mal hatte ich, um Zeit zu
sparen, die Erfindung einer Lehrerin verkürzt an die Tafel
geschrie ben. In Wahrheit bestand ihre Erfindung aus einem
Dutzend Zeilen. Sofort wurde ich heftig von ihrer
Nachbarin, die sichtlich älter als sie war, angeschnauzt:
„Aber warum schreibst du nicht ihre gesamte Erfindung
auf?“
„Ach, du kennst sie?“
„Ja.“
76 77

Viele lachten über die heftige Art, eine Jüngere in
Schutz zu nehmen. Ich erläuterte, dass ich es getan hatte,
weil ich schneller vorankommen wollte, weil nicht genügend
Platz da war und weil das Wesentliche in dem, was
ich an die Tafel geschrieben hatte, auf jeden Fall zum Ausdruck
gekommen war.
Aber ich habe sofort die Gelegenheit genutzt, das
Thema der emotionalen Betroffenheit aufzugreifen. Es
ge lingt mir immer es anzusprechen, weil es garantiert
auf tritt. In Aix hat uns Hortensia ein eindrucksvolles Beispiel
gegeben. Ihr Sohn hatte große Probleme, lesen zu
lernen. In jener Zeit hatte er sich den kleinen Finger gebrochen.
Man hatte ihn mit einer Schiene und Gips fixiert.
Als eines Morgens seine Lehrerin mit dem gleichen Gips
um den gleichen kleinen Finger in ihrer Klasse erschien,
fing er plötzlich an zu lesen.
Seine eigentliche Schwierigkeit war das ‘ch’. Denn er
hieß Michael. Und das ‚ch‘ in diesem Wort wird wie das
deutsche ‚k‘ ausgesprochen. Wenn es sich um irgendwelche
beliebigen Worte wie ‚choeur‘ (Chor) oder ‚Chrysantheme‘
(Chrysantheme) gehandelt hätte, wäre es nicht weiter
von Bedeutung gewesen. Denn solche Worte kom men
(in der französischen Sprache, Anm. d. Übers.) selten vor.
Wörter dagegen wie ‚chats‘ (Katzen), ‚chiens‘ (Hun de),
‚chevaux‘ (Pferde) und ‚chants‘ (Lieder) treten in Hülle
und Fülle auf. Deshalb können sich die Kinder das ‚ch‘
(gesprochen wie das deutsche ‚seh‘, Anm. d. Übers.) leicht
merken. Aber das ‚ch‘, ausgesprochen wie ‚k‘, war für Michael
in jedem Augenblick vorhanden, und zwar in seinem
Vornamen. Und diesen Laut aufzugeben, das hät te
bedeutet, auch ein wenig sich selbst aufzugeben. (21)
Wie man sieht, dürfen die Lehrer die emotionale Betroffenheit
nicht außer acht lassen, weil sie eine große Bedeutung
für den Erwerb von Wissen hat.
Hier ein anderes Beispiel aus meiner eigenen Kindheit:
Wir waren in unserer Klasse 55 Jungen im Alter von 11
bis 12 Jahren. Es ist ganz klar, dass ich die Namen von fast
allen meinen Mitschülern vergessen habe. Trotzdem gibt
es einen, an den ich mich sehr genau erinnere. Eines Tages
erhielt ich eine Strafe: Ich sollte nachsitzen. Aber ich hatte
versucht mich unbemerkt davonzustehlen. In diesem Moment
ging ein Junge zum Lehrer und sagte zu ihm:
„Le Bohec muss doch nachsitzen.“ „Ach ja, richtig! Le
Bohec, du bleibst da.“ Nun gut, dieser Junge hieß Piaud.
Eine ähnliche Sache passierte mit Briend. Er hat mir einen
Fehler in meinem Diktat angestrichen, obwohl da keiner
war. Und auch Briend behalte ich immer im Gedächtnis.
Und jeder von euch könnte für sich selbst überprüfen,
durch welche Elemente, welche Ereignisse, welche Um
stände diese oder jene Sache in seinem Gedächtnis hängen
geblieben ist. Und das sind nicht notwendigerweise negative
Dinge. Man fühlt genau, „dass Emotionalität und Ler nen
unzertrennlich sind. Und es ist nicht immer die Vernunft, die
im Streit mit den Gefühlen Recht hat und die uns immer den
besten Weg zur Erkenntnis führt“ (Morin 1986, S. 128)
(21) Aber was war der eigentliche Anlass für Michaels Verän derung? Hat
Michael sich vielleicht herausgehoben gefühlt, weil durch die gleichartige
Verletzung eine neue Beziehung zu seiner Lehrerin entstanden ist? Wir
werden es nie wissen. Es gibt viele Dinge, die im Dunkeln verborgen
bleiben.
78 79

Die Komplexität
Die Komplexität ist eine wesentliche Eigenschaft der
natürlichen Methode. Eine Schulklasse stellt ein Gebilde
aus vielen komplexen Individuen dar. Sie unterscheiden
sich manchmal so stark, dass es unmöglich erscheint sie
zusammen arbeiten zu lassen. Schauen wir uns zum Beispiel
an, welche Persönlichkeiten in der Gruppe in Aix
zum Vorschein kamen:
Alexis definiert sich selbst als Spielverderber. Er fürchtet
vor allem die Wiederholung, das Auf-der-Stelle-Treten.
Er ist immer bereit eine neue Sichtweise einzubringen,
ein Untersuchungsfeld zu eröffnen, eine Überraschung zu
bereiten....
Helene, voll Energie, sagt immer, was sie denkt, und
bezieht sich oft auf ihre Erfahrung bei der Alphabetisierung
der Maghrebiner. Sie sieht alles klar; sie ist sehr
wachsam und sehr empfindlich gegenüber jeder Art von
Einflussnahme.
Christine liebt die ungeraden Zahlen. Sie entpuppt sich
auch als Oppositionelle. (Gibt es da einen Zusammenhang?)
Tean-Camille ist leidenschaftlich von der Mathematik
ergriffen. Am Anfang stand er in einem Wissenswettstreit
mit Daniele. Dann hat er in einer Gruppe mit ihr gearbeitet.
Sie fanden an den gleichen Dingen Gefallen. Daniele
ist besessen vom Verbessern. Sie achtet nicht nur auf die
Rechtschreibung der Tafeltexte in Esperanto, wobei sie
selbst den kleinsten Fehler entdeckt; ja sie geht sogar so
weit, dass sie die Texte in den Papieren ihrer Nachbarinnen
nachsieht. Sie ist spitzfindig, rechthabe risch, kleinlich,
streitsüchtig, formalistisch und wunder lich. Aber sie ist,
so wie sie nun einmal ist, für die Gruppe sehr segensreich,
weil sie immer dafür sorgt, dass auf einer sicheren Grundlage
gearbeitet wird.
Jean-Pierre bezieht sich bei der Untersuchung von
Erfin dungen fast immer auf den Bereich der Musik. Hortensia
ist begeistert, begeisternd. Sie hat ein schweres
Leben gehabt und möchte viel nachholen. Sie möchte Erfolg
haben. Sie lehnt es ab, dass man ihr Wissen gibt. Sie
möchte es sich selbst erobern. Ihre Erfindungen sind voll
von Häusern.
Rene ist sehr still. Er engagiert sich in seinen Texten,
ist sehr sensibel, sehr rücksichtsvoll gegenüber anderen
Personen.
Tean-Marc ist sehr geschickt mit den Händen. War sehr
locker beim ‚Esperanto-Erfinden‘, obwohl er kein Intellektueller
ist.
Adrienne engagiert sich in allem, was sie tut, nimmt
voll er Leidenschaft an Diskussionen teil. Sie ist Linkshänderin,
was ihre Sicht der Dinge beeinflusst. Anne ist ein
wenig zurückgezogen, auf Abstand, ein wenig ausgefallen
mit ihrer Frisur. Aber man spürt, dass sie interessiert ist.
Wenn all dies sich bereits in drei Sitzungen von je drei
Stunden zeigen konnte, dann ist garantiert, dass sich diese
individuellen Persönlichkeitsstrukturen im Laufe eines
ganzen Jahres noch deutlicher herauskristallisiert hätten.
Sicher hätten sich Korrekturen ergeben. Eine umfassende
Zusammenarbeit - eine Kooperative des Wissens - hätte
sich entwickeln können. Das bedeutet, dass eine Gruppe,
die so reich an Persönlichkeiten ist, die sich gegenseitig
ergänzen und die sich (glücklicherweise) widersprechen,
großartige Fortschritte machen kann. Deswegen muss sich
der Lehrer die Komplexität der Situationen und der Menschen
bewusst machen. Aber er muss auch in der Lage
sein dies zu tun. Dazu muss er eine gewisse Gelassenheit
an den Tag legen.
In Florenz hatte sich Marcello geweigert, sich an der
Suche nach Gesetzmäßigkeiten in Esperanto zu beteili-
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gen, weil ich ihm nicht garantieren konnte, dass meine
Übersetzungen in diese Sprache 100%ig richtig waren. Ich
konnte ihm erzählen, was ich wollte: Selbst wenn ich eine
Geheimsprache anbieten würde, könnte man darin etli che
Sprachregeln entdecken. Aber er wollte nicht mitspie len:
Unterricht, das ist etwas Ernsthaftes. Er war ein ‚direttore‘
(ein Rang, der dem Bezirksschulrat in Frank reich entspricht).
Er hatte eine Art Zwangsvorstellung von Wissen
und Wissensvermittlung.
Aber auch wir wissen, was wir wollen: Unser vorrangiges
Bemühen ist es, die Kinder mit einem Maximum
an Wissen, an Techniken und an Fähigkeiten zur Lebensbewältigung
auszustatten, weil dies unerlässlich ist, um
in unserer heutigen so schwierigen Gesellschaft zu überleben
und um es ganz einfach zu leben. Aber nicht jeder
wird ein ‚direttore‘. Deshalb darf man nicht aus schließlich
den Stoff, der vermittelt werden soll, im Auge haben. Man
muss auch versuchen zu verstehen, wie das Speichergerät
Gehirn überhaupt funktioniert.
Ich habe Marcello die Liste von all den Dingen gezeigt,
die 8- bis 9-jährige Kinder dank dieser Methode, die die
Lernprozesse in den Mittelpunkt stellt, lernen konnten.
Aber er wollte nichts davon wissen. Er hatte seinen Standpunkt
und den konnte er nicht verlassen. Vielleicht, weil
er sein Gesicht nicht verlieren wollte. Aber das machte
nichts: Nicht für ihn habe ich gearbeitet, sondern für die
anwesenden Praktiker, die Tag für Tag mit diesen Problemen
umgehen und die sich nicht so grandios darü ber hinwegsetzen
können.
Hier zwei weitere Erfahrungen, die man mit ‘die Gruppe
für‘ und ‚die Gruppe gegen‘ überschreiben könn te. Zuerst
also, was uns jemand in Ostia vorgestellt hat:
Tiziano versucht sofort, eine Struktur zu entdecken.
„Nach der 7 gibt es immer sieben Zeichen.“ Allgemeiner
Protest: „Nein, beim zweiten Mal sind es vier .“ Und die
Leute denken: „Was für ein Quatsch, Tiziano spinnt!“ Es
sind ganz offensichtlich nicht sieben Zeichen. Aber Tiziano
lässt sich nicht aus dem Sattel heben. „Aber doch,
nämlich so:“
Die Gruppe protestiert:
„Das ist unmöglich. Das können wir nicht akzeptieren.
Es ist zu sehr an den Haaren herbeigezogen.“
Tiziano hört nicht auf die Proteste. Er starrt auf die
Tafel. Plötzlich sagt er ganz beglückt:
„Aber ja doch, schaut mal die Dreiecke an, es sind sieben!“
Na ja, wir müssen es notgedrungen anerkennen. Aber
wir sind doch noch ein bisschen böse auf diesen Provokateur,
der mit seinen sieben Dreiecken einfach zu viel
Glück hatte. Als es schließlich ruhig wird und niemand
mehr etwas anderes sieht, gebe ich der Autorin das Wort:
„Ich war noch nicht fertig, als Paul mich bat, es an die
Tafel zu schreiben.“ Tiziano stößt ein Triumphgeheul aus:
„Seht ihr, wenn wir sie hätten machen lassen, hätte
sie noch drei weitere Zeichen hingeschrieben, und dann
wären es bei der zweiten Serie auch sieben gewesen“
Das Gelächter angesichts dieser Hartnäckigkeit von
82 83

Tiziano, allem und jedem gegenüber recht zu behalten,
ist groß gewesen. Wenn man Tiziano bedrängt, findet er
immer wieder einen Ausweg, er windet sich immer wie der
aus der Falle, die über ihm zuschnappen will. Ihn fängt
man nicht so leicht. Wie eine Beute, die von einem Raubtier
belauert wird, entwickelt er listige Strategien. Und
unter diesen Umständen ist die Gruppe ein wenig wie ein
Raubtier, weil sie versucht ihn zu erwischen, ihn einzufangen,
ihn in die Enge zu treiben, ihn zu überra schen.
Mir ist es wichtig, dieses Ereignis zu erzählen, weil es
ziemlich oft auch im ‚Unterricht mit der natürlichen Methode‘
vorkommt. Aber etwas Derartiges ereignet sich
nicht nur dann, wenn es darauf ankommt, den anderen
zu widerstehen oder ihnen zu entkommen, sondern auch,
wenn ein Kind oder eine Handvoll von Kindern versucht
Strategien zu entwickeln, um bisher ungeahnte Möglichkeiten
zu entdecken.
Das entspricht übrigens dem tastenden Vorgehen in der
Geschichte der Menschheit.
So haben die Menschen z.B. ‘natürlich‘ zuerst damit angefangen,
die natürlichen Zahlen (N) zu erfinden: 1,2,3,4
... Und sie haben einen wichtigen Schritt gemacht, als sie
die Null erfunden haben. Und dann haben sie ihre Freiheit
ausgeweitet, indem sie die ganzen Zahlen (Z) geschaffen
haben: 4 - 5 zu berechnen, war in N nicht mög lich, wurde
es aber in Z: 4 - 5 = -1. Dann ist man zu den rationalen
Zahlen (Q), sowie zu den reellen Zahlen (R) gekommen.
Und um das System zu perfektionieren, ist man bis zu den
imaginären Zahlen gegangen: i2 = -1.
Das Gleiche passierte in der Geometrie. Man war lan ge
Zeit durch das Parallelenaxiom von Euklid blockiert.
„Durch einen Punkt, der außerhalb einer Geraden liegt,
kann man eine und nur eine Parallele zeichnen“
Aber Lobatschewskij hat, ausgehend von gekrümmten
Räumen, eine andere (die hyperbolische) Geometrie
begründet, indem er sagte:
„Man kann eine unendliche Zahl von Parallelen ziehen.“
Und Riemann hat auch seine eigene (die elliptische)
Geometrie entwickelt und gesagt:
„Man kann keine einzige Parallele zeichnen.“
Mit Sicherheit finden wir bei den Kindern die Tendenz,
den Freiraum zu erweitern. Es kann übrigens sein, dass
man eines Tages bemerkt, dass es auch eine Entwicklung
des freien mathematischen Textes gibt und dass die Lehrer
gut über die Geschichte der Mathematik informiert sein
müssen. Dann wird es vielleicht eine Art Wiederholung
der Phylogenese in der Ontogenese der Mathematik geben.
Aber das ist eine gewagte Hypothese. Kommen wir lieber
auf ein Beispiel aus der Arbeit mit Erwachsenen zurück,
weil es so gut das Wesentliche dessen zusammenfasst,
was wir bisher aufzeigen konnten. Wir waren ungefähr
fünfzig Personen in einer Schule in Mestre, dem Festlandteil
von Venedig. Sandro schrieb fol gendes an die Tafel:
N8NS8L1M1T5M1T9C1
Was konnte das bedeuten? Diese Frage drängte sich uns
mit aller Gewalt auf. Die Stille war aufs äußerste gespannt.
Sie dehnte sich immer länger. An welchem Ende konnte
man denn die Sache packen? Gab es nicht wenigstens eine
winzige Struktur zu entdecken, damit wir wieder aufatmen
konnten? Jemand äußerte ins Blaue hinein die Idee
von Autokennzeichen. Aber die Gruppe lehnte diese Idee
kategorisch als ‘völlig blödsinnig‘ ab. Ein anderer sprach
von einer Versicherungsnummer. Einhellige Ablehnung:
Das hätte damit überhaupt nichts zu tun. Aber man fand
immer noch nichts. Nein, keiner hatte irgendeinen Anhaltspunkt:
Es ging langsam an die Nerven. Sandra fing
84 85

an mit den Fingern zu zählen. Aber sie gab wieder auf. Die
Spannung stieg. Plötzlich rief Grazieila los:
„Ich habe es gefunden: NON SO LA MATEMATICA.“
(Ich kann keine Mathematik!)
Welche Freude! Beifall brach aus, man schüttelte ihr
die Hand. Ausrufe der Befriedigung waren zu hören, ein
Freudentaumel brach aus. Endlich hatten wir nicht nur
eine vielversprechende Hypothese, sondern die ganze Lösung
gefunden. Welche Befriedigung, welch eine Erfüllung,
welche Entspannung! Als die Gemüter sich ein wenig
beruhigt hatten, habe ich selbstverständlich das Wort
ergriffen, um dieses überraschende Ereignis zu kommentieren.
Ich unterstrich zuerst die Intensität des anfänglichen
Schweigens und wies darauf hin, dass es mit Angst,
aber auch mit Wut angefüllt war. Es ist nämlich so: Das
menschliche Wesen mag es überhaupt nicht, dem Chaos
ohnmächtig ausgeliefert zu sein. Und durch ihren Beitrag
hat Grazieila uns alle befreit.
Dieses Mal konnte man einfach nicht auf ihren Erfolg
eifersüchtig sein. Im Allgemeinen lehnen es die Menschen
ab, dass man ihnen hilft. Sie wollen die Lösung allein finden.
Aber hier hatten wir es nicht mehr mit einer leichten
Beunruhigung zu tun, die stimuliert, sondern mit einer
rich tigen Angst um die Lösung. Und es war der ganzen
Gruppe wichtig, Grazieila ihre Anerkennung zu zollen.
Hier handel te es sich nicht mehr um eine Simulation oder
ein Spiel. Es war eine echte Handlung, ein Stück wirklichen
Lebens mit all seinem Schwung und ohne jede
Zurückhaltung.
Nur Sandro, der Autor, nahm nicht an der gemeinsamen
Freude teil.
„Mm, nun, ich bin mit Grazieila überhaupt nicht
zufrieden!“
Alles lachte natürlich, weil es klar war, dass man ihm
auf brutale Weise seine Macht entrissen hatte. Es gab nun
zwei Personen, die sich einander gegenüber standen: die
Gruppe und Sandro. Und er hatte verloren. Oder genau er:
Er war wieder auf das Niveau der anderen herunter geholt
worden.
Aber für Sandra war das zuwenig: Sandro sollte auch
noch für die Minuten der Spannung zahlen, die er allen
zugemutet hatte. Also fing sie wieder an, mit den Fingern
nachzuzählen.
„Hej, das geht nicht, Sandro. Du hast eine 8 für den
Buchstaben O eingesetzt, obwohl es die 13 ist.“
Also musste Sandro detailliert erklären, dass er wegen
eines Bleistifts, den er in der rechten Hand hatte, nur seine
linke Hand zum Zählen benutzen konnte und dazu seine
Finger nacheinander auf die linke Wange gelegt hatte. Und
so hat er zunächst bis 5, dann wieder bis 5 und dann bis 3
gezählt. Und dabei hat er die erste 5 vergessen.
Wie soll man das allgemeine Lachen beschreiben, das
sich augenblicklich ausbreitete? Das Lachen war entspannend,
erholsam und stellte das Gleichgewicht wieder her.
„Ah, nun ist alles aufgeklärt! Es ist ja nicht weiter verwunderlich,
dass wir keine Lösung gefunden haben, weil
die Ausgangsdaten falsch waren.“
„Das beruhigt: Wir sind also doch nicht so dumm!“
Und weil Sandro sein Ungeschick, seinen Mangel an
Gemeinsinn so demütig zugegeben hat, grollt man ihm
nicht mehr. Die Gruppe verzieh ihm freimütig, weil er sich
schuldig bekannt und Humor bewiesen hatte.
Lachen entdramatisiert, wenn sich jemand bedroht
fühlt. Und diese Möglichkeit wird gerne von demjenigen
genutzt, der sich bereits so sehr von den anderen abgehoben
hat, dass er die zornigen Blicke der restlichen Versammlung
auf sich ruhen fühlt.
„Hoppla, das wird gefährlich. Ich muss von diesem
gefährlichen Weg herunterkommen.“ Und er macht einen
86 87

Witz auf seine eigene Kosten. Aber ich mache erneut
dar auf aufmerksam, dass so etwas meist nur am Anfang
pas siert. Bald entwickeln sich Kooperation, ein Gruppengefühl
und die Freude des Entdeckens.
Und noch etwas: Auf einem Seminar in Treviso hatte
Jeannette (eine französische Teilnehmerin) nicht akzeptiert,
dass der Buchstabe O durch die 13 repräsentiert
wurde und nicht von der 15, wie sie es errechnet hatte.
Sie hatte nicht bedacht, dass es die Buchstaben j und k im
italienischen Alphabet nicht gibt.
Ich bin auf ihren Widerstand eingegangen, um daran
einen wichtigen Punkt aufzuzeigen: Wir arbeiten mit einer
bestimmten Gruppe in einer bestimmten Wirklich keit. Die
heutige Wirklichkeit wird bestimmt von allen anwesenden
Personen, und eine von ihnen ist Französin. Von dieser
Wirklichkeit hängt ab, welchen Weg die Gruppe geht. Natürlich
ist zu diesem Zeitpunkt nicht alles möglich. Trotzdem
kann man beruhigt sein: Wir haben noch tausende
von Entdeckungen in der Mathe matik zu machen. Und
jede Gruppe hat ein so reichhalti ges Potential, dass man
nicht ungeduldig werden muss: Die Ernte wird reich sein,
vorausgesetzt, wir haben noch genügend Zeit, so wie dies
im schulischen Unterricht der Fall ist.
Im nächsten Abschnitt wenden wir uns dem Einsatz
der natürlichen Methode in der Schule im Mathematikunterricht
zu. Oben haben wir diese Methode am Beispiel
des Lernens von Erwachsenen beschrieben, damit deutlich
wird, was dort eigentlich passiert. So haben wir ihre
Grundlagen, Prinzipien und Vorgehensweisen wenigstens
ansatzweise kennengelernt. In meinen Seminaren nehmen
wir uns nach drei Sitzungen die Zeit alle Punkte zu rekapitulieren,
die bei unserer gemeinsamen Erfahrung zum
Vorschein gekommen sind. Wir praktizieren dann die
natürliche Methode des ‚Theoretisierens der natürli chen
Methode‘.
Hier kurz zusammengefaßt die sechs Aspekte, die man
dabei berücksichtigen muss:
• eigene Praxis
• Gruppenphänomen
• Informationsquellen
• Physische Besonderheiten
• Psychische Eigenarten
• Rahmenbedingungen.
Diese Punkte, die in Kapitel 7 noch ausführlicher erläutert
werden, können eine Orientierungshilfe sein, wenn
man über die natürliche Methode nachdenkt. Und wer
diese Methode praktiziert, wird sie zwangsläufig in Kooperation
mit anderen Praktikern erforschen.
Schauen wir uns nun an, wie es bei den Kindern aussieht.
88 89

3. Die natürliche Methode im
Mathematikunterricht
Inzwischen kann man von einer verbreiteten
unterrichtli chen Praxis der natürlichen Methode des
Mathematik unterrichts sprechen. Die Kräfte, die sie tragen,
sind wie der stärker geworden.
Vor 20 Jahren, als die natürliche Methode gerade dabei
war Wurzeln zu schlagen, trat die moderne Mathematik in
Erscheinung. Für den damals noch zarten Keim war dies
eine Art Katastrophe. Einige von uns hatten sich schon
auf den Weg gemacht; es waren aber zu wenige, um sich
bei denjenigen Lehrern Gehör verschaffen zu können, die
wegen der Einführung der modernen Mathe matik von
Panik ergriffen waren. Und so wurde diese Idee wieder
auf Eis gelegt.
Inzwischen ist nicht nur die Angst vor der modernen
Mathematik verblasst, weil die heutigen Lehrer sie beherrschen
und keine Berührungsängste mehr haben, sie selbst
hat auch an Bedeutung verloren.
Dafür ist die natürliche Methode wieder aufgetaucht
und bereit für einen neuen Aufschwung: Widmen wir ihr
endlich all die Aufmerksamkeit, die sie verdient.
Wie ich bereits angedeutet habe, ist die Idee dazu auf
‘natürliche‘ Weise entstanden: Meine Frau und ich hatten
die natürliche Methode bereits in den Bereichen Französisch,
Lesen/Schreibenlernen, mündlicher Ausdruck,
Musik, Körperausdruck, Texte verfassen und Zeichnen/
Malen in den Klassenstufen 1 bis 3 erprobt und sind zu
der Über zeugung gekommen, dass sie sich für all diese
Bereiche hervorragend eignet.
Und da ich mich immer darum bemüht habe, den Dingen
auf den Grund zu gehen, habe ich ohne Unterlass an
der Entwicklung meiner kleinen Theorie gearbeitet.
Und ich hatte das Glück, sie mit Freinet und seiner Frau
Elise diskutieren zu können. Ich habe ihnen viel geschrieben,
um meine Hypothesen vorzustellen und um kriti sche
Anregungen zu bekommen. So viel, dass ich mich eines
Tages auf der theoretischen Ebene sicher genug fühlte, um
mir folgende Fragen stellen zu können: „Wenn man mit
dieser Methode so viel lernen und soviel Wissen erwerben
kann, warum sollte man sie nicht auch im Fach Mathematik
anwenden? Oder besitzt die Mathematik Eigenschaften,
die dies ausschließen? Was muss man tun, damit die
natürliche Methode auch der Mathematik gerecht wird?“
Nun, um dies herauszufinden, blieb mir als Freinet-Lehrer
nur eines übrig, nämlich es zu versu chen. Und das wagte
ich mit Beginn des Schuljahres 1965. (22)
Das Erstaunlichste ist, dass die natürliche Methode nun
gerade in der Mathematik, dem Fach, in dem lange keiner
daran dachte sie anzuwenden, ihre besten Resultate
erzielt.
Doch nachträglich ist das leicht einzusehen. Denn
jeder Erkenntnisprozess beginnt damit, Hypothesen aufzustellen,
um so die Komplexität der Welt zu strukturieren.
Und einige erweisen sich als so wirksam, dass sie den
Rang von Gesetzen erhalten. So wie auf der Ebene des Kindes
die Ansammlung von wenigen Worten wie ‚maman‘
(Mutter), ‚maison‘ (Haus), ‚murier‘ (Maulbeer baum) und
‚michel (Michael) das Herauslösen des Konsonanten ‚m‘
erlaubt. Und wenn später das Kind bei dem letzten Wort
eines Satzes wie ‚Hier, je suis allê â la mer‘ (gestern bin
ich ans Meer gegangen) zögert, weiß es sehr genau, dass
es sich nicht um den Strand, das Land oder ein Fest handeln
kann, weil es mit einem Zeichen beginnt, dessen phonetischen
Wert es kennt ‘hier, je suis alle ä la mer‘ (gestern
bin ich zum Meer gegangen.) Dies ist also die Taktik des
(22) Ihr seht, wie alt diese Idee ist. Und trotzdem ist sie noch ganz frisch,
ganz neu, ganz erfrischend.
90 91

menschli chen Geistes: Im Angesicht des Chaos, das ihn
verunsi chert, versucht er Strukturen zu entdecken, die
ihm hel fen es ein wenig besser zu beherrschen.
Und genau gesagt, kümmert sich die Mathematik nur
um Strukturen. Oder noch genauer, sie ist Strukturierung
per se. Genau bei dem Bereich kann man am besten
das ‚natürliche‘ Funktionieren des menschlichen Wesens
durchdringen, das immer versucht, sich wirkungsvolle
Instrumente zur Beherrschung der Komplexität zu schaffen.
Wie sieht es nun in der Praxis aus? Wie oben bereits
angedeutet, habe ich ‘Erfindungshefte’ ausgegeben, die
ich jeden zweiten Tag wieder einsammelte. So konnte wenigstens
die Hälfte meiner Schüler täglich eine ihrer Erfindungen
an der Tafel wiederfinden. Bei größeren Abständen
zwischen den Erörterungen der Erfindungen hätten
die Kinder womöglich ihr Interesse verloren. „Wozu nützt
das, wenn ich etwas erfinde, wenn es doch für nichts ist?“
Wenn es aber den Zwang gegeben hätte, jeden Tag etwas
abliefern zu müssen, dann wäre der Druck auf die jungen
Schultern zu groß gewesen. Es wäre kein freier Text mehr
gewesen. Aber so wurde der Fluss durch die Regelmäßigkeit
aufrecht erhalten. Und wir hat ten sogar eine Überfülle
von Erfindungen, ohne dass ich jemals um irgendetwas
hätte bitten müssen.
Und so schrieb ich innerhalb von 2 Tagen eine Erfindung
von jedem Schüler an die Tafel. Man könnte mich
natürlich fragen, nach welchen Kriterien ich die Auswahl
getroffen habe. Am Anfang war ich vor allem bemüht, ein
möglichst großes Spektrum an Möglichkeiten aufzuzeigen.
Aber ziemlich schnell habe ich bemerkt: Wichtig ist
es überhaupt anzufangen!
Tatsächlich bin ich mir sehr schnell bewusst geworden,
dass meine Sicht der Dinge meistens viel zu kümmerlich
war. Denn bei dem Scharfsinn, den die Kinder
jetzt entwickelten, konnte man unmöglich vorhersehen,
was sich ereignen würde. So habe ich mir beim Anblick
eines einfachen Rechteckes mit Mittelachse und Diagonale
gesagt: „Das ist doch trivial. Damit werden wir uns
höchstens zwei Minuten aufhalten.“
Aber wir beschäftigten uns eine ganze Stunde damit.
Doch auch das Gegenteil kam vor. Bei manchen Konstruktionen
habe ich mir innerlich die Hände gerieben. Die
Enttäuschung kam prompt, das Gespräch darüber verlief
im Sande. Trotzdem musste irgendeine unendlich kleine
Spur erhalten geblieben sein, denn irgendwann kam jemand
unweigerlich darauf zurück. Aber niemals so, wie
ich mir das vorgestellt hätte. Glücklicherweise war ich bei
diesen ersten Versuchen hinreichend offen um alles aufzunehmen,
was vorgestellt wurde. Ich hatte gelernt Vertrauen
zu haben, und die Kinder zeigten mir den Weg!
Und es ist absolut sicher, dass wir alle davon profitieren:
Die Kinder auf der mathematischen, ich auf der pädagogischen
und didaktischen Ebene.
92 93

Beispiele mit 7-8 Jahre alten Schülern
Erste Erfahrungen
Kommen wir nunmehr zur genaueren Betrachtung der
Kindererfindungen. (23) Ein Bereich, der von den Kindern
besonders geschätzt wird, ist das Erfinden von Zeichen.
Ich habe mich gleich darüber gefreut: „Diese Aktivität
wird es uns ermöglichen, sehr schnell die Ziffern zu beherrschen.
Die Zeit wird wie im Fluge vergehen.“
Ich hatte zu jener Zeit noch eine alte und reaktionäre
Konzeption: Das ‚notwendige Wissen‘ erschien mir als
bittere Pille, die die Schüler schlucken sollten. Wäre es
nicht das beste, sie mit genügend Zucker zu umhüllen,
damit die Kinder sie ohne allzu viele Grimassen schnell
herunterschlucken könnten?
Es war wirklich so, als ob die Dinge unter die Lupe
genommen würden. Aber als ich später erfahren habe,
dass Piaget (sinngemäß) gesagt hat (fraget 1988, S.25):
„Verstehen heißt Wiedererfinden!“, da ist mir bewusst geworden,
dass meine Kinder genau das taten. Und in der
darauf folgenden Zeit habe ich gemerkt, dass sich dahin ter
etwas viel Fundamentaleres verbarg. Ich nehme den Satz
von Anaxagoras auf:
„Am Anfang stand das Chaos, dann kam der menschli che
Verstand, der Ordnung in dem Chaos schuf.“
Nun gut, jetzt weiß ich, dass Kinder, wenn sie sich in
(23) Präzisierungen: Rigide Lehrpläne stellen uns nicht vor Probleme. Die
Kinder, die am meisten motiviert sind, schlucken sie am schnellsten. Aber
in dieser neuen (kopernikanischen) Konzeption des Unterrichts kann sich
eine neue Dimension eröff nen: nämlich der Aufbau ihres Wissens durch
die Kinder selbst und dem genau passenden Beitrag der Lehrer zu diesem
sich ver mehrenden Wissen. Wenn dieses verallgemeinert würde, könnten
angemessene, weniger rigide Lehrpläne in Kraft treten.
einem Chaos von Fremdsprachen, von Zahlen, von Figuren
oder sonstigen Phänomenen befinden, ein künstliches
MODELL konstruieren. Bei den Sprachen z.B. baden
mei ne Schüler im Bretonischen ihrer Großeltern, im Englisch
der Matrosen-Väter, im Italienisch der Steinbruch-
Groß eltern, im Deutsch des Gymnasiums, auf das die älteren
Geschwister gingen. Und sie denken sich ihr ‚Japanisch‘
aus. Das heißt: ein Sprachmodell, das sie sich selbst
erar beitet haben.
Als ich sah, dass sie sich auf dieselbe Weise auch mathematische
Modelle geschaffen haben, begriff ich, dass dies ein
natürlicher Prozess des Lernens ist. (Wenn ich nicht dreißig
Jahre lang in den gleichen Altersstufen geblieben wäre, in den
Klassen mit mehreren Abteilun gen [1./2. Klasse, dann 1./2./3.
Klasse, schließlich 2./3. Klasse], hätte ich das niemals wahrnehmen
können.) Für die Pädagogik und Didaktik scheint mir
dies ein Punkt von größter Wichtigkeit, ein Hauptpunkt, ein
nahezu kopernikanischer Wendepunkt zu sein.
„Der Mensch lernt nicht, indem er Reize von der Umwelt empfängt.
Im Gegenteil, er wirft seine Hypo thesen und seine Theorien
wie ein Netz über die Welt.“
(Didier Eribon)
Der Bericht meiner Erfahrungen ist ein Auszug aus
einer vergriffenen Broschüre: ‚Eine Erfahrung mit freier
Mathematik im 2. Schuljahr‘ (Le Bohec 1967/68). Da
fan ge ich mit dem Ausdenken von Zeichen an.
94 95

Erfinden von Zeichen
Wir haben nach einem Zeichen für Nichtgleichheit gesucht
und - welch ein Zufall - drehten sich die Erfindun gen
alle um das offizielle Zeichen:
Ausgehend von dem Mund, der sich auf der Seite des
größten Kuchens öffnet, haben die Kinder dieses Zeichen
sehr gut behalten. Für die Multiplikation und die Divi sion
haben wir die klassischen Zeichen erhalten.
Erfinden von Ziffern
Man muss auf alles gefasst sein; so habe ich eines
Tages im Forschungsheft von Jacques den folgenden Einfall
gefunden:
Seine Ziffern beruhten auf den arabischen Ziffern.
Die anderen Kinder haben dies bemerkt und sich für eine
Weile ausschließlich damit beschäftigt.
Hier einige ihrer Erfindungen (die ersten Zahlen):
Patrice:
96 97
Remi:
J.F.:
Ich bedauere, dass ich hier nur einige Dokumente dieser
Untersuchung, dieser intensiven Erfindung von Ziffern
vorstellen kann.
Wir sind hierbei zu einer Schlussfolgerung von einem
beträchtlichen Niveau gekommen, dass nämlich gute Zeichen
einfach, schön und vor allem unterschiedlich sein
müssen.
Also hat jeder der zehn Schüler der 2. Klasse seine Ziffern
geliefert und wir haben die ‚Ziffern‘ der Klasse erhalten.
Hier sind sie:
Von hier aus haben sich verschiedene Wege angeboten.
Wir haben die arabischen Ziffern untersucht und ihre
Vortrefflichkeit anerkannt: Sie sind einfach, schön und unterschiedlich,
vorausgesetzt man schreibt sie gut. Ja, die
Menschheit hat gut daran getan sie anzunehmen.
Patrice ist vom gemeinsamen Weg abgewichen. Er
wollte eifrig sein: Er hat zwanzig verschiedene Ziffern
für die ersten zwanzig Zahlen erfunden. Aber die anderen
Kinder haben ihm klargemacht, dass er keine besonderen
Zeichen für 11,12,13, usw: benötigte, da er ja bereits 1,2,3
usw. erfunden hatte.
Jean-Frangois hingegen hatte Zeichen für die ersten
zehn Zahlen erfunden. Über die Kritik der Klasse begriff

er, dass er für die Zehn kein neues Zeichen zu erfinden
brauchte, weil es schon die Eins gab.
Es reichte aus, ein Zeichen für die Null zu erfinden. In
seiner Zehn musste man seine Eins wiederfinden. Damit
war bereits das Prinzip von Zahlensystemen angeschnitten.
Mehrere Kinder haben sich daran gemacht, die ersten
hundert Zahlen mit den Ziffern der Klasse aufzuschrei ben.
Dadurch wurde die Rolle, die die Zehner spielen, bewusst;
eine besondere Rolle, wie in dieser Reihe der Dreißiger
deutlich erkennbar ist.
Diese ‘Konstruktion des Nebeneinander’ ermöglichte
es uns zu erfassen, auf welchem Gesetz unsere alltäglichen
Zahlen beruhen. Das war eine Möglichkeit, so nebenbei
zu bestätigen, was im Vorjahr nur ziemlich konfus
wahr genommen worden ist. Mit einem Unterschied;
Dieses Mal haben die Kinder über ihre eigenen Ziffern
nachge dacht; das war offensichtlich viel anziehender und
er laubte, die alten Dinge unter einem völlig neuen Blickwinkel
zu sehen.
Diese Aktivität des Symbolisierens, die so aufregend
für den Verstand ist, scheint mir sehr interessant und sogar
unabdingbar zu sein. Durch tastende Versuche kann das
Kind diese Aktivität verstehen, denn durch das Symbolisieren
wird es zum Symbolisierer. Wenn das Kind
dies intensiv geübt hat, hat es keine Ängste mehr vor
den Symbolen der anderen. Das scheint mir ein Hauptpunkt
zu sein, denn ein Grund für eine Blockade in der
Mathematik sind oftmals die Zeichen: Sie stehen sozusagen
Schlange, und die letzten drängeln sich schon vor, ehe
die ersten wirklich ‚angekommen‘ sind. So entsteht ein
großes Durcheinander.
Wir müssen also zu einer Entmystifizierung der Symbole
kommen. Um dabei zu helfen, schreibe ich manchmal
die Namensliste meiner Schüler auf folgende Weise
an die Tafel:
Wir haben an diesem Beispiel, dem Erfinden von Zeichen
und Ziffern, gesehen, dass man alles von den Kindern
akzeptieren kann und dass ihre Erfindungen fast
immer zur Entdeckung interessanter Möglichkeiten und
Berei che führen.
Der Kalender
Wir hatten einen Abreißkalender. Jeden Tag nahm das
Kind, das in dem betreffenden Monat das ‚Kalenderamt‘
inne hatte, ein Blatt ab und heftete es an ein Anschlagbrett.
98 99

Januar
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31
Am Anfang hatten wir die Monate Oktober, November
und Dezember horizontal so wie beim Monat Januar angeheftet:
1-2-3 usw.
Aber um nicht immer dasselbe zu machen, haben wir
ein anderes Anheftsystem auf der Sperrholztafel eingeführt.
Das hier ist der Monat Februar.
1 8 15 22
2 9 16 23
3 10 17 24
4 11 18 25
5 12 19 26
6 13 20 27
7 14 21 28
Bisher dominierte das ‚Januar-System‘ (als horizontale
Präsentation). Man braucht immer etwas Dominierendes,
denn man benötigt einen zuverlässigen Bezugspunkt.
Wenn nämlich ein Gleichgewicht zwischen horizontaler
und vertikaler Präsentation bestünde, gäbe es keinen Bezugspunkt
mehr, sondern nur noch Verwirrung. Und deshalb
blieb der Monat Januar dauernd angeheftet. (Es hätte
ebensogut der Oktober oder Dezember sein kön nen.)
Aber die Einführung des ‚Februar-Systems‘ eröffnet
die Möglichkeit einer anderen Ausstellungsweise. Man tut
gut daran diese Saat auszusäen, weil es die Kinder daran
hindert, endgültig auf ein System festgelegt zu sein. Es
ist sinnvoll, eine zweite Möglichkeit einzuführen, weil im
Alltag beide Darstellungsformen unterschiedslos präsentiert
werden und sich beide Sichtweisen ergänzen.
Aber es gab auch andere Systeme. Hier diejenige, die
Patrice für den Monat März wollte:
Erste Feststellung:
Man hätte bis zum April warten sollen, dann wäre es
vollkommen symmetrisch gewesen.
Zweite Feststellung:
Links kann man die steigende (und fallende) arithmeti sche
Folge zweiter Ordnung sehen:
mit den Differenzen:
Und rechts ist es das gleiche:
mit den Differenzen:
Außerdem steht da noch:
Das kennen wir doch! Wir können sicher sein, dass die
Kinder diese Folge der Quadratzahlen entdeckt hätten,
wenn man diese Präsentation immer an der Tafel gelassen
hätte.
100 101

Für den April wollte Robin das Fünfer-Quadrat haben.
Dennoch konnte man aber weder das Quadrat der 4 noch
das der 3 bilden. Sondern nur das der 2 und das der 1:
5 2 + 2 2 + 1 2 = 30
Für den Monat Mai hat Pierrick gesagt:
„Wir werden zuerst das Quadrat der 1 anheften, dann
das Quadrat der 2, dann das der 3 und so weiter bis zur
10.“ Aber wir haben gesehen, dass man gar nicht so weit
kommt. Es ergab:
1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 1 2 = 31
Auch hier wäre es im April besser gegangen:
1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 30
Das wäre klarer gewesen.
Im Juni gab es folgendes:
Beim Erforschen dieser Struktur haben wir entdeckt, dass
eine Teilsummenfolge ist:
usw. (24)
Pierrick untersuchte gründlich folgenden Kalender:
Dann sagte er:
„Das ist es! Ich habe etwas entdeckt. 8 ist eine ganze
Reihe und 1 dazu.”
Patrice fuhr fort:
„15, das sind 2 Reihen von der 7 plus 1
22, das sind 3 Reihen von der 7 plus 1
29, das sind 4 Reihen von der 7 plus 1“
Und ich frage dann: „Und 1?“ Die Antwort lässt nicht auf
sich warten:
„Das sind 0 Reihen von der 7 plus 1“
Wir nehmen jetzt die Cuisenaire-Stäbe und messen mit
dem schwarzen Siebener-Stab 8, 15, 22, 29 ab. Und jedes
Mal sehen wir, dass ein kleines weißes Stück übrig bleibt.
(24) In der Zahlentheorie als Dreieckszahlen bekannt.
102 103

Es ist also die Familie ‘Rest 1, wenn man in siebener
Schritten abmisst. Oder auch, um einen ‚modernen‘
Ausdruck zu gebrauchen, die Restklasse 1 (mod 7), gesprochen:
‚Restklasse 1 modulo 7‘. Oder man kann auch
sagen:
Das ist die Klasse ‘Rest 1’ oder ‘Klasse r 1 ’.
2-9-16-23 sind dann entsprechend aus der Restklasse 2
(mod 7) oder aus r 2 (mod 7).
Wie man sieht, sind das alles Dinge aus dem täglichen
Leben. Es genügt die Augen zu öffnen, um sie zu sehen.
Ein Kennzeichen der Freinet-Pädagogik ist, dass man
alles, was man im Mathmatikunterricht braucht, draußen
im Leben findet.
Wenn Sie zum Beispiel zur Post gehen und daran vorbeigehen
ohne sie zu beachten, weil Sie zerstreut sind,
dann müssen Sie den Weg wieder zurückgehen, um Ihren
Brief in den Briefkasten zu werfen. Sie befinden sich dann
mitten in der Addition von Vektoren.
Aber dadurch, dass die Woche als eine Einheit im Kalender
stark herausgestellt wurde, kommen wir von ganz
allein zur Basis 7. (25) Daraus ergeben sich:
Die nicht- dezimalen Zahlensysteme
Man kann sie über den Kalender angehen, weil er
Teil unseres Lebens ist. Aber es gibt andere Dinge, die
eben falls interessant sind, zum Beispiel das Fischen von
Seeohren.
Die nicht dezimalen Zahlensysteme sind leicht. Es ist
(25) Wir wissen, dass das Wort ‘semaine’ (Woche; altfranzösisch:
sepmaine, italienisch: settimana) aus dem Kirchenlatein kommt: septimana
- weibliche Form von septimanus: zur Sieben gehörig.
sogar kinderleicht, weil die Kinder sie sehr gut lernen.
Besser als die Erwachsenen, die so sehr auf das Dezimalsystem
konditioniert sind, dass sie den Kopf verlieren,
wenn sie aus ihrem Käfig herauskommen sollen. Man
kann ohne Gefahr mit diesen Systemen spielen, weil man
einen verlässlichen Bezugspunkt durch das Leben besitzt:
das Dezimalsystem. Es löst sich nicht plötzlich auf. Es
ist gut, wenn die Kinder sich in allen Zahlensystemen zu
Hause fühlen. Das ist leicht, wenn man vom Leben ausgeht.
Müssen sich übrigens nicht auch die kleinen Engländerinnen,
die Kanadier und die Amerikaner in ihrem
Leben damit befassen? Aber in Frankreich ist es besonders
leicht, wenn man vom Fischen nach Seeohren oder
nach Austern zurückkommt.
Man breitet das Gepflückte auf dem Tisch aus. Man hat
zum Beispiel 36 Seeohren. Man macht lauter Dutzende
daraus. Und das ergibt:
Man hatte drei Zehner und 6 einzelne Seeohren und
macht daraus 3 Dutzend und Null. Man kann an die Tafel
schreiben:
Folglich schreibt man 36 als 30 im Zahlsystem mit der
Basis 12. (26)
(26) Das ist eine Schreibweise, die ich erfunden habe. Ich glaube, man
müsste eigentlich 3012 schreiben, womit 30 im 12er System gemeint ist.
104 105

Wenn man 65 Minuten hat, dann gibt das:
oder
Also schreibt man 65:
Kommen wir auf den Kalender zurück:
Wenn der Monat 4 Wochen und 3 Tage hat, kann man
schreiben:
Im Dezimalsystem schreibt man vereinbarungsgemäß
ohne Angabe der Basis, also 31 und nicht:
Und der Kalender, der vertikal geordnet ist, ist noch bes ser
lesbar für das Siebenersystem, weil die Wochen und die
Einzeltage genau ihrem Platz haben.
Das macht:
Das sind:
Diese Feststellung ist sehr interessant, weil die Kinder,
die eine Hundertertafel in vertikaler Anordnung erfin den,
besser verstehen, warum dann da steht:
106 107

Und das erlaubt ihnen, die Hundertertafel in horizontaler
Anordnung noch besser zu verstehen. Man muss das Zahlensystem
der 10 entmystifizieren und darf nicht glauben,
dass es vom Himmel gefallen oder gar ein Geheimnis sei.
Übrigens kann man in den Zahlensystemen reichlich herumprobieren
lassen; denn handelt es sich dabei nicht um
die Division?
„Nein, die Division für die Wochen, die geht so“: (27)
„Ja, gewiss, aber wir haben gesehen, dass es auch so geht:
Und auch dieses:
ist die Division.“
(27) Die französischen Abkürzungen haben folgende Bedeutung: D :
Dividend, d : Divisor, q : Quotient, r : Rest (Anm. d. Übers.)
Dann beruht also das Dezimalsystem auf der Division?
Aber ja! Und es ist sogar, scheint mir, die Division einer
Zahl durch die Potenzen von 10:
Natürlich kommt man schnell zur Stellenwerttafel mit 3
Spalten, mit 4 Spalten usw.
Das ergibt: und
Erklärung:
Das Probieren ist sehr interessant. Man muss dabei
viel dividieren, und der ‘Rest’ erhält dabei einen neuen
Stellenwert.
Ich will das hier nicht weiter vertiefen; nur noch zwei
kurze Anmerkungen:
1. Für uns ist es ganz klar, dass 1969 so aussieht:
2. Die Kanadier benutzen in ihrem Alltag das duale
System:
108 109

Zahlenfelder
Die Arbeit mit den Zahlenfeldern war eine Offenbarung
für mich. Nie hätte ich so etwas gedacht! Sie beweist,
dass Kinder ein beachtliches Defizit an Lernzuwachs
haben, wenn der Lehrer sich darauf beschränkt das anzubieten,
was er weiß, und der Gruppe nur erlaubt, sich
aus schließlich auf den ausgetretenen Pfaden zu bewegen,
die er kennt. Man zieht also großen Nutzen daraus, wenn
man der kindlichen Kreativität vertraut, die glücklicherweise
über die des Lehrers und dessen enge Grenzen hinausgeht.
Eines Tages erhalten wir von Serge aus Buzet (9 Jahre) ein
Erfinder-Heftchen über Rechtecke. Die Kinder haben sich
diese Idee sofort zu Eigen gemacht und angefangen mit
Rechenkaros zu experimentieren. Und als Jacques plötzlich
Zahlen hineinschreibt, beginnt das vielschichtige und
originelle Abenteuer mit den Zahlenfeldern.
Wir haben diese Erfindung von Jacques untersucht und
haben herausgefunden, dass es die Spalte der ungeraden
und die Spalte der geraden Zahlen gab. (Das Auspro bieren
mit geraden und ungeraden Zahlen gefällt den Kindern
sehr.)
Das hier hat Robin gemacht: Er hat die hundert ersten Zahlen
aufgeschrieben, als ob er eine Hundertertafel anfertigen
wollte, und er hat alle Felder mit geraden Zahlen rot angemalt.
Und das ergibt lauter weiße und rote Streifen.
Vollkommen zufrieden mit seinem Erfolg fängt Robin
noch einmal an.
Aber dieses Mal sind es 36 Felder.
Man sieht, es ist einfach, die Anordnung nach geraden
und ungeraden Zahlen ergibt ein Streifenmuster.
Christian ist von der Schönheit der Erfindung von Robin
angezogen und springt auf den Zug, der von Jacques ins
Rollen gebracht worden ist. Und was entdeckt man plötzlich?
Die Struktur des Schachbretts.
110 111

Wie ist das möglich?
Also, bei dem Quadrat ‘10 mal 10’ und dem Quadrat ‘6
mal 6’ sind die geraden Zahlen in Streifen angeordnet.
Hier ist das anders. Eine offene Frage steht im Raum, aber
noch weiß keiner eine Antwort; wenigstens nicht sofort:
„Warum ist das so?“ Der Lehrer schweigt.
Dann hat Robin dieses erfunden:
Beim Betrachten dieser Erfindung entdeckt man, dass es
mit einem weißen Feld beginnt und mit einem roten aufhört,
weil die Paare (weiß-rot) genau aufgehen. Und überhaupt:
Die Paare, die kennt man schon, weil man ja schon
mal die Cuisenaire-Stäbe in den Fingern hatte.
oder 3 ( b + r ) = 3 ( r + b )
[b: blanc (weiß), r: rouge (rot) ]
Welch außergewöhnlicher Zufall! Hier haben wir weitere
„weiß-rote“ Paare, die sich am 15. Februar mit den
Paaren verknüpfen, die wir am 15. Oktober entdeckt
hatten.
Wir haben bemerkt, dass es für das ‚7 mal 7‘ Quadrat
von Christian drei vollständige Paare gibt und dass eines
übrig bleibt. Das vierte Paar ist in zwei Teile aufgeteilt,
während für 6 und 10 die Paare ganz bleiben. Und nun?
Also, wenn die obere Reihe eine gerade Anzahl von
Kästchen enthält, dann erhält man Streifen, und wenn es
eine ungerade Anzahl ist, hat man ein Schachbrett, weil
derjenige, der allein übrig bleibt, die ganze nächste Reihe
durcheinander bringt.
Aber in Christians Konstruktion steckte noch mehr.
Und so haben Robin und Michel sofort losgeschrien:
„Aber Herr (28) ..., die Erfindung von Christian ist das
gleiche wie beim Kalender. Das ist genauso.“
„Wie das?“
„Weil es in der ersten Reihe des Kalenders auch 7 Blätter
gibt.“
„Ach ja, das ist richtig.“
Und die Kinder entdecken, dass auch hier, wie beim
Kalender, die 8 unter der 1 steht, weil es eine Reihe ‘plus
V ist.
(28) In Frankreich reden die Schüler ihre Lehrer lediglich mit ‚Monsieur‘
und ihre Lehrerinnen mit ‚Madame‘ bzw. ‚Mademoiselle‘ an. (Anm. d.
Übers.)
112 113

Wir finden die Äquivalenzklassen wieder: 8-15-22 sind
aus der gleichen Restklasse 1 (mod 7) bzw. repräsen tieren
die Klasse r 1 (d.h., bei Division durch 7 bleibt der Rest 1).
Man kann dazu schreiben: 1 = 8 = 15 = 22 (mod 7)
Das bedeutet:
1 ist äquivalent zu 8 ist äquivalent zu 15 ist äquivalent
zu 22 unter (mod 7).
Wir finden hier genau das wieder, was wir schon beim
Kalender herausgefunden hatten.
Man sieht, dass man sich nicht angespannt darum bemühen
muss, dass die Kinder sich etwas einprägen, denn
es ergeben sich immer wieder Verknüpfungen mit den
alten Erkenntnissen, wenn man einfach weitergeht.
Und ich prophezeie, dass man sich bald damit begnügen
wird einfach weiterzugehen, ohne jemals zu versuchen,
die Dinge in die Köpfe hineinzupressen. Am Ende einer
solchen vier Grundschuljahre andauernden Erfahrung
wäre die Ausbeute, mit der man in die 5. Klasse übergehen
könnte, riesig. (Und warum fährt man nicht später in
Sekundarstufe I und Sekundarstufe II mit dieser kontinuierlichen
Reorganisation des erworbenen Wissen fort?)
Hier ein Beispiel eines Zahlenfeldes.
Die Klasse r1, dazu gehören 1-5-9-13 (Restklasse 1
(mod 4)).
Die Klasse r2 , dazu gehören 2-6-10-14
(Restklasse 2 (mod 4)), die hat sich Fanfan ausgedacht.
Die Klasse r3, dazu gehören 3-7-11-15, hat sich Patrice
ausgedacht.
Die Klasse r0 (von Robin), das ist 0-4-8-12-16.
Die Kinder brauchen nicht lange, um ein Gesetz dieses
Zahlenfeldes zu entdecken: Die Klasse r0 ist immer am
Ende.
Zum Beispiel: Für r6 gehören: 0-6-12-18-24-30-36 zur
Restklasse Null (mod 6), weil die obere Reihe voll ständig
ist und danach nichts mehr folgt.
Analog hat man oben in dem ‘4 mal 4’- Quadrat eine
Reihe von 4, das macht 4. Zwei Reihen, das macht 8 usw.
Ich sage den Kindern, dass die Klasse r0 einen besonderen
Namen hat, es ist die ‚Klasse der Vielfachen‘. Hier
sind die Vielfachen der 4: 0-4-8-16 und hier sind die Vielfachen
der 6 : 0-6-12-18.
Jacques sagt dann:
„Ich habe es verstanden, man fängt immer mit der Null
an.“
Nun folgt das große Abenteuer mit den Vielfachen, das
auch denjenigen Lehrern, die großen Wert auf die Multiplikationstafeln
legen (was bei mir nicht der Fall ist),
Freude gemacht hätte.
Bestimmte Kinder stoßen bis zu den Vielfachen von
12, von 16, von 19 usw. vor, nichts kann sie aufhalten.
Aufschlussreich ist die Tatsache, dass all dies von ihnen
114 115

selbst kommt und dass sie mit rasendem Eifer arbeiten.
Man sieht, wie wir von der Halbierung der Rechtecke
von Serge zu den Zahlenfeldern, zu den geraden und ungeraden
Zahlen sowie zu den Vielfachen gekommen sind.
Aber jetzt kommen wir noch einmal zu unseren letz ten
Entdeckungen zurück:
„Halt, das ist doch das, was Jacques gemacht hat.“
„Halt, 2-4-6-8 sind doch Vielfache von 2.“
„Und 1 - 3 - 5 - 7 ?“
„Das ist r1, die Klasse von Jacques, die Restklasse 1
(mod 2).“
Während der ganzen Zeit geht die Entwicklung wei ter.
Bleiben wir bei den Zahlenfeldern stehen? Keine Angst,
bald werden wir in ganz andere Bereiche vor stoßen. Aber
fürs Erste malen die Kinder ihre Streifen waagerecht an
und schreiben keine Zahlen mehr hinein.
Jemand fragt:
„Wie viele Quadrate sind das ?”
„Sucht doch selbst!“
„Nun gut! 12 Quadrate in der obersten Reihe. 5 Streifen,
das macht 60.“
„Ja, weil man 5 mal 12 gleich 60 (5 • 12 = 60) sagen
kann.“
So haben sie selbst, ohne dass irgend jemand sie gefragt
hätte, die Formel Für die Berechnung der Fläche des
Rechtecks gefunden.
Am Anfang meiner Lehrertätigkeit machte ich eine
einmalige Einführung in ein Thema. Anhand einer einfachen
Demonstration, die in meinen Augen wirklich einleuchtend
war, mussten die Kinder es verstanden haben.
(Wer an diesem Tag nicht da war, hatte halt Pech gehabt.)
Jetzt dagegen meine ich, dass sie es erst nach unzähligen
Versuchen vollständig geistig verarbeitet und gelernt
haben.
Aber nun zu Patrice. Er macht ein Zahlenfeld, das über
beide Seiten seines Mathematikheftes geht. Und die ses
Mal verwendet er keine Farbe.
Robin folgt ihm auf dem Fuße: Er füllt ein Blatt mit
einem Zahlenfeld aus. Er rechnet: 20 Streifen ä 33, das
macht 660 Karos.
Ich kann es nicht fassen: 660 Karos auf einer einzigen
Seite!
Aber man muss sich von den Tatsachen überzeugen
lassen.
Natürlich kann ich 20 • 33 = 660 ausrechnen. Aber ich
wusste nicht, was das in der Realität bedeuten konnte, weil
ich nur im Abstrakten gearbeitet habe. Aber die Kinder,
die wissen, was 20 mal 33 Karos bedeutet!
Da wir das Rechenblatt jetzt ohne farbige Kennzeichnungen
betrachten, können wir die Kommutativität der
Multiplikation entdecken, indem wir auch die senkrechten
Reihen anschauen.
116 117

So gibt es einen Fortschritt in Richtung Abstraktion,
weil wir auf die Hilfe der Farbe verzichten.
Eines Tages werden wir das reine Rechteck in seiner
ganzen Einfachheit erreichen. Es kann sein, dass die Formel
‘A = a • b‘ so bereits während der Grundschul laufbahn
des Kindes eingeführt wird. Aber das geschieht ohne jeden
Schaden, weil es vorher ein doppeltes tasten des Versuchen
gegeben hat: Versuche mit Symbolen und Versuche mit
Rechtecken. Und dann kann das Gesetz vollständig akzeptiert
und verinnerlicht werden.
Ich habe geschummelt. Robin hat mir nicht 20 Reihen
mit 33 gezeigt, sondern 19 Reihen mit 33. Ich hatte gedacht,
dass das über seine Kräfte ginge, und ich habe ihm
gesagt, er solle die Linien verlängern um eine zwan zigste
Reihe zu haben. Dann konnte er rechnen: 10 • 33 und dann
20 • 33.
Aber jetzt finde ich in seinem Heft:
Ich rufe aus:
„Was? Du kennst diese Operation mit zweistelligen
Zahlen?“
Eigentlich haben wir sie nur einmal auf die Schnelle gesehen,
als Patrice mich gefragt hat, wie man das macht.
„Ja, ich hatte das verstanden und jetzt mache ich damit
weiter.“
Und dann hat er gesucht:
Natürlich haben einige Mitschüler es sofort selbst versucht,
so dass wir aufgehört haben, uns mit den Zahlenfeldern
zu beschäftigen.
Nun ist der Moment gekommen, die Rolle des Lehrers
näher zu betrachten. Anstatt die Herde mit allen Kräften
auf der Weide der Zahlenfelder festzuhalten, die doch so
reich ist, lässt er sie gehen. Braucht man dazu ein Übermaß
an Unbekümmertheit? Aber nein! Er weiß jetzt, dass
sie darauf zurückkommen werden, wie wir auf die geraden
und ungeraden Zahlen (im Zusammenhang mit der
Restklasse (mod 2)) zurückgekommen sind.
Mit der Arbeit von Serge aus Buzet haben wir begonnen
und dann sind wir (ohne das zu wiederholen, was
er gemacht hat) nacheinander auf das Schachbrett, die
geraden und ungeraden Zahlen, die Äquivalenzklassen,
die Viel fachen, die Moduln, die Paare, die Streifen, die
Zahlen felder, die Fläche des Rechtecks gekommen, und
jetzt sind wir bei der Multiplikation. (29)
(29) „Das Wichtige“, sagt Machery, „ist, dass die Ordnung, die die
Wissenschaft aufstellt, immer vorläufig ist. Sie muss immer weiter bearbeitet
werden, indem man sie mit anderen Arten von Ordnungen konfrontiert.
Dieses Fortschreiten von einer Ordnung zur anderen, das durch
aufeinander folgende Abbruche gekennzeichnet wird, ist das, was den
Prozess des Wissens definiert.“
118 119

Ich möchte noch kurz erwähnen, dass wir auch die
Gelegenheit hatten uns die Potenzen anzusehen, weil einige
Kinder die Flächen mehrerer Quadrate ausrechneten.
Ich sagte ihnen nebenbei, dass es Potenzen wie diejenigen
seien, die wir am Anfang des Jahres kennengelernt
hatten.
Aber niemand hat sich dafür interessiert, niemand hat
hierbei innegehalten. Ich habe nicht weiter nachgehakt,
weil ich jetzt Vertrauen habe: Ich weiß, dass es auch in
Zukunft Rückblenden geben wird.
Sachprobleme
Angesichts mancher Problemformulierungen (bei Sachaufgaben)
empfinden zu viele Kinder oft unüberwindbare
Schwierigkeiten. Es kommt natürlich daher, dass man notwendige
Lernschritte überspringen wollte.
Die Kinder müssen immer unvermittelt in die Formulierung
und in den Gedanken einer anderen Person einsteigen,
die übrigens immer ein Erwachsener ist. Man
nimmt immer noch nicht die erste Stufe der natürlichen
Methode zur Kenntnis, die heißt: Die eigene Praxis ist
unabdingbar!
Ebenso, wie man durch Symbolisieren zum Symbolisierenden
wird und sich so in der Welt der Symbole wohl
fühlt, wird man durch Berichten zum Bericht erstatter und
dringt in die Beschreibung der Probleme der anderen ein.
Aus diesem Grunde unterscheiden wir (bei Sachaufgaben)
vier Bereiche von tastenden Versuchen:
• die Informationen,
• die Fragen, die man sich stellen kann,
• das Lösungsverfahren, das man einsetzt, und
• die Antworten, die man erhält.
Man kann es auch anders sagen. Ein Bericht ohne
Zahlen ist eine Geschichte. Mit Zahlen wird es eine verschlüsselte
Geschichte. Aber das ist an sich noch kein Problem.
Damit es ein Problem gibt, braucht man eine oder
mehrere Fragen. Dann bleibt nur noch, sich das Mittel
auszudenken, um die Antworten zu finden. Wenn man
sich die Aussagen der Kinder anschaut, kann man vier
Fehlerbereiche finden: unzureichende Information, unpassende
Fragen, falsche Lösungsverfahren, nicht adä quate
Antworten.
Manche dieser Beschreibungen decken sehr gut die
Persönlichkeit des einzelnen Kindes auf. Zum Beispiel
die Geschichten von Patrick (2. Klasse, 7 1/2 Jahre). Seine
Problembeschreibungen sind tastende Versuche, und er
lacht als erster über ihre Unvollkommenheit. Die ganze
Klasse lacht mit, und eine gelöste Stimmung breitet sich
aus. Aber das ist nicht der einzige Erfolg von Patricks
Beschreibungen.
Doch schenkt uns nicht jede Blume Honig? Diese Arbeit
ist besonders dann ergiebig, wenn man von den eigenen
Erfahrungen und Erlebnissen ausgeht. Wenn Patrick
mathematische Probleme beschreibt, dann müs sen auch
wir von ihnen ausgehen, damit er Fortschritte machen
kann. Also müssen wir seine Erfindungen und seine Gedanken
bearbeiten.
„Ich habe ein Glas, ich zerbreche es, ich muss ein anderes
kau fen.“
Wir diskutieren und wir schreiben: 1 - 1 + 1 = ?
Um die Antwort zu finden, reicht die Wahrnehmung
120 121

aus, dass hier durch eine Bündelung (1-1) eine Null
entsteht.
Antwort: (1 - 1) + 1 = 1.
„Ich habe eine Dose mit einem Loch. Ich fülle Wasser hinein.
Das Wasser kommt durch das Loch heraus.“
Unzulängliche Information: „Aber wie viel Wasser
tust
du hinein?”
„1 Liter.“
„Ja gut. Also das macht: 1-1=0 oder 0 + 1 - 1 = 0
Dies träfe ebenso auf eine viel höhere Anzahl von
Litern zu.”
„Ich habe einen Hund. Ich verkaufe ihn. Es bleibt nichts
übrig.“
1-1 = 0
„Ich habe eine Katze. Sie frisst Mäuse.“
Unzureichende Informationen: Wir können auch nicht
mehr herausbekommen, weil er darüber nicht mehr weiß.
Dass sich die Problemsituationen von Patrick auf
so kleine Zahlen beziehen, ist nicht weiter wichtig. Das
Wichtige ist vielmehr, dass auf diese Weise der Begriff der
gebenüber-liegenden (negativen) und der neutralen Zahl in
der Addition und Subtraktion angesprochen und letztlich
verstanden wird. Aber nein, das ist nicht das Wesentliche!
Das Allerwichtigste ist, dass Patrick so viel Spaß daran
hat, seine Beschreibungen vorzustellen. Sein größter Erfolg
und die Quelle seiner Freude ist es, wenn er seine Mitschüler
dazu bringt, Tränen zu lachen. So sorgt er für ihre
geistige Gesundheit.
Den Clown braucht er nicht zu spielen. Er ist ein Clown.
Er hat wenig Sinn für Realität und versteht nicht viel von
dem, was in den Mathematikstunden abläuft. Eigentlich ist
er ein sehr gestörtes Kind. Er ist Links händer und schrieb
zunächst sogar in Spiegelschrift (30) . Die Beziehung zu seiner
Mutter ist sehr schwierig: Sie kann sich nicht bei ihm
durchsetzen, da er andauernd nur höhnisch lachend davonläuft,
wenn sie etwas von ihm will. Auch mir macht er
Kummer, weil er nichts lernt. Und so setze ich ihn an die
Rechenkartei, mit der er eini ge kleine Fortschritte machen
kann. Aber er möchte gerne an den Besprechungen teilnehmen,
die seinen Freunden so gut gefallen. Und damit er
das darf, erledigt er seine Mindestzahl an Karteikarten.
Wird er so aus seiner extremen Konfusion herauskommen?
Ich bin sicher und habe auch schon erste Fort schritte
beobachten können.
Zunächst bildet sich ein solides Fundament, das zwar
nur aus wenigen Elementen besteht, aber fest im Boden
verankert ist. Sobald er diesen Boden unter seinen Füßen
spürt, kann er auf Entdeckungsreisen gehen. Außerdem
ist er ja nicht allein. Seine Mitschüler stehen auf ganz
unterschiedlichem Leistungsniveau. Einige sind höchstens
einen Schritt weiter als er. Sie werden vielleicht
sei ne Aufgabe mit dem kaputten Glas aufgreifen und die
(30) Nebenbei möchte ich darauf hinweisen, dass ich von Patrick in dem
Buch ‚La Méthode Naturelle, III. Aprentissage de l’E’criture’ (Freinet
1968) gesprochen habe.
Er, ein totaler Linkshänder, schaffte es, mit der rechten Hand zu schreiben,
und das nur, weil das erste Auto seines Vaters den Schaltknüppel auf
der rechten Seite hatte. Er träumte davon, eines Tages damit zu fahren,
und wollte deshalb schon jetzt damit anfangen seine rechte Hand zu
trainieren. Offensichtlich hatte er zusätzliche Energien und eine besondere
Willensstärke. Wie konn te diese zu seinem Vorteil auf das Lernen
umgelenkt werden?
122 123

Fragestellung auf viele Gläser erweitern. Dann macht er
sich vielleicht ihre Fragen zu eigen und kann seine ausgefahrenen
Wege verlassen.
Darüber sollte man nachdenken, da es vielen Kindern
ähnlich geht. Wie viele Kinder (gerade in großen Klassen)
haben keinen Boden mehr unter den Füßen und werden
permanent mit Beschreibungen traktiert, mit denen sie
nichts anfangen können, weil sie niemals einen eigenen
Schritt auf dieses unbekannte Gebiet hatten wagen können?
Wenn es um die Formulierung von Problemen bei
Sachaufgaben geht, muss man immer wieder probieren.
Hier zwei Beispiele für unvollständige Formulierungen:
„Ich will von Tregastel und nach he Havre gehen. Und
von Paris. Wie viel?“
„Ich habe einen Garten von 60 m Länge.“
Aber die meisten Überraschungen gibt es bei den
Lösungsversuchen.
Hier ein freier mathematischer Text von Patricia, den
mir jemand gezeigt hat:
„Wir müssten eigentlich 26 sein, weil Christelle weg ist.
Aber mit den vier Neuen sind wir 21.
26 + 25 + 21 = 72“
Man könnte sagen, dass das kein Problem ist, weil
dabei keine Frage auftaucht. Es handelt sich hier eher um
eine Aufzählung. Aber was einen wirklich vor Probleme
stellt, das ist die Rechenoperation.
So etwas passiert oft mit Kindern, die die Maske des
Schülers aufsetzen und versuchen, das (gekünstelte) Spiel
‚Schule‘ zu spielen, indem sie mit Zahlen operieren. Sie
tun genau das, was Schule von ihnen fordert. Wirklich?
Nein, sie reproduzieren das, was sie bei den ersten mathematischen
Problemstellungen erfahren haben. Der Mathematikunterricht
ist so aufgebaut, dass man in Stufen voranschreiten
und vom Einfachen zum Komplizierten gehen
muss. Deshalb bekommen die Kinder zuerst Aufgaben,
die nur eine einzige Addition erfordern. Und was macht
es schon, wenn es ein fiktives Problem ist? Schließlich
genügt es doch, die Zahlen, die in der Sachbeschreibung
enthalten sind, einfach zu addie ren, um das richtige Ergebnis
zu erhalten. Wie sollen die Kinder erkennen, dass
das nicht immer so weiter funktio nieren kann?
Glücklicherweise hat uns Célestin Freinet darauf aufmerksam
gemacht, dass man in die Komplexität eintauchen
muss, um die Komplexität zu beherrschen. Man kann
nämlich nicht sofort schwimmen, wenn man gelernt hat,
die Schwimmbewegung im Trockenen auf einem Hocker
zu machen. Aber wie kann man den Kindern hel fen, aus
diesem schematischen Funktionieren herauszu kommen?
Anscheinend baut sich Patricia kein eigenes geistiges
Abbild der beschriebenen Situation auf, die es ihr ermöglichen
würde, diese zu begreifen. Sie beschränkt sich darauf,
in ihrem Kopf die verschwundene Christelle, die vier
Neuen sowie die Mitschüler, die bereits im vorhergehenden
Schuljahr in der Klasse waren, zu sehen. Die von ihr
nicht verarbeitete Realität benutzt sie, um eine erstaunliche
Theorie auszuarbeiten:
21 + 25 + 26 = 72
Wie hätte ich persönlich in einer solchen Situation reagiert?
Ich bin überzeugt, dass das von den Umständen und
von meiner Eingebung abhinge. Ich wäre von der momentanen
Situation ausgegangen, das heißt von dem, was sich
124 125

aus den Reaktionen der Gruppe entwickelt hät te. Wenn
ich zum Beispiel gemeint hätte, es wäre Zeit, die Realität
genauer ins Auge zu fassen, dann hätte ich mich damit
auf Bachelards Aussage gestützt, dass die Realität nur zur
Überprüfung unserer Entwürfe diene.
Ich hätte dann zweifellos, ohne mit der Wimper zu zucken,
gesagt:
„Gut, es gibt 72 Schüler in dieser Klasse.“
Wahrscheinlich hätten die Schüler, die gewohnt waren,
die Worte ihres provozierenden Lehrers nicht für bare
Münze zu nehmen, so reagiert:
„Aber nein, das stimmt nicht, wir sind nicht 72 Kinder
in der Klasse.“
„Trotzdem, 21 + 25 + 26, das macht 72.“
„Ja.“
„Was nun?“
Und ich hätte sie in ihrem Saft schmoren lassen. Denn
eine Erklärung wäre unnütz oder zumindest verfrüht gewesen.
Sie selbst mussten entdecken, dass die Zahlen 21,
25 und 26 zwar der Realität entsprachen, dass aber die
Operation nicht zutreffend war.
Auf jeden Fall hätte ich die Autorin gegenüber jedem
herabsetzenden Urteil in Schutz genommen.
„Es ist nicht nur ein freier Text, den Patricia gemacht
hat, sondern es sind zwei. Im zweiten hat sie einfach spaßeshalber
eine Operation mit den Zahlen 21, 25 und 26
gemacht. Sie ist frei, das zu schreiben, was sie mag.“
In einem anderen Fall hätte ich es vielleicht für notwendig
erachtet, erneut an der Veranschaulichung zu
arbeiten:
„Halt, dein Text interessiert mich! Lies ihn mir noch
einmal vor, Patricia, wenn du willst.“
„Gut, ihr wart 26:
Und dann ist Christelle weggegangen:
In eurer Klasse gibt es vier Neue.”
So mache ich es, wenn ich klarer sehen will. Aber
manchmal gehe ich auch anders vor:
126 127

Ihr wart
Natürlich wäre dann mein Beitrag nur gering und sehr
knapp gewesen. Aber vielleicht hätte sich ein Teil davon in
irgendeiner Gehirnecke eingenistet. Und wenn nicht, dann
ist es auch okay! Ich hätte eben daneben getroffen. Und
das nicht das erste Mal.
Aber ich hätte eine Rolle gespielt, die es den Kindern
erlaubt, sich gegenseitig etwas beizubringen; denn Belehrungen
aktivieren unseren Verstand nicht. Erst, wenn man
etwas selbst erklären kann, dann hat man es verstan den.
Rechnen mit Unbekannten
Das hätte ich nicht erwartet: Jacques hat mit seinen Additionen
das Rechnen mit Unbekannten eingeführt. Diese
einfache Veränderung hat uns neue Perspektiven eröffnet.
(31)
(31) Das ist immer so: Es ist immer ein kleiner Blick über den Zaun, der es
erlaubt aus der Welt herauszutreten, in der man lebte, und eine neue Welt
zu betreten. Und in einer erfinderischen Klasse gibt es viele Gelegenheiten
zu solchen Blicken, entweder bei einem Fehler oder bei einer Übertragung
oder wenn jemand zwei Dinge zusammenfügt, die man noch nicht
zusammen gesehen hat. So ist sichergestellt, dass man sich niemals im
Kreise dreht: man kriegt immer irgendwie die Kurve.
Hier ist es:
In der vorderen Spalte steht: h + h = 9 . Da es keine
Ziffer für 4 1/2 gibt, muss es vorher einen Übertrag geben.
Dann müsste es heißen: 1 + 6 + x = 18 .
In diesem Fall müsste x = 11 sein. Das geht aber nicht,
denn x kann höchstens 9 sein.
Damit die Gleichung lösbar wird, muss die 6 durch
eine 8 ersetzt werden.
Hier noch etwas anderes:
Das geht nicht, weil man bei i + i einen Übertrag benötigt,
damit es 9 werden können. Und da h + h = 2 ist, ist
dieses nicht möglich.
„Aber nein“, sagt Robin (der Autor), „h ist 6.“
„Ja gut. Also ist i gleich 4. Aber h + h, also 6 + 6, das
ergibt nicht 25.“
Aber der Autor lässt sich durch diese Unzuläng lichkeit
nicht aus der Ruhe bringen.
„Aber nein, i ist gleich 9, und für h + h gibt es einen
Übertrag.“
Doch bei 1 + h + h = 25 muss Robin sich geschlagen
geben. Aber Robin konnte der Kritik gleich zweimal etwas
entgegenstellen (wie oben Tiziano, der auch zweimal der
Kritik ausweichen konnte). Solche Diskussionen, die den
Dingen auf den Grund gehen, schärfen die Intelligenz und
ermöglichen es, die Operationen gut zu verstehen.
128 129

Die Kinder lieben das Rechnen mit Unbekannten, weil
es immer zu Überraschungen führt. Hier noch eine:
Ausklammern eines gemeinsamen Faktors
In jenem Jahr war ich sehr aufgeschlossen und bereit,
jede Struktur, die vorgestellt wurde, besonders hervorzuheben.
Aber trotz aller Offenheit hatte ich nicht damit gerechnet,
das Bestimmen eines gemeinsamen Teilers zu
behandeln. Doch eines Morgens schrieb Michel Robin:
Das bedeutet: 10 orange (Cuisenaire-) Stäbe .+ 10 blaue
Stäbe + 10 braune (marron) Stäbe. Das heißt also:
zehn Zehner + zehn Neuner + zehn Achter.
(Ein oranger Stab hat den Wert 10, ein blauer den Wert
9 und ein brauner den Wert 8.)
Vorausahnend, dass dieses interessant werden könnte,
habe ich die 2. Klasse aufgefordert, sich um Michel aufzustellen,
der die Cuisenaire-Stäbe nach den Farben sortiert
getrennt gelegt hatte.
Uns sind zwei Möglichkeiten deutlich geworden, wie
man die Situation darstellen könnte.
Pierrick gab den Anstoß:
„Warum können wir sie nicht einander berühren lassen?“
„Gut, macht es!“
Nun konnte man (wie vorher) sagen: 10 o + 10 b + 10 m,
aber auch 10 ‘Drillinge’ (32) (o + b + m).
Voll Begeisterung habe ich gerufen:
„Aber das ist doch das Ausklammern eines gemeinsamen
Faktors (frz: ‚facteur commun‘).“
Aber die Kinder haben nur gelacht:
„‘Le facteur’ (dtsch: ‘Briefträger‘) ist doch Herr Prigent.“
„Nein, Roger Le Goff ist ‚le facteur‘.“
Da kam mir eine gute Idee:
„Wer ist euer Briefträger?“
Und wir haben herausgefunden, dass Roger der
(32) zum Thema ‘Drillinge’ vgl. folgendes Kapitel
130 131

gemeinsame Briefträger von Patrice, Pierrick, Michel, Patrick
und Christian ist.
Und Herr Prigent ist der gemeinsame Briefträger von
Remi, Jacques, Pascal, Jean-François und Robin.
Wir haben es so aufgeschrieben:
Roger {Patrice + Pierrick + Michel + Patrick + Christian)
und Herr Prigent (Remi + Jacques + Pascal + Jean-
Frangois + Robin).
Und wir haben es so gelesen: ‘facteur de’ (im Dt. entweder
‘Briefträger von‘ oder ‚Faktor von‘).
Und für 10 o + 10 b + 10 m ist der gemeinsame ‚facteur‘
die Zahl 10. Und das schreibt man 10 (o + b + m).
So haben wir, ausgehend von Robins Erfindung, einen
ziemlich schwierigen mathematischen Begriff erarbeitet.
Entscheidend war dabei, dass wir unsere Aufmerksamkeit
sowohl auf die Cuisenaire-Stäbe als auch auf das Umfeld
der Kinder gerichtet haben.
In jenem Jahr habe ich gelernt, die Erfindungen der
Kinder zu achten. Nichts ist wirklich umsonst und oft mals
habe ich feststellen können, dass kleine Verrückt heiten in
eine großartige Einsicht einmünden. Es gibt kei ne Dinge,
die x-beliebig sind, sondern alles hat einen Sinn.
(Ich betone das, weil diese Einstellung eher unüblich
ist. Pardon, natürlich gilt das nicht für die ‚Ecole moder ne‘
(33) was die Bereiche Französisch, Musik und Kunst anbelangt.
Aber im Mathematikunterricht ist diese Ein stellung
auch hier bisher nicht üblich.)
Doch müsste man dann nicht befürchten, derjenige zu
sein, der nicht sehen kann, dass es in allen Erfindungen
der Kinder, auch den scheinbar verrücktesten, etwas Tieferes
zu entdecken gibt?
(33) ‘ficole moderne’ heißt die Freinet-Bewegung in Frankreich
Was mich betrifft, so habe ich meine Wahl getroffen.
Ob sie richtig war? Ich bin so vermessen es anzunehmen.
Ich bilde mir sogar ein, dass man dem tastenden Versuchen
auch auf der gedanklichen Ebene den Vorrang geben
muss.
Bachelard hat geschrieben: „Die Wirklichkeit ist dazu
da, uns zum Denken zu bewegen.“ (Bachelard 1970) Demnach
wäre die Wirklichkeit nicht das Wichtige; vielmehr
geht es um das Denken. Man kann dabei genauso gut von
einer Träumerei, von einer Erfindung eines Kindes, von
einem Witz, von einer Zeichnung, von einem Irrtum, von
einer realen oder künstlichen geometrischen Konstruktion
ausgehen wie vom Leben. Das Wichtige ist, dass man
denkt.
An was hat Robin gedacht, als er 10 o + 10 b + 10 m geschrieben
hat? Vielleicht assoziierte er mit seiner Men ge
eine persönliche Erfahrung? Oder er erfasste zumin dest
ein Glied der Kette. Es kommt nicht darauf an, was es
wirklich war; denn die Klasse ermöglichte es ihm, sei nen
Gedanken einen Schritt weiter zu entwickeln.
Weil ich hier das Erarbeiten eines Begriffs untersuche,
möchte ich betonen, dass ich, als Lehrer, keinen festen
Plan hatte. Ich wusste überhaupt nicht, wo wir ankommen
würden. In diesem Fall habe ich durch meinen spontanen
Gedanken dazu beigetragen, dem Begriff näher zu
kommen.
Dies konnte ich tun, weil mir das Ausklammern geläufig
war. Aber es gibt sicher vieles, was ich übersehe, weil
ich nicht gut genug Bescheid weiß.
Doch das ist kein Drama. Wenn man mit gleichgesinnten
Kollegen zusammenarbeitet, lernt man schnell dazu.
Vor allem dann, wenn man entdeckt, dass bei Kindern
bestimmte Dinge regelmäßig in ähnlicher Form wieder
132 133

auftauchen. Und man lernt sehr schnell die Haltung einzunehmen,
die für alle bereichernd, die hier angemessen
ist, nämlich: sich in die Gruppe zu integrieren, sich auf
eine Ebene mit seinen Schülern zu stellen und der Freund
zu sein, der ein wenig mehr weiß. Und nicht mehr der
Lehrer, der mit seiner ganzen Weisheit hundert Meilen
von seinen Schülern entfernt, völlig allein denkt. Dazu
muss man aber immer und immer wieder nach passenden
Informationen für die Gruppe suchen, damit sich ihr Forschungsgebiet
ausweiten kann.
Ich möchte ein letztes Wort über das Wortspiel ‚facteur
de PTT (Briefträger‘) und ‚facteur de‘ (‚Faktor von‘) sagen.
Wir haben darüber gelacht; das heißt, wir haben damit ein
Gefühl verbunden, und dieser emotionale Bezug hilft uns
dabei, uns besser an die Begriffe zu erin nern.
Wenn ich auf die drei Jahre Erfahrung zurückblicke,
wird mir bewusst, dass die Beziehung zwischen Emotionen
und gelernten Begriffen um so fassbarer wurde, je
mehr wir der Phantasie, dem Unerwarteten, dem Ungewöhnlichen
den nötigen Raum gaben. Sie setzte sich in
der Vergangenheit gleichsam wie auf einem Inselchen
fest, zu dem man leicht wieder zurückkehren kann. Alles
ist erlaubt, gültig, vernünftig, was ein affektives Begreifen
ermöglicht. Solange Fröhlichkeit die Basis ist, findet man
die Brücke mit viel mehr Freude wieder. So wird man von
dieser glücklichen Erinnerung vorangetrieben. Jedenfalls
muss man als Lehrer dafür sorgen, dass die unterschiedlichsten
Assoziationen, affektive, räumliche, situative,
poetische, künstlerische, musikalische usw., entstehen
können.
Meiner Meinung nach besteht die Aufgabe in der 2.
Klasse nicht darin, die Schüler dazu zu bringen, sich endgültiges
Wissen anzueignen, sondern ihnen zu helfen,
verschiedenartige und solide Brückenköpfe für selbständige
geistige Eroberungszüge zu errichten.
Beispiele mit 8-9 Jahre alten Schülern
Drillinge
Hier jetzt einige Arbeiten aus der 3. Klasse (8 bis 9
Jahre) (Le Bohec 1970):
Fangen wir mit dieser Erfindung an:
Eigentlich ist dies keine ‘echte’ Erfindung. Der linke
Block ist eine einfache Kopie einer vorhergegangenen Arbeit.
Aber einige Kinder brauchen das. Ich habe bereits
von den visuellen Typen gesprochen, die die Dinge sehen
müssen, damit sie wirklich begreifen können. Die auditiven
Typen dagegen müssen sich die Worte immer wiederholen,
um sie richtig zu erfassen. Aber das geht noch weiter.
Das menschliche Wesen muss manchmal die Dinge
noch einmal selbst tun, die es gesehen oder gehört hat.
Gerade hatte ich mir gesagt: „Prima! Das ist einfach
und klar! Das haben sie sicher verstanden.“ Ja, sie hatten
es verstanden. Aber trotz alledem hatten sie das Bedürfnis,
es selbst noch einmal nachzuvollziehen. Das machen
auch Erwachsene so. Und ist dies nicht eine gute Methode,
um sich die Dinge zu eigen zu machen?
In der zweiten Spalte wird die Struktur mit anderen
Zahlen wiederholt. Es kommt oft vor, dass man eine
134 135

Struktur rekonstruieren muss, um sie für sich aufgreifen
und weiter bearbeiten zu können. Dann löst man sich nach
und nach von der störenden Wirklichkeit, um zu einer klärenden
Abstraktion zu gelangen. Aber oftmals tritt auch
das Gegenteil ein, wie wir gleich sehen werden:
Am zweiten Schultag im neuen Schuljahr hatte ich
Zahlen aus der Klasse an die Tafel geschrieben:
18, 6, 24,13,11, 23,1, 6, 7,13.
Das sind die verschiedenen Kardinalzahlen der Men gen
von Jungen, Mädchen, Schülern insgesamt, kleinen, großen,
alten, neuen, großen Mädchen und großen Jungen.
Ich habe zu den Kindern gesagt: „Schaut mal zur Tafel,
ob ihr nicht Zahlen seht, die zusammengehören.“ Nach und
nach haben wir so Gruppen mit je drei Zahlen gebildet:
18-6-24; 13-11-24; 23-1-24; 6-7-13.
Die Kinder haben diese Zahlentripel ‘Dreier’ (34) genannt.
(Man sagt auch ‘Trio’ oder ‘Drilling’ dazu.)
Am nächsten Morgen haben wir mit 18 + 6 = 24 weitergearbeitet.
Zuerst sollten die Jungen aufstehen (18),
dann dazu die Mädchen (6). Jetzt standen alle Schüler
(24). Wir konnten schreiben:
(34) Die Kinder wählten das Wort ‚Dreier‘ (frz.: ‚tierce‘) wohl des halb,
weil es in Frankreich gleichzeitig der Name einer beliebten Pferdewette ist.
Im deutschen Sprachraum ist der Begriff ‚Drilling‘ geläufiger.
wenn: 18 + 6 = 24
dann: 24 - 18 = 6
und: 24 - 6 = 18
und damit das Aufstehen und das Hinsetzen der Kinder in
mathematischen Zeichen nachvollziehen.
Dann machten wir das gleiche mit unseren Cuisenaire-
Stäben:
wenn: 5 + 4 = 9
dann: 9 - 5=4
und: 9 - 4=5
Bevor ich zur Verallgemeinerung überging, hatte ich
die Kinder gebeten sich Wörter auszudenken. Eric hatte
z.B. das Wort ‚cochon‘ (Schwein) gewählt und daraus den
Schluss gezogen:
wenn: co + chon = cochon
dann: cochon - chon = co
und: cochon - co = chon
Wie man sich denken kann, war das ein großer Erfolg.
Eric machte weiter:
wenn: e + ric = eric
dann: eric - e = ric
und: eric - ric = e
136 137

Jetzt haben alle mit ihren Vornamen gearbeitet. Aber
Eric kritzelte mit Eifer hin
Körper + Schwanz = Schwein.
Das gab ein Lachen und Gejohle! Diese Arbeit hatte so
viel Spaß gemacht und war so ansteckend, dass sich eine
wahre Sintflut von Drillingen ergoss: Die Schüler wiederholten
es immer wieder um es zu begreifen.
Drei Tage später sind wir auf den Schulhof gegangen,
weil Jean-Paul bemerkt hatte, dass die beiden Geländer
der Freitreppe zum Klassenzimmer wegen des Gefälles
auf dem Schulhof unterschiedlich hoch waren.
Wir haben zwei Bindfäden genommen, die genauso
lang waren wie die große Stütze. Dann haben wir einen auf
die Länge der kleinen Stütze verkürzt. Der abge schnittene
Faden war die Differenz:
So konnten wir aufschreiben: 102 cm + 20 cm = 122 cm,
folglich: 122 - 20 = 102 und: 122 - 102 = 20.
Zufällig hatte Denis die drei Gleichungen untereinander
geschrieben:
102 + 20 = 122
122 - 20 = 102
122 - 102 = 20
Große Verblüffung! Wir hatten die Drillinge wiedergefunden.
Als Patrick sagte: „Wir hätten die Stützen mit Holzstöcken
messen können“, habe ich die Gelegenheit genutzt
und drei Holzlatten von 122 cm, 102 cm und 20 cm gesägt.
Die kleine habe ich gelb, die mittlere rot und die große auf
der einen Seite orange und auf der anderen Seite rot + gelb
(102 + 20) angemalt. Diese Latten sind zu Orientierungspunkten
für die ganze Klasse geworden.
Wir konnten schreiben: Klein + Mittel = Groß
138 139
oder
Die Kinder haben das so gut verstanden, dass wir in
der 3. Klasse sogar schreiben konnten:
So hatten wir schon am Anfang des 3. Schuljahres die
Hälfte von dem durchgenommen, was man in Frankreich
in der Grundschule verlangt. Die andere Hälfte ist:

Wenn wir irgendwelche Sachaufgaben zu lösen hatten,
konnten wir schon das Lösungsverfahren einer Unbekannten
anwenden. Zum Beispiel:
„Ich wollte ein kleines Auto kaufen, das 27 Francs kosten
sollte. Aber ich hatte nur 18 Francs. Wie viel fehlen
mir?“
Um die Antwort zu finden, genügt es die letzte Gleichung,
in der die Unbekannte isoliert ist, zu nehmen: Es
fehlen mir x = 9 Francs.
Man erkennt hier, wie viele unterschiedliche Bereiche
eröffnet und erforscht werden müssen, damit Begriffe sich
in einem realistischen, erfinderischen, abstrakten, phantasievollen
und planenden Kopf festsetzen können.
Beim Berichten über meine Erfahrung fällt mir auf,
dass ich in diesem zweiten Jahr der natürlichen Methode
noch zu sehr eingegriffen habe. Mir wurde schnell bewusst,
dass ich selbst manchmal das Hindernis für die
harmonische Entwicklung der Gruppe war. Und so habe
ich gelernt, mich so lange wie möglich zurückzuhalten.
Mein Anteil ist also kleiner geworden. Er ist nach wie vor
da, aber er hat sich - genau betrachtet - verändert. Ich habe
meine unmittelbaren kognitiven Eingriffe aufgege ben und
kümmere mich jetzt mehr um die Voraus setzungen für
einen allgemeinen Wissenszuwachs. Mein Beitrag besteht
vor allem darin, für die Schüler da zu sein, eine Information
beizusteuern, zu einem Schritt über das Erreichte hinaus
anzuregen, den Ängstlichen zu helfen, die Dominanten
zu dämpfen, die gemurmelten Hypo thesen zu hören,
die Beiträge im positiven Sinne heraus zustreichen usw.
‘Fehler’ werden zu Qualitäten
Ich bedaure, dass ich hier nur einige wenige Beispiele
aus meiner Praxis anführen kann. So habe ich fast gar
nicht vom Zählen gesprochen, aber in diesem Bereich
scheinen die Lehrer auch weniger Probleme zu haben.
Hier geht alles seinen normalen Gang und ich neige eher
dazu, ungewöhnliche Beispiele herauszuheben, weil sie
die wirklich neuen Elemente aufzeigen. Tatsächlich pflegen
wir jahrhundertealte Formen im Rechenunterricht,
der einmal aus den ‚Notwendigkeiten des Lebens‘ entwickelt
wurde, wobei immer Erwachsene bestimmten, was
‚not wendig‘ sei.
Aber wenn man einmal die Position der Kinder einnimmt,
die selbstverantwortlich über ihre Schritte und
Aktivitäten entscheiden, dann wird man vielleicht feststellen,
dass man auch die ‚Notwendigkeiten des Seins‘
berücksichtigen muss. Und in diesem Bereich haben wir
noch viel zu entdecken. Dabei können einem z.B. physische
und psychische Besonderheiten bewusst werden, wie
im folgenden Beispiel:
140 141

Wahrscheinlich hat jeder sofort das Bedürfnis, das Bild
um 90 Grad zu drehen, damit sich die Zahlen einander
entsprechen.
Und so ist es sicher kein Zufall, dass ich einige Zeit
später dieses im Heft von Remi finde:
Tatsächlich ist Remi derjenige, der die Ideen der anderen
weiterentwickelt. Seine Erfindungen sind selten originell.
Aber er greift die Ideen von anderen auf, entwickelt
sie weiter und fügt immer etwas Neues hinzu. Hier sieht
man, dass man eine 3/8 -Umdrehung nach rechts machen
muss bzw. eine von 135 Grad.
„Oder eine 3/8 - Umdrehung nach links oder eine von
... oder eine von ... 360 - 135 = 225 Grad“ sagt Eric, der
von Natur aus rechthaberisch ist und immer nach Möglichkeiten
sucht, um selbst die eindeutigsten Aussagen zu
erschüttern.
So ist Remi anfangs ausschließlich als ‚Verstärker‘ für
vorhandene Ideen aufgetreten - bis zu dem Tage, an dem
er die Zahlenfelder entdeckte. Er arbeitete sehr lange in
die sem Bereich und wurde aufgrund seiner Erfahrung der
Spezialist und Bezugspunkt der Klasse für Flächenberechnung,
für Probleme sich kreuzender Wege usw. Was
mich überraschte, war die Besessenheit, mit der er einige
Felder schwarz (35) anmalte:
Also, Remi hat seinen Kreis mit 8 Achteln gezeichnet.
Und Ghislaine hat seine Idee aufgenommen. Was sage
ich? Nein, sie hat die Erfindung von Remi genau abgeschrieben.
Schauen wir sie uns an:
(35) Ob man das Schwarzmalen mit der schwierigen Beziehung zu seinem
Vater in Verbindung bringen kann? Er war mit 8 Jahren das älteste von
vier Kindern. Ich weiß es nicht. Aber er empfand offensichtlich eine große
Freude, viele helle Felder ‚anzuschwär zen‘.
142 143

Denn Ghislaine hat nicht viele Ideen. Die meiste Zeit
begnügt sie sich damit abzuschreiben. Ohne Zweifel tut
sie es auch, um sich die Ideen besser einzuprägen.
Aber Ghislaine ist Linkshänderin. Innen im Kreis ist es
ihr offenbar noch gelungen, gegen ihren Hang zur Linksdrehung
die Zahlen richtig zu kopieren. Dort ist die Kopie
richtig. Aber dann war sie zweifellos von der bis herigen
Anstrengung ermüdet und ging wieder ihren eigenen, natürlichen
Weg. Dementsprechend drehen sich die äußeren
Zahlen in der anderen Richtung.
Aber genau das stellte die Klasse vor ein schwieriges
Problem: Wir können in beiden Richtungen drehen, so
viel wir wollen, wir schaffen es nicht die Zahlen zusammenzubringen.
Nun, inzwischen kenne ich die natürliche
Methode gut genug um zu wissen, dass ich möglichst
lange nicht eingreifen darf. Also warte ich jetzt: mit dem
Effekt, dass es meist nicht mehr notwendig ist.
Endlich entdeckt jemand eine Lösung: Man muss zuerst
eine Drehung um 180° in den Raum hinein vollziehen.
Danach kann man die entsprechenden Drehungen in
der Ebene machen.
Jetzt staunen die Mitschüler:
„Oh, Ghislaine, Ghislaine! Was für schwierige Probleme
hast du dir ausgedacht.“
Eigentlich hat sie sich in Wirklichkeit nur geirrt, als sie
etwas abgeschrieben hat. Aber Ghislaine ist sehr zufrieden,
dass es so gut aufgenommen worden ist. Sie kann es
durchaus brauchen, einmal im Mittelpunkt zu stehen, da
sie die ältere Schwester eines sehr hübschen und gescheiten
Mädchens ist, das sie mit ihren Schulleistungen bereits
eingeholt hat. Weil die Jüngere von den Eltern mehr
geliebt wurde, hatte diese keine psychischen Probleme
und konnte folglich ihre intellektuellen Fähigkeiten voll
ausschöpfen. Vor allem gab es ja jemanden, den sie überholen
konnte. Das Erlebnis mit Ghislaines Erfindung hat
mich nachdenklich gemacht. Ich habe daraus gelernt, dass
jeder, so wie er ist, seinen Platz in der Gruppe hat. Und
dass der ‚Erfinder‘, der ‚Weiterentwickler‘, der ‚Gestörte‘,
der ‚mit dem Durchblick‘ und sogar derjenige, der falsch
abschreibt, gleichermaßen nützlich ist. Deshalb kann man
sagen: „In einer Forschungsgruppe werden die Fehler zu
Qualitäten.“
Man könnte es bedauern, dass das Ansehen, das das
Mädchen gewann, nicht auf einer wirklichen Erfindung
beruhte, sondern auf einem - nicht aufgedeckten - Irrtum.
Doch das ist nicht wichtig.
Nach und nach fand dieses Mädchen über kleinere Bestätigungen,
über unfreiwillige Erfolge und über wachsende
allgemeine Anerkennung in der Klasse, psychologisch
gesprochen, immer mehr Zugang zur Mathematik.
Der Beweis: Ausgerechnet sie, die sich so regelmäßig
irrte, ist Buchhalterin geworden, nachdem sie alle dafür
notwendigen Prüfungen mit Auszeichnung bestanden hat.
Man könnte, ausgehend von diesem Beispiel, noch weiter
forschen, aber das würde hier zu weit führen. Statt dessen
möchte ich noch von anderen Erfahrungen aus meiner
Klasse berichten.
144 145

Vektoraddition
Nach einer Reihe von tastenden Versuchen und Entdeckungen
sind wir so nahe an die Vektoraddition herangekommen,
dass ich mir gesagt habe: „Nun gut, warum
eigentlich nicht?“
Hier sind drei Punkte:
Zum besseren Verständnis folgender Hinweis: Ich hat te
in meiner Klasse eine kritische Äußerung meines Sohnes
Herve wiedergegeben, nämlich: „Du willst mir doch nicht
einreden, dass jemand, der von A nach B gehen will, Spaß
daran findet, über C zu gehen.“
Sofort rief Patrice:
„Nein, Sie hatten recht und nicht Ihr Sohn! Da wollte
meine Mutter vor einigen Tagen ein. Waffeleisen in der
Eisenwarenhandlung kaufen. Aber weil sie etwas zer streut
war, ging sie daran vorbei ohne es zu merken. Als sie an
der Apotheke ankam, hat sie sich gefragt:
‘Was mache ich überhaupt hier? Ich muss zurückgehen.‘
“
So gibt es zwei verschiedene Wege, wenn man von
einem Punkt zu einem anderen gehen will: den direkten
und den zerstreuten Weg. Sehen wir uns das einmal an:
Wir denken uns 3 Punkte
und 6 Tiere (bei jedem Punkt sollen 2 sein) und sehen
uns an, welche Wege sie laufen können:
Wir starten von B.
Die Schildkröte geht nach C.
Der Bär geht nach A.
Wir starten von C.
Der Fuchs geht nach B.
Das Huhn geht nach A.
Sofort sprudelten die Bemerkungen los:
„Aber warum ist bei dem zerstreuten Weg in der Mitte
derselbe Buchstabe?“
Wir haben gesucht und herausgefunden, dass man direkt
gehen kann, um von einem Punkt zu einem ande ren
zu gelangen.
Aber wenn man über einen dritten Punkt dorthin geht,
wird die Spitze des ersten Vektors zur Basis des zweiten
Vektors.
146 147

Sofort bemerkt Philippe aus der 1. Klasse:
„Also, mein Vater ist Busfahrer. Er fährt die Strecke
Lannion - Tregastel über Perros. Aber manchmal fährt er
auch direkt von Lannion nach Tregastel.“
Wir schauen uns das an:
→ → →
Es stimmt: LT = LP + PT
Wir müssen lachen, weil hier PT (im frz. ausgesprochen
wie das Verb ‚peter‘ = pupsen, Anm. d. Übers.) und
die ähnlich klingenden Endungen von Tregastel direct‘
und ‚Perros-Guirec‘ vorkommen. Das Lachen tut gut, es
lockert ein bisschen auf und das macht uns frei für neue
ernsthafte Untersuchungen.
Dieses Mal hat nicht Patrice das Abstrakte mit der
Wirklichkeit verbunden, sondern Philippe. Zweifellos hat
es beim Wort ‘direkt’, das zum täglichen Sprachgebrauch
seines Vaters gehört, bei ihm gefunkt.
Im Zusammenhang mit dieser Arbeit habe ich eine
noch ganz andere Erfahrung gemacht und dabei etwas für
mich Neues begriffen. Ich habe diese Geschichte näm lich
einer Gruppe von Lehrern erzählt und zur Illustra tion drei
Stühle in einer Reihe aufgestellt, als Marcelle plötzlich
rief:
„Halt, die Vektoraddition, die habe ich nie kapiert. Ich
habe richtig Komplexe bekommen. Aber vielleicht kann
ich es jetzt endlich verstehen, denn die Kinder haben es ja
auch verstanden.”
Und sie stand auf, um sich neben den Stuhl A zu stellen.
Sie ging zuerst von A nach B:
Dann kam sie zu A zurück, um dieses Mal zuerst zu
C und dann zu B zu gehen. Bei dieser Tätigkeit trieb sie
kei ne Mathematik, sondern Sport.
Aber sie war damit nicht zufrieden. Sie kam zu A zurück,
und das nächste Mal bewegte sie sich nur in der Vorstellung,
ohne dass sie sich wirklich bewegte, und sagte:
„Von A kann ich zu B gehen. Und von A gehe ich erst
nach C und dann nach B.“
Und jedes Mal zeigte sie mit dem Finger auf den
Stuhl, zu dem sie ‘geht’. Dieses Mal stellte sie sich die
Bewegun gen im Geist vor. Aber sie war noch nicht in der
Mathematik.
Als niemand es mehr erwartet hatte, ging sie zur Tafel
und zeichnete folgendes:
Sie gab sich also nicht mehr damit zufrieden, sich die
Bewegungen selbst vorzustellen, sie stellte sie anderen
vor.
Und dieses Mal hatte es geklappt, sie war in der Mathematik,
weil sie die Wirklichkeit symbolisch darstellte.
148 149

Zunächst waren da die Stühle als Zeichensymbole der
Wirklichkeit. Dann hatte sie mit Pfeilen operiert und
das Chaos in ihrem Kopf ordnete sich durch diese Darstellungsform.
Aber sie gab sich damit nicht zufrieden,
sondern schrieb langsam unter ihre Pfeilskizze:
dann, immer noch genauso langsam:
Und plötzlich schrieb sie wie eine aufgezogene Feder,
mit vollem Schwung:
„Ich hab‘s, ich habe die Sache verstanden, man schreibt
den Buchstaben, der fehlt, in die Mitte.“
Jetzt war es ihr ganz klar geworden: Sie hatte die Wirklichkeit
ganz vergessen und stieg vollständig in das Spiel
der Mathematik ein. Dieses Erlebnis hat mich sehr beeindruckt.
Tatsächlich ist die Vektoraddition über die Füße
in den Kopf von Marcelle gelangt. Sie musste diese Sache
auf konkrete Weise tun, bevor sie sie auf intellektu elle
Weise tun konnte.
Man kann noch lange darüber nachdenken, besonders,
da sich unvorstellbar viele Menschen von der Mathematik
ausgeschlossen fühlen, weil man es ihnen nicht erlaubt
hat, ihren individuellen Weg zu verfolgen. Wir Lehrer
sind immer in Eile und meinen, sofort auf der Stufe der
Abstraktion arbeiten zu müssen.
Außerdem - taugen denn nur diejenigen etwas, die in
der Lage sind, diesen Schritt sofort zu tun? Wenn wir so
weitermachen, produzieren wir in der Schule viele Scherben.
Vielen Menschen wird Wissen vorenthalten, weil die
für den Erwerb notwendigen Etappen bis ins Un erträgliche
verkürzt werden. Dabei bietet die Forschungs gruppe, die
Arbeitsgruppe in der natürlichen Methode, jedem so viele
Möglichkeiten, seinen eigenen Weg zu ver folgen, und
zwar unabhängig von der individuellen Aus prägung der
Persönlichkeit. Dann ist es unerheblich, ob er emotional
gestört ist und sein Gleichgewicht wieder finden muss,
indem er seine eigene Mathematik konstru iert, ob er rein
intuitiv entdeckt, ob er überwiegend mit Objekten arbeitet,
ob er ein Empiriker, ein Theoretiker oder ein Realist
usw. ist.
Jeder kann, solange er will, auf der Ebene bleiben, die
ihm angemessen und nützlich erscheint. Die Wahrscheinlichkeit
ist groß, dass die anderen ihn in Gebiete hinüberziehen,
zu denen er aus den unterschiedlichsten fami liären,
schulischen und gewohnheitsmäßigen Gründen niemals
Zugang gehabt hätte und die dennoch für ihn vollkommen
angemessen sind. Die Gruppe hilft auch bei Fortschritten,
Wiederholungen, Rückgriffen und vor allem bei Erinnerungen.
Durch die Gruppe erhält der ein zelne vielfältige
Bezugspunkte für sein Thema. Die Mit schüler erinnern
ihn an bestimmte Hefte, an Notizen an der Pinnwand usw.
Vor allem aber erinnern sie ihn an vielschichtige Erlebnisse
voller Lachen, Freude, Überra schungen und intensiver
Forschungen, und wie man weiß, prägen sich solche
gefühlsstarken Augenblicke besonders ins Gedächtnis
ein.
150 151

Bei ihren Erfindungen schreiben die Kinder freie mathematische
Texte. Damit klar wird, was dabei pas siert,
lesen wir nach, was man in der Literatur-Theorie dazu
sagt:
„Um schreiben zu können, muss der Schriftsteller sich eingestehen,
dass er nur sehr wenig weiß, denn er schreibt,
indem er das zuvor Geschriebene transformiert. In diesem
Sinne ist das Schreibblatt ein Theater der Metamorphose
... Das Schreiben ist der Akt einer Person, die, indem sie
das Geschriebene wieder ausra diert, es schafft, nach und
nach das zu denken, was sie zuvor noch nicht gedacht
hat. Kurzum, Schriftsteller schreiben nicht, indem sie abschreiben;
Schriftsteller sind vor allem diejenigen, die den
spezifischen Beitrag des Geschriebenen zur Herauskristallisierung
ihrer Gedan ken akzeptieren.“
(Ricardou: Revue Textes En Main 1984)
Es ist ganz klar, dass ein Kind im Alter von 6 bis 9
Jahren nicht so vor seiner Heftseite sitzt wie der Schriftsteller
vor seinem Blatt. Außerdem radiert es seine Ergebnisse
selten aus. Trotzdem ‚schreibt‘ es jeden Tag, obwohl
es natürlich nicht jeden Tag eine neue Idee hat. Übrigens
wird dies von ihm auch überhaupt nicht gefordert. Es ist
vollkommen frei. Es steht ihm auch frei, sooft es will, eine
Idee wieder aufzunehmen, mit deren Erforschung es angefangen
hat. Eine Idee, die seine eigene bleibt, selbst wenn
sie von der Klasse gedreht und gewendet wird. Lassen wir
es doch regelmäßig für einige Zeit das noch einmal schreiben,
was es schon einmal geschrieben hat. So schafft das
Kind es, „langsam ... das zu denken, was es noch nicht
gedacht hat“. Auf diese Weise hätten wir in unseren Klassen
kleine ‚mathematische Schriftsteller‘, die ‚den spezifischen
Beitrag des Geschriebenen‘ zur Bildung ihres Denkens
akzeptiert haben.
Dieses Phänomen des ‚Wiederschreibens‘ existiert
wirklich. Es genügt, unsere Dokumente aus der Klasse
daraufhin zu überprüfen. Zum Beispiel hat Remi in einem
einzigen Trimester (in Frankreich ist das Schuljahr in Trimester
aufgeteilt, Anm. d. Übers.) 44-mal die Struktur
von Rechenkaros genutzt, um 20-mal Zahlen hineinzuschreiben,
12-mal hat er sie für Flächenberechnungen
benutzt, 7 mal hat er Mengen und Teilmengen behandelt
und fünfmal hat er Untersuchungen über Wege ange stellt.
Das ‚Wiederschreiben‘ entspricht auch diesem selt samen
Bedürfnis des Menschen (wir haben es bereits erwähnt),
eine Sache noch einmal zu machen um sich ihrer zu bemächtigen.
Damit wird zusätzlich (eigentlich brauchte es
nicht eigens erwähnt zu werden) das motorische Gedächtnis
angesprochen.
Wie wir gesehen haben, ist die Kopie manchmal fehlerhaft.
Aber selbst, wenn es nur eine winzige Nuance
wäre, so liegt darin schon eine Öffnung. Aber auch, wenn
sie peinlich genau gleich ist, so entwickelt sich in Gedanken
schon eine kleine Veränderung, d.h., man radiert
inner lich schon das aus, was man gerade schreibt. Kurze
Zeit später schreibt man es dann mit dieser Veränderung
auf und vertieft es auf diese Weise.
Abenteuer mit Vektoren
Ich fühle genau, dass es unmöglich ist, all das im
einzel nen auszuführen, was mir die natürliche Methode
gebracht hat. Aber ein Erlebnis mit Vektoren und Koordinaten,
das uns im 1., 2. und im 3. Schuljahr auf so vielfältige
Weise beschäftigte, kann ich wirklich nicht unerwähnt
152 153

lassen. Das erste Jahr der Erfahrung hatte mir die Augen
geöffnet. Endlich hatte ich begriffen, dass die Mathematik
überall ist, weil es überall unentdeckte Strukturen gibt.
Außerdem hat bei dem folgenden Erlebnis sicher eine
Rolle gespielt, dass die Komposition eines Bildes für mich
persönlich eine Quelle ästhetischer Freude ist.
So war ich stark beeindruckt, als mir ein Schüler eine
Zeichnung zeigte, auf der Bogenschützen eine Burg angreifen.
Besonders fiel mir ins Auge, wie der Flug der
Pfeile angeordnet war, und so schlug ich ihm vor:
„Das ist interessant! Du könntest auch nur die Pfeile
zeichnen.“
Und Remi, immer begierig nach neuen Strukturen,
hat sich diese Idee sofort zu Eigen gemacht. Hier ist seine
Arbeit:
Ich sagte spontan: „Oh, man könnte sie fast für Vektoren
halten.“
Diese Aussage hat Anklang gefunden. Gemeinsam
haben die Kinder festgestellt, dass die Vektoren horizon tal
(bis auf einen), parallel und von unterschiedlicher Länge
waren. Die Idee ist von der Klasse sofort aufgegrif fen
worden.
Hier ist eine Zeichnung von Patrice:
Auch hier gibt es zwei Wege:
Eine heftige Diskussion entbrennt:
„Aber nein, das ist nicht gleich: AB + BC ist viel län ger
als AC“
Ich greife sofort ein, leider viel zu schnell. Ich hatte damals
noch nicht begriffen, dass man für die Festigung des
Wissens vorher eine gedankliche Bearbeitung braucht.
So habe ich durch mein Eingreifen verhindert, dass sich
Fragen entwickeln konnten und dass das Pro blem genau
genug erkannt wurde. Mein Beitrag war nur eine schwache
Antwort, mit der ich den Elan der Kinder durch eine
wenig hilfreiche Information gebremst habe. Hätte ich
etwas länger gewartet, so wäre sie vielleicht aufmerksamer
aufgegriffen worden.
Ich sage also: „Aber hier handelt es sich um
Vektoren.“
Damit fällt alles in sich zusammen. Was hat dieses
Wort mit ihnen zu tun?
Ich werde mir meines pädagogischen Irrtums bewusst
und bitte den Temperamentvollsten an die Tafel.
„Schreibe: AB + BC - - - gut - - - und jetzt AC,
schreibe jetzt: AB + BC = AC.”
Aber er sträubt sich und sieht mich von der Seite an.
„Nein, das ist nicht gleich.“
Ich antworte ihm: „Du hast recht.“
Nun versteht niemand mehr etwas. Aber glücklicherweise
bleibe ich still, obwohl es in mir brodelt. Stille breitet
sich aus, aber es ist keine gewöhnliche Stille, keine Stille
des Unbeteiligtseins. Diese hier ist geladen mit Nicht-Verstehen,
mit Warten und sogar mit einer stummen Aggressivität
gegen mich. Aber ich halte sie aus. Schließ lich sagt
Michel zu seinem Mitschüler: „Vielleicht ist es, weil du
154 155

keine Pfeile auf die Buchstaben gemacht hast.“
Jetzt erkläre ich: „AB ist eine Länge. Aber ist ein
Vektor. Es ist der Weg, den man zurücklegt. Man weiß,
wo man losgeht und wo man ankommt. Der Weg +
ist die gleiche Sache wie , weil man vom selben Ort
losgeht und man beim selben Ort ankommt.“
Jetzt ist es in Ordnung, jetzt wird es akzeptiert. Denn
anstatt Vektor zu sagen, kann man auch Weg sagen und
‘Weg’, das kennt man: das gehört zum täglichen Leben.
Aber nun fragt Pierrick, der Rechthaber:
„Und wenn man hingeht und wieder zurück?“
„Dann gibt das Null. Es ist, als ob man sich nicht bewegt
hätte.“
Das versetzt alle in Erstaunen. Was? Man hat den doppelten
Weg zurückgelegt und das macht Null? Aber plötzlich
legt Michel (7 Jahre alt) los: „Und wenn man das so
machen würde?“
„Das ergibt eine Addition von Vektoren. Das macht „
„Oh, das ist wie bei der Mutter von Patrice. Hier gibt es
auch die zerstreuten Wege und den direkten Weg.“
„Ja, aber in diesem Fall müsste die Mutter von Patrice
wirklich sehr zerstreut sein.“
Doch wer meint, damit wäre das Thema erschöpft, der
irrt. Das war erst der Anfang von Michels ‚Vektoranfall‘.
Er fragt:
„Und wenn man es so macht?“
„Schauen wir es uns an und schreiben die Buchstaben
dazu.“
Michel sagte: „
„Ist das alles?“
„Nein, es gibt noch
Wir haben: „
„Ja“, sagt Jacques, „weil es Gegensatzpaare gibt. Man
kann Bündel mit Null machen:
Herve, ein Mathematikstudent, der zufällig in meiner
Klasse ist, sagt: „Das ergibt den Nullvektor.“
Sofort ruft Patrice noch einmal aus:
„Also Sonntag, da haben wir den Nullvektor gemacht.
Wir standen in Morlaix vor einer Apotheke und suchten
den Bahnhof. Wir gingen hierhin und dorthin um dorthin
und hierhin. Und schließlich landeten wir wieder vor der
156 157

Apotheke. Wir haben den Nullvektor gemacht.”
„Also bei mir ist es auch so“, hängt sich Remi B. an,
„wenn mein Vater morgens zum Fischen geht, bin ich
noch in meinem Bett. Und abends, wenn er vom Fischen
zurückkommt, bin ich wieder im Bett. Er sagt, ich hätte
mich nicht bewegt. Aber ich habe mich doch bewegt, denn
ich bin auf den Platz beim Krankenhaus gegangen, dann
zur Kreuzung und zur Schule. Und am Abend gehe ich
den Weg zurück. Ich habe den Nullvektor gemacht. Und
so mache ich jeden Tag den Nullvektor, weil ich nach Haus
zurückgehe.“
„Nicht nur du. Wir machen auch den Nullvektor.“
Das konsequente Verhalten von Patrice erstaunt mich.
Fast immer ist er derjenige, der uns in die Wirklichkeit
zurückführt.
Währenddessen fliegt Michel auf seinen abstrakten
Wolken weiter und lässt sich dabei nicht beirren:
„Und wenn man zwei Runden macht?“
„Nullvektor.“
„Und drei Runden?“
„Nullvektor.“
Pierrick natürlich: „Und 1000 Runden?“
Die ganze Klasse: „Nullvektor!“
Aber Michel fährt stur fort, seine Furchen weiterzuziehen.
„Und wenn ich eine Runde und außerdem eine Seite
des Rechtecks mache?“
„Das macht „
„Und dann eine weitere vollständige Runde und eine
andere Seite?”
„ “
„Also dreht sich das jedes Mal um eine Seite weiter?“
„Ja!“
„Und wenn ich das, was ich gesagt habe, zweimal
mache?“
„Oh, la la! Das wird kompliziert. Schaut mal!‘
„Das ist gar nicht schwer. Man muss nur den direkten
Weg von Anfang bis zum Schluss ansehen.
Also:
Pierrick: „Also ich wusste es auch ohne Zeichnung,
wegen der NullBündel. =
2 ‚
„Nun gut“, sagt Michel. „Und das hier?“
158 159

Pierrick: „Da gibt es Gegensatzpaare. Ich mache zwei
Bündel mit Null, also gibt das:
Man könnte es auch gut sehen, wenn man den direk ten
Weg vom Anfangs- bis zum Endpunkt zurücklegt.
Wir hätten damit Zeit gewonnen. Aber Michel ist unersättlich.
„Und das?“
„Gut, lasst es uns rechnen, aber vergesst nicht die Pfeile
zu setzen!“
„Das gibt:
„Das gibt:
Die Reaktion war: „All das für: - ! Das lohnt doch
den Aufwand nicht.“
Pierrick, der Verschmitzte: „Also ich musste nicht
rechnen. Ich habe einfach den direkten Weg von A nach
B betrachtet.“
Da ich merke, dass jetzt viele abschalten, komme ich
auf die Wirklichkeit zurück, oder genauer: Ich stelle nun
die abstrakte Erfindung symbolisch dar. Und um den
ernsthaften Charakter der Sache zu unterstreichen, lasse
ich alle Tische der Klasse zusammenrücken.
Daniel und ich gehen beide von Punkt A aus los. Ich
bewege mich dem angezeichneten Schema entsprechend,
während Daniel den direkten Weg geht. Schließlich treffen
wir uns im selben Punkt B.
Jacques bemerkt: „Ich bin der Boss, weil mein Tisch
der Punkt A ist.“
Ich formuliere genauer: „Ja, du bist derjenige am Startpunkt.“
Und genau das war der Startschuss für unsere Erfahrung
mit dem Koordinatensystem. Aber wenn damals
nicht jeder seine eigenen Koordinaten in Bezug auf Jacques
berechnet hätte, wäre dieses System wohl farblos
geblieben.
0 = Platz von Jaques
160 161

Wieder tauchten die Begriffe ‘zerstreuter Weg’ und ‘direkter
Weg’ auf.
M (Michel) war z.B. (+ 2 / + 1) von Jacques
entfernt:
Nun habe ich x und y eingeführt: (M: x = +2, y = +1),
weil es sich anzubieten schien. Aber wieder einmal bin ich
zu schnell gewesen. Ich hätte ihnen die Zeit lassen müssen
es wiederzuerfinden.
Insgesamt war es jedoch der Start für ein erstaunliches
Abenteuer mit den Geraden, den Steigungen von Gera den,
den Symmetrien bezüglich Jacques, dann bezüglich eines
anderen Kindes (36) ... , Relationen wurden herge stellt. Die
Kinder haben sich auf die Tische gestellt, um die jeweiligen
Punkte darzustellen, und das hat sicher zum Erfolg
des Unternehmens beigetragen, weil es so auch eine körperliche
Erfahrung war.
(36) Bei dieser Arbeit stellt Patrice fest: „Ich (P) bin im Verhältnis zu
Robin (R) symmetrisch zum ‚Unsichtbaren Menschen‘.“
4. Wie entwickelt sich mathematisches
Wissen?
Denkmodelle
Ich höre nun mit dem Bericht über diese Erfahrung
auf, um das charakteristische Verhalten von Michel, Patrice
und Pierrick ein wenig genauer zu untersuchen. Vor
allem war ich überrascht zu sehen, mit welcher Verbissenheit
der junge Michel aus der 2. Klasse seine Untersuchung
der Vektoren betrieb. Er wollte immer mehr wissen
und schlug, um das zu erreichen, Dinge vor, die er selbst
für schwierig hielt. Er trieb uns (oder mich?) in die Enge.
War es Provokation oder echte Neugier? Jedenfalls schien
er sich in diesem neuen Bereich sehr wohl zu fühlen; er
kümmerte sich in keinem Moment um die Wirklichkeit
und interessierte sich nur für das abstrakte Spiel, das Spiel
der Mathematik.
Im Gegensatz dazu war Patrice von der Wirklichkeit
besessen. Er war derjenige, der sofort das Beispiel von
der zerstreuten Mutter geliefert hatte, die zurückgehen
musste. Oder das Beispiel des Bahnhofs von Morlaix, den
sie nicht gefunden hatten. Man könnte sagen, dass er jemand
war, der unsere Grundlagenforschung systematisch
auf die Wirklichkeit übertrug.
Ich denke, dass man bei diesem Phänomen, das vielleicht
von einer grundsätzlichen theoretischen Bedeutung
ist, verweilen muss. Für mich war es allerdings eher eine
Bestätigung als eine Entdeckung; denn ich habe das Gleiche
bereits im mündlichen Ausdruck wahrgenom men.
Ich erinnere mich daran, dass die Kinder, die täglich mit
verschiedenen Fremdsprachen konfrontiert waren (bretonisch,
italienisch, englisch, deutsch), sich einmal eine
künstliche Sprache ausgedacht hatten: das ‚koupela kabach’
und später einen Dialog in ‚japanisch‘. Bei dieser
162 163

Gelegenheit haben sie bestimmte Prinzipien der Sprache
erfasst. Später habe ich das Phänomen auch in einer anderen
Klasse (3. Schuljahr) wiedergefunden, als die Kinder
über das mutmaßliche Netz eines bekannten Körpers und
das bekannte Netz eines unbekannten Körpers gearbeitet
haben.
Auch in Michels Fall ging es wieder um die Konstruktion
von MODELLEN. Das ist mir bei der Lektüre von
Bachelard (1966) richtig bewusst geworden. In der modernen
Wissenschaft konstruiert man zunächst ein Modell,
das man anschließend über die Wirklichkeit stülpt. Sie
wird auf diese Weise besser erkennbar. In diesem Sinne
stellt Bachelard die These auf:
„Die Parallelen existieren erst seit dem Euklidischen
Postulat - vorher noch nicht.“
( Bachelard 1966, S. 139)
Das heißt, vorher waren sie noch irgendwo im Chaos.
Erst als Euklid aus einer Intuition heraus sein Postulat
aufstellte, begannen sie zu existieren. Und zweitausend
Jahre lang konnte man glauben, dass dieser geometrische
Satz zu den Fundamenten des menschlichen Denkens gehörte.
Bis Lobatschewskij eine sehr reiche nicht-euklidische
Geometrie entwickelte, als er versuchte, das euklidische
Postulat, ausgehend vom Gegenteil, zu beweisen und
damit die allgemeine Gültigkeit der Geometrie von Euklid
in Frage stellte.
„Der heutige Physiker erkennt, dass er die Gepflogenheiten
des Denkens, die aus der Präge nach der unmittelbaren
Erkenntnis und nach der Nützlichkeit entstanden
sind, hinter sich lassen muss, um die geistige Beweglichkeit
für Entdeckungen wiederzufinden“ (ebd, S. 39).
Diese Idee Bachelards wird es uns erlauben, zwischen
zwei Methoden der Freinet-Pädagogik zu unterscheiden,
nämlich zwischen dem ‚lebendigen Rechnen‘ (37) , das sich
aus Alltagssituationen entwickelt, und der ‚natürli chen
Methode der Mathematik‘, die auf dem Prinzip des schöpferischen
Ausdrucks beruht.
Die Idee, zunächst ein künstliches Modell aufzustel len,
hat lange Zeit mein verkalktes Gehirn empört. Aber ich
habe bemerkt, dass es auch im Alltag üblich ist. Wenn uns
zum Beispiel jemand ein neues Kartenspiel beibrin gen
will, dann lässt er uns zunächst ein Spiel spielen, in dem
es um nichts geht. In diesem Moment sind wir noch nicht
in der Wirklichkeit, wir simulieren sie zunächst. Erst danach
können wir anfangen, wirklich zu spielen. Zweifellos
könnte man viele Beispiele finden, in denen zunächst das
Modell da sein muss, ehe es eine entspre chende Wirklichkeit
geben kann.
Aber ich möchte auf die Wege des Denkens zurückkommen,
denn unser Thema ist die Frage, wie Wissen
entsteht.
Über die Theorien von Einstein hat G. Halton folgendes
geschrieben:
„Zu diesen elementaren Gesetzen der Natur führte kein
anderer Weg als der Weg der Intuition, gepflastert mit Erfahrung.“
(L‘Invention Scientifique P.H.F)
Einstein selbst sagte dazu: „Das Merkwürdigste ist,
dass das funktioniert.“
Die Eingebung hilft uns, uns etwas vorzustellen, etwas
zu konstruieren, etwas zu entwerfen. Und dann schauen
wir nach, ob unsere Konstruktion der Realität entspricht:
Wir verifizieren.
(37) Das ‘lebendige Rechnen’ war für die Freinet-Lehrer lange Zeit
das wichtigste methodische Konzept, das sie dem sinnentleerten
Schulbuchrechnen entgegenstellen konnten. (Anm. d. Übers.)
164 165

Erinnern wir uns: In unseren Beispielen war Michel
derjenige, der am Modell arbeitete, während Patrice die
Aufmerksamkeit auf die Realität gerichtet hatte. Es war
also eine Gruppenarbeit, wo jeder entsprechend seinen eigenen
Neigungen seinen Teil einbringen konnte.
Diese Sichtweise über Bedeutung und Stellenwert der
Wirklichkeit könnte Freinet-Lehrer ein zweites Mal in
Aufregung versetzen. Das erste Mal wurden sie von Freinet
schockiert, als er das ‚lebendige Rechnen‘ ins Spiel
gebracht hat. Wie hielten uns damals alle sehr zurück,
denn wir haben es nicht für möglich gehalten, dass Alltagssituationen
genug mathematisches ‚Material‘ beinhalten,
mit dem die Schüler rechnen könnten.
Aber wir hatten Unrecht. Nach und nach haben wir
gemerkt, dass die Lösungswege, die durch tastendes Versuchen
konstruiert wurden, besser in den Köpfen der
Kinder verankert waren als diejenigen, die wir über ständige
Wiederholungen und Übungen hineinzupressen versuchten.
Wir sind also in das ‚lebendige Rechnen‘ eingetaucht,
auch deshalb, weil wir uns ohnehin auf das wirkliche
Leben eingelassen hatten, anstatt im fiktiven Leben
der Schule zu verharren.
Aber außer (oder genauer: neben) Célestin Freinet gab
es seine Frau Elise, die zu ihm in einem dialogischen Verhältnis
stand. Durch ihre Beiträge wurde ich sehr ange regt.
Auch umgekehrt war es so. Sie hat sogar meine Position,
die allen so ketzerisch schien, sehr intensiv ver teidigt. Damals
schrieb sie mir:
„Hier sind Freinet, Pierrot, Jean ... gegen dich. Und
ich bin auch eher auf ihrer Seite. Aber mach weiter; denn
du könntest gegenüber uns allen Recht behalten.“
Wirklich, wenn ich wenigstens teilweise Recht behalten
sollte, dann auch deswegen, weil Elise Freinet es nicht
versäumte, manchmal ‚in die entgegengesetzte Richtung‘
zu arbeiten. Doch auch Freinet selbst hat seinen Anteil
daran, denn es war seine natürliche Methode, die ich in
der Mathematik anwenden wollte. Auch hier ist es klar:
Man kann nur mit der Gruppe Recht haben. Und die Pragmatiker
(Célestin Freinet?) sind genauso notwendig wie
die ‚Konzeptualisten‘ (Elise Freinet?).
Aber die Dinge sind niemals einfach. Anstatt zwischen
verschiedenen Individuen ausgetragen zu werden, bestehen
Widersprüche oftmals innerhalb ein und desselben
Individuums.
So habe ich mich zum Beispiel wahnsinnig gefreut,
als ich festgestellt habe, dass das Binärsystem auch in der
Wirklichkeit, nämlich in den kanadischen Maßsystemen,
existierte. Aber mein Freund Delbasty sagte:
„Aber nein, im Binärsystem legt man willkürlich fest,
dass man jede Zweiergruppe durch eine Einheit mit höherem
Stellenwert ersetzt. Für die anderen Systeme gilt
das analog.“
Obwohl ich in meiner Klasse gerade den Gedanken
zugelassen hatte, dass die Abstraktion möglicherweise
Vorrang hat, fühlte ich, wie sich durch Delbasty‘s Aussage
etwas in mir auflehnte. Vielleicht deshalb, weil ich
gerade frisch bekehrt und noch ganz beeindruckt war von
dieser neuen Art, mich der Welt zu stellen. Ist es möglich,
dass meine Kindheit - wie die von Freinet (einem Bauernkind)
- sehr stark vom Realismus geprägt war, während
Delbasty - wie Elise Freinet - ein Lehrer kind war? Nein,
natürlich nicht, damit machten wir es uns zu leicht.
Ich möchte noch nicht locker lassen, weil wir hier einen
zentralen Punkt berühren. Ich erinnere mich näm lich an
ein weiteres Erlebnis, bei dem sich alles in mir sträubte. Es
war in der sechsten Klasse. Der Lehrer hatte zwei Geraden,
die von einer weiteren Geraden geschnit ten wurden,
an die Tafel gezeichnet.
166 167

Mein Freund Yves war damals bereit, die Parallelität
der Geraden zu beweisen, obwohl sie in der Zeichnung
skandalöserweise nicht parallel waren. Er war ein besse rer
Mathematiker als ich, denn er akzeptierte die Gegen-Wirklichkeit,
war bereit, sich von den optischen Gegeben heiten
zu lösen. Immerhin war mein Denken strategisch genug,
um mit Hilfe meines Freundes nach und nach auch in diese
neue und bizarre Art des Spielens eindrin gen zu können.
(War mein Denken eigentlich von Anfang an strategisch,
oder ist es erst durch meinen Vater Und meinen älteren
Bruder so geworden? Damit stellt sich die grundsätzliche
Frage nach der Vermittelbarkeit von Fähigkeiten.)
In der Arbeitsgruppe ‘natürliche Methode des Mathematikunterrichts‘
(38) in der französischen Freinetbewegung
war die Entwicklung des Wissens schnell ein zentrales
Problem, denn wir haben angefangen uns gemeinsam
fortzubilden. Wir haben gespürt, wie sehr un sere
Freundschaft, unsere Sympathie, das Annehmen des Anderen
dieses Unternehmen erleichtert hat.
(38) Die hier angesprochene Arbeitsgruppe zur natürlichen Methode in
der Mathematik gibt seit 1989 in unregelmäßigen Abständen unter dem
Titel „naturellement math“ (natürliche Mathematik) Arbeitsberichte heraus
(vgl. Bibliographie). Eine weitere davon unabhängig arbeitende Freinet-
Arbeitsgruppe zur natürlichen Methode in der Mathematik hat sich im
Department Pas de Calais gebildet (vgl. Seite 231)
Vor allem hat es uns erlaubt, ohne allzu große Anstrengungen
neue Standpunkte zu beziehen.
Aus all diesen Erfahrungen habe ich gelernt, wie hilfreich
die Reflexion der persönlichen Lernbedingungen
für die Förderung eines fruchtbaren Klassenklimas sein
kann.
Jetzt, nach all diesen Erfahrungen und Überlegungen
habe ich das Bedürfnis, es auf den Punkt zu bringen.
Vier unterschiedliche Positionen
Es scheint mir, dass man vier verschiedene Positionen bezüglich
der Mathematik beziehen kann:
• die intuitive oder konkrete Mathematik auf der Basis
einer vorhandenen oder vergangenen Wirklichkeit
• die mathematische Strukturierung realer
Situationen
• das reine mathematische Spiel
• die angewandte Mathematik
Intuitive oder konkrete Mathematik
Um diese Position zu verdeutlichen, möchte ich drei
Beispiele nennen:
1. Jeannette hat vier gleich große Gemäldereproduk tionen
und möchte sie so an der Wand befestigen, dass alle den
gleichen Abstand haben. Sie probiert einfach ohne ein
Messinstrument zu benutzen. Mit einem Mal stimmt
es, sie hat es geschafft, sie genau richtig aufzuhängen.
Man könnte denken: „Sie hat viel Erfahrung im Messen.
Sie hat viel Übung.“
168 169

„Überhaupt nicht!“
„Also, dann hat sie einen Sinn für Harmonie!“
2. Fabrice ist 6 ^ Jahre alt. Er kann weder gut lesen noch
rechnen, aber sehr gut Fußball spielen. Wenn der Ball
auf ihn zugesprungen kommt, stürzt er ihm nicht entgegen
wie seine Kameraden, wenn sie einen steilen
Pass erhalten, sondern er geht rückwärts und steht
genau an dem Ort, an dem der Ball auf den Boden
trifft. Man könnte sagen:
„Aber das ist keine Mathematik, das ist
Bewegungslehre.“
Das ändert nichts daran, dass er die Geschwindigkeit
des Balles, den Ort seines Aufpralls und sogar dessen
Eigendrehung gewusst, wenn nicht gar errechnet,
zumindest aber geraten hat. Und wenn er einem Mitspieler,
der vorläuft, den Ball zuspielt, dann schickt er
den Ball dorthin, wo sein Kumpel sein wird, und nicht
dorthin, wo er: gerade ist; dabei schätzt er auch noch
die Laufgeschwindigkeit seines Kumpels ab, um zu
wissen, mit wie viel Kraft er den Ball schießen muss.
3. Rosine ist Gymnasiastin. Der Lehrer schreibt eine
Aufgabe an die Tafel. Sie gibt sofort die Antwort. Er
wendet sich ihr zu:
„Kannten Sie dieses Problem?“
„Nein, ich habe es zum ersten Mal gesehen!“
„Also, wie haben Sie es gemacht?“
„Ich weiß nicht. Einfach so.“
„Ach“, sagt er herablassend, „das ist Intuition.“ Und
er kehrt zu seinem Schreibtisch zurück.
Zu dieser Zeit sieht dieses Mädchen, wie ihr Vater
sich abmüht, ein Permutationsgesetz herauszufinden.
Sie fragt ihn:
„Was suchst du?“
„Ach, ich möchte gern wissen, was passiert, wenn ich
hier weitermache/’
„Das ist doch klar. Du musst dort ankommen.“
„Vielen Dank. Du hast mir geholfen. Jetzt weiß ich, in
welcher Richtung ich suchen muss.“
Es scheint, dass wir tief in das Meer des Unbewussten
eingetaucht sind. Was an der Oberfläche erscheint,
ist höchstens ein Zehntel der Wirklichkeit. Man glaubt,
dass man die Dinge beherrscht, aber so viele Vorgänge
gesche hen außerhalb unseres Bewusstseins. Das ist vielleicht
die Erklärung für das, was eine andere Lehrerin,
Monique Quertier, die die natürliche Methode drei Jahre
lang gründlich erprobt hat, am meisten erstaunt hat:
„Die Gruppe, die stillbeschäftigt arbeitet, lernt genau so
viel wie die Gruppe, die mit mir arbeitet, wenn nicht gar
mehr.“
(Quertier, 1990)
,Wir müssen der Tatsache ins Auge sehen: Intuition
gibt es immer, auch im Mathematikunterricht. Besonders
in der Forschungsgruppe kann sie sich frei entfalten und
ihre Möglichkeiten ausspielen. So ist es nicht verwunderlich,
dass z.B. Kinder wie Rosine im traditionellen
Mathe matikunterricht nur mittelmäßige Leistungen erzielen,
weil man dort immer den gesamten Lösungsweg beschreiben
muss. In einer Gruppe von zwei oder mehreren
Forschern wäre sie jedoch sehr wertvoll gewesen.
170 171

Die mathematische Strukturierung von Situationen
Für das Problem, die Gemälde passend aufzuhängen
(vgl. S. 169), hätte ich beispielsweise eine Formel benutzt.
Wenn L die Gesamtlänge der Wand und die Breite
eines Bildes ist, dann ist die Länge der Abstände folgendermaßen
zu berechnen:
Denn ich weiß: Wenn auf jeder Seite ein Abstand sein
soll, dann gibt es einen Abstand mehr als Gegenstände
( 4 + 1=5 ).
Ich weiß es, weil man es mich gelehrt hat, weil man
es mich hat wiederholen lassen, weil man mich viele Probleme
dieser Art hat lösen lassen. (Ich habe in meinem
Kopf ein ganzes Arsenal von Problemtypen, die in Wirklichkeit
Lösungsverfahren sind: Wasserhähne, Züge, Intervalle,
Alleen, vorläufige Annahmen, Gewinnanteile,...)
Und ich weiß es vor allem auch, weil ich es mehrfach
im praktischen Leben überprüft habe. So habe ich durch
die Arbeit mit meinen Schülern die Bedeutung des Paarbegriffs
entdeckt:
‘Abstand - Bild’ bilden ein Paar. Es gibt vier Abstand-
Bild-Paare und es bleibt ein Abstand übrig.
Aber dies wurde niemals auswendig gelernt, das wur de
wieder erfunden und damit endgültig gewusst. Es ist die
gleiche Art von Mathematisierung, wie wir sie so oft im
‚lebendigen Rechnen‘ finden:
Kosten einer Reise zur Partner-Klasse, Zahl der Kinder,
Zahl der Begleitpersonen, Gruppenermäßigung,
Alter, Entfernung, Tarifkilometer, Fahrpreisermäßigung
an bestimmten Wochentagen, Finanzierung usw.
Das tägliche Leben ist eine ständige Quelle solcher
Probleme. Es sind echte Probleme, die sich tatsächlich
stellen, also ‚notwendige‘ Probleme, und es ist ratsam, mit
den Kindern die Lösung solcher notwendigen Proble me
zu trainieren, wenn man aus ihnen gute Rechner machen
will.
Aber dies reicht nicht aus. (39) Selbst diejenigen Schü ler,
die auf diesem Niveau gut zurecht kommen, müssen auch
noch auf einer dritten Stufe ankommen können.
Mathematisches Spiel
Das Wesentliche beim mathematischen Spiel ist die
offen sichtliche Zweckfreiheit, wodurch es für viele Leute
frag würdig wird. Denn wozu soll es gut sein?
Nun, vielleicht liegt es einfach in der Natur des Menschen
zu spielen. Dazu muss ich auch gleich Bourbaki
zitieren:
„... Die Mathematik erscheint wie ein Reservoir abstrakter
Formen - die mathematischen Strukturen - und offensichtlich
haben sich bestimmte Aspekte der experimentellen
Wirklichkeit mit bestimmten Formen vermengt.“ (40)
(39) Nach Changeux und Connes (1989, S. 122 ff) gibt es drei Ebenen:
• die des Rechnens (= dumme Mathematik),
• die der Interaktion zwischen der ausgeführten Rechnung und den
persönlichen Problemen,
• die der Kreation (Changeux) bzw. der Entdeckung (Connes).
Diese beiden Autoren gießen Wasser auf unsere Mühlen.
(40) Mir scheint diese Aussage bemerkenswert, obwohl es sich bei
der Bourbaki-Gruppe um Anhänger des Formalismus handelt.
172 173

Welche Überraschung! Nicht die abstrakten Formen
haben sich in die Realität eingemischt, sondern es ist die
Realität, die sich manchmal in die Formen einmischt. Bestimmte
Denker, wie z.B. der von Vektoren besessene Michel,
fühlen sich in dem Bereich reiner Strukturen vollkommen
wohl. Und auch Pierrick findet die Lösungen im
Abstrakten, ohne sich auf die Realität zu beziehen: „Durch
die Gegensatzpaare habe ich es vorher gewusst.“
Leider wird nur dieser Denkertyp von der Schule als
wertvoll anerkannt. Dass sie anerkannt werden, ist rich tig,
denn sie sind auch etwas wert. Aber spielen die ande ren
nicht eine genauso vollwertige Rolle? Sie könnten sogar
auf ihre Weise in die Kategorie ‚Spieler mit dem Abstrakten‘
gelangen, wenn man ihnen die Zeit und die Wege zugestehen
würde, die sie dafür benötigen. Aber die Schule
kümmert sich überhaupt nicht um diese Kinder. Sie lässt
sich von Piaget auf seine Stufen der Intelligenz festlegen.
Und sie tut nichts dafür, dass sie schneller erreicht
werden.
Nun, ist das mathematische Spiel wirklich nur reines,
zweckfreies Spiel? Ist nicht jede Aktion die Frucht eines
vorausgegangenen gedanklichen Spiels? Dieses unbewusste
‘Entwerfen’ ist eine weit verbreitete Sache. Man
könnte es zweifellos durch fortlaufende Schreibtransformationen
(vgl. auch S. 153) sichtbar machen, d.h. ins
Bewusstsein heben.
Um diese Hypothese zu verdeutlichen, möchte ich das
Bild des Skiläufers Jean-Claude Killy in Erinnerung bringen.
Er stand oben am Start und beschrieb zuerst mit der
Hand die ideale Strecke auf der Piste, die zum Sieg führen
müsste. Genauso zeichnete eine Weltmeisterin im Kunstflug
vor dem Start ihre Flugfiguren mit der Hand in die
Luft.
Und, wo ich schon dabei bin, noch ein Text, der in einer
meiner Schreibwerkstätten entstanden ist.
„Ehe er seine Bewegung ausführte, hat der Turner sie in
aller Genauigkeit in seinem Geist vorbedacht. Jetzt geht
es darum, dass sein Körper es schafft, sich genau dieser
Abstraktion anzupassen ohne sich - soweit das möglich ist
- an irgendeinem Teil dieser so überaus genauen und so
vollkommenen gedanklichen Konstruktion zu verlet zen.
Es sei denn, man riskiert eine Verletzung des Den kens,
wenn nicht gar der Seele.“
Angewandte Mathematik
Patrice ist das lebendige Beispiel für diejenigen, die
sich um die Anwendung der abstrakten Mathematik auf
die Wirklichkeit bemüht haben. Es ist unnötig, das an
dieser Stelle zu vertiefen: Wir wissen seit langem, dass
die Grundlagenforschung und die angewandte Forschung
eng miteinander verbunden sind. Praktiker und Theoretiker
brauchen einander. Aber wenn es manchmal zu einer
Blockade in gewissen Wissenschaften, wie z.B. in der
Neuro-Biologie, kommt, dann kann das daran liegen, dass
es noch keine geeigneten Modelle gibt. Wir brauchen also
Erfinder, Dichter, Künstler, kurzum phantasievolle Menschen,
die natürlich trotz allem aufpassen müssen, dass sie
nicht den Boden unter den Füßen verlieren!
174 175

Zusammenfassung
Jetzt möchte ich für diejenigen, die eine optische Veranschaulichung
benötigen, folgendes Schema vorstellen:
Es handelt sich um vier unterscheidbare Bereiche, in
denen man Anerkennung im Umgang mit der Mathematik
finden kann. Aber es ist nicht zwingend, dass man
in einem verbleibt. Wenn doch, dann liegt es vielleicht in
seiner ureigenen Natur. Aber es kann auch am Einfluss
der familiären Umgebung liegen. Manche sind bis zur
Übertreibung Pragmatiker oder Idealisten. Aber ein Kind
kann, dank der Arbeit in der Gruppe, Bereiche und Verhaltensweisen
entdecken, die es noch nicht kannte und die
ihm dennoch entsprechen.
Jedenfalls, selbst wenn das Kind in seinem dominan ten
Bereich bleiben sollte, so hat es die Chance, in den anderen
Bereichen tastende Versuche zu machen und so seine
Fähigkeiten zu erweitern.
5. Rückblickende Überlegungen
Was ist aus den Schülern geworden?
Auch ich kann aus meinem Himmel des freien Schreibens
herabsteigen und zur Wirklichkeit zurückkehren;
denn ich habe Neuigkeiten über meine ehemaligen Schüler
erfahren, als ich mich ein wenig länger in meiner früheren
Heimat (41) aufgehalten habe.
Dieses Buch hat mich veranlasst, persönlichen Kontakt
mit den beiden markantesten Persönlichkeiten des Abenteuers
‚natürliche Methode in der Mathematik‘ aufzunehmen.
Und so hörte ich eines Abends anstelle der dünnen
Stimme, die ich in meinem Gedächtnis gespeichert hatte,
eine tiefe und volltönende Stimme am Telefon. Und als ich
am nächsten Tag auf einer Baustelle einen Kerl von dreißig
Jahren, genau so groß wie ich, auf mich zukom men
sah, konnte ich es gar nicht fassen. Ich war so über rascht,
dass ich nicht wusste, wie ich mich gegenüber einem so
ernsthaften und so verantwortungsvollen Mann verhalten
sollte; denn es ist zu schön, um wahr zu sein, und trotzdem
ist es wahr: Patrice ist jetzt Baustellenleiter.
Und als ich ihn daran erinnert habe, dass er immer sofort
die Strukturen, die andere erfunden hatten, auf die
(41) Bis dahin hatte ich immer gezögert mich meiner Heimat zu nähern,
um nicht zu sehr unter Heimweh zu leiden. Ich hatte mich vorher nur von
Zeit zu Zeit darum bemüht, Neuigkeiten über den einen oder anderen
meiner vierhundert Schüler zu erfahren. Ich hatte sie besonders genau
gekannt, nicht nur, weil sie zwei oder drei Jahre in meiner Klasse waren,
sondern weil sie so viele Möglichkeiten zu ihrer Verfügung hatten, sich
durch den freien mündlichen, schriftlichen, mathematischen, körperlichen,
gesun genen und grafischen Ausdruck als Personen darzustellen, so
dass ich sie nicht nur als Schüler in Erinnerung habe, sondern als junge
Persönlichkeiten mitten in ihrer Entwicklung.
176 177

Wirklichkeit anwandte, hat er mir geantwortet:
„Es stimmt, ich mag gerne Ideen umsetzen!“
Er war es ja damals auch, der ein ganzes, sehr langes
Abenteuer mit regelmäßigen Körpern dadurch initiiert
hatte, dass er mit viel Energie aus 5 mm starkem Karton
eine Schachtel baute, die tatsächlich wie eine Schachtel
aussah. Und er hat gesagt:
„Die Konstruktion ist einfach, das ist nur Geometrie.“
Und als ich ihn nach seiner Beziehung zur Mathematik
fragte, sagte er mir, dass er im Laufe der Jahre und
der Lehrpläne Höhen und Tiefen erlebt habe. Aber er hat
ein hervorragendes technisches Abitur (42) abgelegt. Dieses
Kind, das schon sehr früh eine gewisse Neigung zum
Pragmatismus erkennen ließ, hat also diesen Weg weiterverfolgt.
Man könnte mir vorwerfen, dass ich übertreibe, dass ich
die Fakten zu sehr verdrehe. Aber ich habe auch mit Michel
telefoniert. Bei ihm hatte ich erwartet, dass er sei ne Schulzeit
nicht mit Erfolg beenden würde. Michel hatte als der
verwöhnte Jüngste einer Familie mit drei Kindern, davon
eine Schwester mit hervorragenden Leistungen, keinerlei
elterlichen Druck bezüglich seiner Schullauf bahn erfahren.
Und so hat er nach der mittleren Reife auf gegeben.
Nach einer Zeit der Entspannung hat er beschlossen sich
weiterzubilden und hat zunächst den Abschluss (C.A.P.)
(43) als Mechaniker für Dieselmotoren abgelegt. Aber vor
allem hat er, auf dem eingeschlagenen Weg weitergehend,
ein Kapitänspatent erworben. In bezug auf Mathematik
hatte er keine Probleme: es ging vor allem um Nautik, um
(42) In Frankreich kann das Abitur in verschiedenen Zweigen der
gymnasialen Oberstufe abgelegt werden, darunter auch in Technik. (Anm.
d. Übers.)
(43) Der Berufsabschluss des C.A.P. (Certificat d‘Aptitude Professionelle)
wird an einer Vollzeit-Berufsschule erworben. (Anm. d. Übers.)
die richtige Route, um Punkte und Verlängerungen. Die
Aufgaben der Fahrtroutenbe stimmung und das Studium
von nautischen Karten faszi nierten ihn. Er war es ja auch,
der sich schon mit 7 Jahren (bei den Vektoren) für die Probleme
der Fahrstrecken interessierte!
Ich weiß, man wird sagen, dass es bei den beiden reiner
Zufall war, dass sie ihren Beruf auf ihren Neigungen
aufbauen konnten. Das kann durchaus sein. Unbestreit bar
bleibt aber, dass Kinder sehr früh bestimmte Nei gungen
haben, selbst, wenn man sie nicht bemerkt.
Es ist ein ungeheures Glück, sein Leben auf seinen tiefsten
Neigungen aufbauen zu können. Trotzdem sagt die
Familie von Patrice, dass er immer noch so verträumt ist.
Patrice, ein Träumer? Wo er doch sein eigenes Haus selbst
gebaut hat? Aber ja doch, er ist auch ein Träumer, denn
eine Persönlichkeit ist komplex, sie ist vielfältig. Es kann
bei derselben Person sowohl Verpflichtungen in der Wirklichkeit
geben als auch Zeit und Raum für Träume.
Und Michel, als Kapitän von Ausflugsschiffen zu den
Inseln? Hat ihm seine Fähigkeit zum mathematischen
Spiel dabei geholfen? Wer weiß! Ein Steuermann muss
zweifelsohne einen mathematischen Verstand haben. Die
tatsächliche Fahrstrecke eines Schiffes, das Besteck (zum
Bestimmen des Standortes), die Gezeiten, die Strömun gen
... Dabei kommt mir sofort eine dumme Frage in den Sinn.
Ich würde gern wissen, ob er auf eine seiner Erfindungen
zurückgegriffen hat, um das Phänomen der Gezeiten, die
sich jeden Tag um 50 Minuten verschieben, zu verstehen,
nämlich: „Und wenn ich einmal ums Rechteck herumgehe
und dann noch auf einer Seite?“ (vgl. S. 158). Denn genau
darum geht es bei der Phasen verschiebung.
Sicher werde ich es nie wissen. Trotzdem wird man bestätigen,
dass es wichtig und sogar unabdingbar ist, den
Kindern möglichst viele Versuche in alle denkbaren Richtungen
zu ermöglichen.
178 179

Und Pierrick, dieser Provokateur, der alles so genial
mathematisieren konnte, sortiert heute Verkehrsschilder.
Man darf sich keine Illusionen machen. Die Zeit, in der
man sein Überleben seinen fundamentalen Fähigkeiten
verdankt, ist noch nicht gekommen. Aber manchmal kann
es vorkommen. Dann ist es keine abstrakte (ent fremdete)
Arbeit mehr, bei der das Individuum nur noch ein austauschbares
Rädchen eines unüberschaubaren Getriebes
ist, sondern, wie Marx es sagte, eine konkrete Arbeit, die
sich auf der Kraftlinie des Individuums abspielt. Außerdem
wissen wir jetzt, dass man sich zum Überleben andauernd
bewegen, umsiedeln, verändern, anpassen, wiederanpassen
.... muss. Und die natürliche Methode im Mathematik-Unterricht
entwickelt solche Fähigkeiten. Wenn
man viele Gebiete erforscht hat, kann man sich auch in
neu auftauchenden Gebieten wohl fühlen. Außerdem gibt
es über den Beruf und über das Überleben hinaus noch
das Leben selbst sowie die Freude am Leben. Und die darf
sich ruhig schon in der Schule entfalten.
Lösungsverfahren und Strategie
Ich möchte noch bei meinen früheren Schülern bleiben;
denn über sie können wir etwas Wichtiges verstehen: nämlich
den Unterschied zwischen algorithmischen Lösungsverfahren
und strategischem Denken. Im Lösungsverfahren
ist an alles gedacht, alles ist von vorn herein festgelegt.
Man muss es nur noch Schritt für Schritt ausführen. Die
Strategie weiß im Großen, was sie will, aber sie ist offen
und auf Entwicklung angelegt. Sie tritt dem Unvorhergesehenen,
dem Neuen kühn entgegen. Das Lösungsverfahren
und die Strategie sind also einan der entgegengesetzt
und ergänzen einander.
Patrice hatte also sein Haus gebaut. Er war gut dafür
ausgerüstet, weil er wusste, was zu tun war. Das Lösungsverfahren
war von vornherein in seinen Hand lungen festgelegt.
In diesem Sinne lief es automatisch‘ ab. Patrice
konnte die Menge des Holzes, des Zements, der benötigten
Steine, der zu bewegenden Erdmassen aus rechnen.
Er konnte einen Plan lesen, Mörtel anrühren, eine Mauer
aufrichten ..., kurzum, er konnte ein Haus bauen.
Aber er (44) war auch derjenige, der den Plan für das
Haus entworfen hatte. Er hat zunächst lange von seinem
Haus geträumt. Dann hat er sich an die Arbeit an einem
Zeichenbrett gemacht. Dort gab es keine Vorgaben, denn
Strategie wird von Zielen geleitet und nicht von Operationen.
Nach und nach hat er es geschafft, ziemlich genau
zu bestimmen, was seine Frau und er wollten. Aber wie
konnte diese Vorstellung realisiert werden?
Es war nicht einfach, weil es harte Sachzwänge gab.
Sie hatten sich ein bestimmtes Viertel ausgesucht und sie
wollten Sonne im Wohnzimmer, aber im Süden lag ein
Hochhaus. Sie hätten gerne ein zweites Stockwerk gehabt,
aber der Bauleitplan hat es nicht zugelassen. Sie hätten
einen Keller ausheben können, aber die Kosten standen
dem entgegen: zu viel Granit im Erdreich. Die Lösung:
Das Haus sollte nur halb unterkellert und nach Nordwesten
ausgerichtet sein. Beim Schieferdach, der Zahl und der
Lage der Zimmer, der Heizung, dem Zugang zur Garage
usw. lagen die Dinge nicht anders. Sie wussten genau, was
sie gern gehabt hätten. So aber mussten sie mit Zufällen
und Hindernissen jonglieren. Trotzdem sind sie mit ihrem
Haus wesentlich zufriedener, als sie es erwartet hatten,
(44) In diesem Fall gab es, anders als bei dem theoretischen Physiker und
dem experimentellen Physiker, die zwei unter schiedliche Personen sind,
nur einen einzigen Kopf unter der weißen Mütze des Maurers
180 181

weil sie auch positive Aspekte, die nicht vorherzusehen
waren, entdeckt haben. Man muss wohl erst in einem
Haus leben, um alle angenehmen Seiten zu entdecken.
Offen sein, entwicklungsfähig sein, dem Unvorhergesehenen
und dem Neuen die Stirn bieten: Das ist eine ausgezeichnete
Strategie für das Leben. Ist das nicht bes ser, als
mit aller Macht festgelegte Lebensabläufe durch zuziehen?
Doch können wir uns ändern? Es kann moti vieren, wenn
man sich an der Wirklichkeit stößt; es kann aber auch entmutigen.
Vielleicht kann man das Glück als die Fähigkeit
definieren, bei unüberwindbaren Hinder nissen den Traum
zu verändern oder loszulassen.
Aber Michel, der Seemann, hatte keine Wahl. Kann
man das Meer ändern? Nein, es ist unvorhersehbar. Man
muss den Wind, Dutzende von Gezeiten, die Kraft der
Ebbe, die geographische Stelle berücksichtigen, um das
Schiff zu bewegen, man muss die Untiefen kennen und
die Sicherheitsgrenzen, die man nicht überschreiten darf.
Derjenige, der für ein Boot verantwortlich ist, muss andauernd
in Hab-Acht-Stellung und immer bereit sein, die
Informationen, die ankommen bzw. den Zeichen der Natur
entnommen werden müssen, zu verarbeiten. Und dabei
werden Hypothesen, die oft bestätigt wurden, zu Quasi-
Gesetzen. Sie bilden festgelegte Abläufe, auf die man sich
stützen kann, um Entscheidungen zu treffen. Aber Misstrauen
ist angebracht, denn bei der See gibt es nichts, was
sicher oder endgültig ist. Welche Verant wortung, Steuermann
eines Ausflugdampfers zu sein!
Man muss also fähig sein, gleichzeitig Strategien zu
entwickeln und Algorithmen auszuführen. Wie der Mathematiker,
der eine Gleichung entwirft und diese dann
‚automatisch‘ auflöst.
Nun gut, ich glaube, dass die natürliche Methode im
Mathematikunterricht besser als in irgend einem anderen
Bereich einen Beitrag zur Entwicklung von Strategien und
Lösungsverfahren leistet. Denn es gibt Risiken, wechselndes
Glück, Unvorhergesehenes, Vorstöße auf neue Gebiete,
Störungen, Phasenverschiebungen, Verän derungen
im Blickwinkel, das Eintauchen in Worte, Anagramme,
Rhythmen, Reime, Antireime, Eruptionen in der dritten
Dimension oder gar in der vierten, das Unendliche, das
nicht Abzählbare ... Und das bei Mit spielern, die die unterschiedlichsten
Charaktere haben: dem Erweiterer, dem
Erfinder, dem Nachmacher, dem Aufnehmenden, dem
Herumstreifenden, dem Störer, dem Phasenverschieber,
dem Entwickler, dem Phantasten, dem Ausdenker, dem
visuellen oder dem auditiven Typ, dem Oppositionellen,
dem Herrscher usw.
Und jedes Mal muss man sich bewusst machen, was
passiert, was sich ereignet, was auftaucht: eine neue Regel
beispielsweise oder zwei Regeln, die gleichzeitig zu beachten
sind... Man muss Lösungen, Auswege, Flucht wege
finden, wie es Tiziano und der kleine Robin ver sucht
haben. Oder wie es eine Beute in dem Moment tut, in
dem sie gefangen wird. Und all das nur, um Intelligenz
zu entwickeln. Aber auch Spiel, Neugier und freies Experimentieren
können sich in der Geborgenheit der Gruppe
entfalten.
Beim Begriff Intelligenz fällt mir ein Ausdruck ein,
den ich erst jetzt verstehe. Bei den Wettbewerben um
nationa le Stipendien gab es früher ‚verwickelte‘ Probleme,
das waren ‘Probleme für die Intelligenz‘ (45) . Und als Kandidat
fand man überraschende Aufgaben vor. Anstelle
des klassischen: „Ein Zug fährt um 8.45 Uhr los...“ oder
eines „Ein Kaufmann kauft ein Fass, das 228 Liter fasst,
(45) ‘problemes ficelles’ ist gleichbedeutend mit ‘problemes d’intelligence’
(Anm. d. Übers.)
182 183

...“ hatte man jetzt Anrecht auf eine sehr lange Aussage:
„Jacques hat erzählt, dass ...“
Schon allein der Anfang bringt einen vom Wege ab.
Keine Möglichkeit mehr, die Problemlösungsformel, die
man so gut kennt, automatisch anzuwenden. Man muss
nachdenken, sich der Gegebenheiten vergewissern, den
richtigen Lösungsweg finden usw.
Nun gut, es ist klar: Um die Schüler auszuwählen, die
zu längeren Studien fähig sind, versucht man, ihre Fähigkeit
zu strategischem Denken zu testen. Dagegen hat man
für das ‚Certificat d‘Etudes Primaires‘ (46) überprüft, ob
die Kandidaten die Lösungswege, die zu bestimmten Problemtypen
gehören, sicher gelernt haben.
So trichterte man uns früher Lösungswege, nichts als
Lösungswege ein. Jetzt muss man sie selbst konstruieren
und seine Fähigkeiten zur Strategie, die in unserer Zeit so
notwendig geworden sind, weiter entwickeln. (47) Noch nie
lebten wir in einer Welt, die sich so schnell verändert. Wir
sind dauernd gezwungen, neuen Situationen die Stirn zu
bieten. Auf diese Welt müssen wir die Kinder vorbereiten.
Wir können mit Morin sagen,
„dass jede Entwicklung des strategischen Denkens als
eine emanzipatorische Entwicklung zu mehr Autonomie
des Menschen gegenüber seiner Umwelt angesehen wer
den kann.“
(Morin 1986, S. 63)
(46) Das ‚Certificat d‘Etudes Primaires‘ war ein Examen in Frankreich,
das etwa dem Hauptschulabschluss entspricht. (Anm. d. Übers.)
(47) Dieser Umschwung ist in Frankreich viel einschneidender als
in Deutschland, weil das gesamte Schulsystem auf die Vermittlung
eines enzyklopädischen (und damit auch abfragbaren) Wissens
ausgerichtet war (und größtenteils noch ist). Das gilt auch für die
weiterführenden Schulen. (Anm. d. Übers.)
Die Autonomie der Menschen, das ist etwas, was uns
Freinet-Lehrer kraftvoll mobilisieren kann. Und das ver
suchen wir mit Hilfe neu gewonnener Erfahrungen vor
anzutreiben.
„Aber missachtet ihr dabei nicht zu sehr die Wirklichkeit?
Seid ihr überhaupt noch Freinet-Pädagogen?“
Achtung, an dieser Stelle möchte ich einen wichtigen
Punkt hervorheben, nämlich den Aspekt der Neuerung,
welche die natürliche Méthode im Mathematik-Unterricht
darstellt. Denn so, wie die nicht-euklidische Mathematik
die euklidische nicht überflüssig, sondern sie zu einem
Spezialfall macht, so bleibt fast alles, was bis heute verwirklicht
worden ist, gültig. Sonst wäre es eine zu große
Umwälzung.
Trotzdem muss man folgendes sehen: So, wie das
Einstein’sche System nicht die Folgerung aus dem
Newton’schen System ist, sondern etwas gänzlich ande res
darstellt, ist die natürliche Méthode keine Ver besserung
des ‚lebendigen Rechnens‘, sondern beinahe das Gegenteil.
Natürlich nehmen auch wir jede passende Gelegenheit
wahr, um Ereignissen aus dem Leben einen Platz im
Mathematikunterricht einzuräumen. Denn gera de diese
Ereignisse mit ihren vielschichtigen Konnota tionen gewährleisten
ein Maximum an Lernen und Behalten. Übrigens
baut unser Unterricht genau darauf auf: Jede Stunde
ist, für sich selbst genommen, ein Ereignis. Dennoch ist
es in gewisser Weise ein internes Ereignis innerhalb eines
geschlossenen Systems.
Aber manchmal dringt eben die Umgebung, die Umwelt
in die Welt des Klassenzimmers ein. Und manchmal
tut man gut daran, dem die ganze Aufmerksamkeit
zu widmen und darauf einzugehen. Zum Beispiel der
Empfang oder das Abschicken eines Paketes, die Anlieferung
von Weintrauben durch einen kleinen Winzer, die
Sonne, die nach dem Unterrichtsbeginn aufgeht, usw. Ich
184 185

selbst habe das lebendige Rechnen ausgiebig praktiziert.
Überall habe ich Anlässe dafür wahrgenommen: in der
Anordnung der Tische im Klassenraum, das Aufteilen der
Schokolade, die wir aus der Schweiz erhalten haben, die
Anzahl der Blätter für die Schulzeitung ...
Aber es war immer ich, der Lehrer, der die mathematischen
Strukturen gesehen und aufgegriffen hat. Und
genau das ist der Unterschied. Einige der Kinder waren
sehr empfänglich für meine Begeisterung. Sie teilten sie
ganz offensichtlich. Aber ich glaube, dass mir in Wirklichkeit
vier oder fünf Schüler genügten, damit ich den
Eindruck hatte, es funktioniert. Und so machte ich mir
etwas über die tatsächlichen Fortschritte vor.
Das alles hat sich geändert, als ich die kopernikanische
Wende vollzogen habe: vom Kinde auszugehen. Und
wenn ich dann die Schülerarbeiten anschaue, stelle ich mit
Erstaunen fest, dass wir sehr oft von einer ‚Erfindung‘
ausgehend in den praktischen Bereich eingetaucht sind.
Hier zum Beispiel bei Jean-Paul.
Bei dieser Gelegenheit haben wir uns Eimer, Fässer
und Tonnen für den Cidre auf seinem Bauernhof angesehen.
Danach hatte das Atelier ‚Messen von Volumen‘ noch
größeren Zulauf als davor.
Ähnlich war es bei Yvon, dem Sohn eines Tischlerunternehmers
im Bauhandwerk.
Er hat gezeichnet und geschrieben:
Natürlich habe ich die Gelegenheit ergriffen und die
Schüler zum Lachen gebracht, indem ich gebückt herumgegangen
bin: Ich war ein Mini-Lehrer. Aber dann sind
wir auf Millimeter zurückgekommen. Trotzdem habe ich
die Situation nicht sofort benutzt, um den Kindern Begriffe
und Ergebnisse zu vermitteln, d.h. sie in den Verantwortungsbereich
und Denkhorizont des Lehrers zu
ziehen.
Nein, Anlass für Maße und Messen war eine ganz andere
Situation: als nämlich jemand Kartonschilder aus
einer Apotheke mitbrachte und alle sich darauf stürzten,
um mit Hilfe einer Säge einen riesigen Würfel daraus zu
bauen. Außerdem lernten sie viel über Maße und Messen
durch den Gebrauch von Millimeterpapier für Flächenberechnungen
(mit immer kleiner werdenden Kästchen). Im
Anschluss daran hat Yvon übrigens einen Plan von sei nem
Haus mitgebracht. Das hat uns wieder zur Wirklichkeit
zurückgeführt oder genauer zur Darstellung einer konstruierten
bzw. zu konstruierenden Wirklichkeit.
Wenn ich in meinen Dokumenten nachschlage, erstaunt
mich, wie sehr ich meine Anwesenheit schon zurückgenommen
habe. Man hält mir oft vor:
„Du erklärst ziemlich schlecht. Und du bist Lehrer?“
186 187

Aber die Kinder haben es sich längst selbst erklärt. Für
mich bestand keine Notwendigkeit mehr, ihnen irgendeine
Information, wie perfekt auch immer, zu geben, weil sie
nämlich eine Information geblieben wäre.
Ich habe übrigens eine Bestätigung für dieses Phänomen
erhalten, als mir Monique Quertier begeistert Arbeiten
(Erfindungen) aus dem Bereich der Geometrie von ihrer 3.
Klasse gezeigt hat. „Die Kinder haben alles wie derentdeckt:
Sie haben ausgehend von den freien mathemati schen Texten
alle Definitionen wiederentdeckt.“
Hier einige dieser Texte:
Florian: Die Streifen:
Kamal:
(Ist das eine Raute?)
Confik: Confik:
(Rate: Quadrat oder Raute?)
Chrystel:
Céline:
(A geht zu...
B geht zu ...)
188 189

Cedric:
Die Frage nach dem didaktischen Material
Ich habe Patrice später auf einer anderen Baustelle
getrof fen. Er hat mir erzählt, dass er Architekt hätte werden
können, aber er mag die Konstruktionen lieber selbst
aus führen. Trotzdem wird er wohl Unternehmer werden.
Dort kann er seine vielen Kompetenzen anwenden, die
auf seiner Kreativität und seiner herausragenden Fähigkeit
beruhen, alle notwendigen Arbeitsschritte zu berücksichtigen.
Denn er ist kreativ: Er kann, wenn es nötig ist, eine
Betonplatte rutschen lassen und anschließend Stützen errichten,
die sie halten sollen. Oder er fängt mit der Renovierung
einer Fassade von oben an. Aber das geschieht
nicht aus einem Spiel oder aus reiner Lust her aus, sondern
weil es in dieser Situation besonders zweckmäßig ist. Er
tut es, damit die Zimmerleute und die Dachdecker gleichzeitig
anfangen können. Er liebt es, Strategien auszuarbeiten:
„Es ist interessant, weil jede Baustelle unterschiedlich
ist.“
Aber ich war sehr erstaunt, als er mir gesagt hat,
dass eine seiner grundlegenden Fähigkeiten auf meinen
Unterricht zurückzuführen sei. Er meinte die Fähigkeit,
sich die zweidimensionalen Formen auf den Blaupausen
der Architekten sofort dreidimensional vorstellen zu können.
Diese erstaunliche Fähigkeit erlaubt es ihm, seinem
Trupp ohne Verzug die Arbeiten zu erklären, die getan
werden müssen.
Ich hatte vermutet, dass er sich dabei auf unser Abenteuer
mit der Konstruktion von festen Körpern bezieht. Er
brachte aber eher meinen ‚Bänderkäfig‘ mit seiner Fähigkeit
in Verbindung.
Um den Kindern zu ermöglichen, auch im Raum zu
experimentieren, hatte ich eine Struktur erfunden, die
die Symbolisierung von Körpern erlaubt. Stellen Sie sich
einen Würfel vor: die Decke und der Boden, eine 25 cm
x 25 cm große gelochte Platte. Beides sind vorgefertigte
Teile; die vier Pfosten: Winkeleisen aus dem Stabilbaukasten.
Zwischen der Decke und dem Boden konnte man
völlig frei weiße Gummibänder spannen, indem man sie
in den Löchern befestigte. Man konnte ohne eine vorgefasste
Idee nach dem Zufallsprinzip arbeiten und manchmal
entdecken, dass es z.B. einem Zirkuszelt ähnelte, einer
Manege oder einer Rakete. Und manchmal reichte es aus,
die Position von zwei oder drei Bändern zu verän dern, um
einen Körper von großer Klarheit zu erhalten: einen senkrechten
Zylinder, eine vertikale Pyramide, einen schiefen
Kegel...
Jeder Schüler der 3. Klasse musste sich mindestens einmal
damit beschäftigen, sollte probieren und sehen, ob er
nicht zufällig ein faszinierendes Forschungsfeld ent deckte.
Und es waren Pierrick, der Kreative, und eben Patrice, die
sich als die Eifrigsten entpuppten.
Mit dieser Enthüllung stellt sich die Frage nach der (materiellen)
Ausgestaltung einer günstigen Lernum gebung.
Allerdings sollte man nicht zu große Hoffnungen in die
Unterstützung durch das Material setzen.
190 191

„Man wird feststellen, dass die Unterstützung niemals vollständig
trägt. Das sieht man, wenn ein Kind sich mit Hilfe
von strukturiertem Material ein eng begrenztes Thema
erarbeitet. Zunächst glaubt man, dass dank des Materials
dieser Begriff gründlich erworben und bestimmte Fortschritte
erzielt worden sind. Tatsächlich stimmt das aber
oft überhaupt nicht, und die gleichen Schwierigkeiten wie
vorher tauchen wieder auf, sobald die Handlungen mit
dem Material aufgegeben werden.“
(Jean-Claude Pomes)
Das haben Lehrer sehr oft feststellen müssen.
Man muss also Werkzeuge bereitstellen, die die Handlung
nicht auf ein bestimmtes Thema eingrenzen: Lineal,
Dreieck, Zirkel, Winkelmesser, Karten, Bänderkäfig,
Cuisenaire-Stäbe, Computer mit der Programmiersprache
LOGO,...
Das ist ein Thema, über das wir noch weiter nachdenken
müssen.
Ich persönlich meine, dass die Kinder verpflichtet werden
sollten, solche Werkzeuge zumindest einmal zu benutzen,
damit sie von ihrer Existenz wissen und damit
umgehen können, wenn sie sie brauchen. Aber man sollte
ihnen nicht vorschreiben, wie und wie lange sie damit
arbeiten.
So kann Patrice, der Realist, mit dem Bänderkäfig versuchen,
reine Körper zu konstruieren. Pierrick, der Erfinder,
wird auf die Decke und auf den Boden verschiedene
Formen zeichnen, um zu sehen, was dabei rauskommt,
wenn er die Fäden spannt. Jacques, der Mathematiker,
wird sich Kurven für oben und unten ausdenken. Und er
wird es Christian, dem Handwerker, überlassen, sein Programm
zu verwirklichen. Aber Gael, der allergisch gegenüber
der Arbeit mit Materialien ist, wird in das LOGO des
Computers eintauchen. Er wird diesen Apparat zunächst
in einer eingeengten Weise benutzen, aber die anderen
werden ihn durch ihr Beispiel wahr scheinlich ermutigen,
sein Arbeitsfeld zu erweitern ....
In der Erziehung werden wir der Komplexität der
Dinge nicht gerecht, wenn wir nicht versuchen, möglichst
viele Elemente der umgebenden Situation einzubeziehen.
Und unsere Möglichkeiten in diesem Gebiet sind, wie das
Beispiel des didaktischen Materials zeigt, sehr viel größer,
als man es vermuten könnte.
Die Kraft, die uns antreibt
„Das menschliche Wesen weiß nicht, was es wünschen
soll. Es sind die anderen, die es für ihn festlegen, indem
sie es selbst wünschen.“
(Girard, 1978)
Doch diese Aussage von dem blinden Eifer zur Anpassung
stimmt plötzlich nicht mehr, wenn man sich auf seine
eigenen Wurzeln und Bedürfnisse zurückbe sinnt, wie
es durch den freien mathematischen Text möglich wird.
Deshalb habe ich mich hier wie in den anderen Gebieten
dafür eingesetzt, dass die Kinder ihre individu ellen Wege
suchen und gehen konnten, indem ich jeden einzelnen,
soweit es möglich war, z.B. vor jedweder Bewertung geschützt
habe. Und vor allem vor meiner eigenen. Entsprechend
dem Prinzip der Gleichbehand lung habe ich mich
bemüht, jeden zweiten Tag von jedem Kind eine Erfindung
vorzustellen. Und ich habe versucht, mich parallel
dazu durch Lektüre und Gespräche zu bereichern und
mich in die Lage zu versetzen, so viel wie möglich von
den Kindern wahrzunehmen.
Natürlich quälte mich beim ersten Mal der Wunsch
nach sichtbaren Ergebnissen und nach mehr Festigung
192 193

des Wissens, aber ich habe meiner Angst widerstanden,
indem ich mir Grenzen gesetzt habe. „Ich verbiete dir, vor
Weihnachten Angst zu haben.“
Und zu Weihnachten: „Nun, du bist kein Mann, wenn
du nicht bis Ostern durchhältst.“
Nun, es hat sich als richtig erwiesen, dass ich in diesem
ersten Jahr ausgehalten habe, denn zu Ostern hatten
wir nicht nur den Lehrplan erfüllt, sondern waren weit
darüber hinausgegangen. Und vor allem hatten die Kinder
großen Hunger auf Mathematik. Um das deutlich zu
machen, stelle ich jetzt ein Dokument vor, das Jean Astier,
ein Lehrer aus dem Departement Var, geliefert hat (siehe
Abbildung auf der folgenden Seite). Er schreibt als Erläuterung
dazu:
„Dieses Dokument wurde von einem vierjährigen Mädchen
namens Céline allein, d.h. ohne Einmischung
durch irgendeinen Erwachsenen angefertigt. Ich habe
es erst lange Zeit, nachdem es angefertigt worden ist,
gefunden...
So paradox das auch scheinen mag, die Mathematik ist
ein Ort des persönlichen Ausdrucks. Sie ermöglicht,
dass grundlegende Ausdrücke, die an die Lebens
geschichte der Person gebunden sind, auftauchen. Der
Beweis dafür ist, dass sich Céline für Paare entschieden
hat. Warum hat sie Paare gemalt? Hat das mit der
momentanen Beziehung zu tun, die zwischen ihren
Eltern herrscht? Oder mit der zwischen ihr und ihrer
Mutter? Ich kann es nicht genau sagen, aber ich bin mir
sicher, dass sie in ihrer Aussage nicht nur durch die
zufällige Begegnung mit einem perforierten Blatt
Endlospapier geleitet war.“
(Jean Astier)
Als ich dieses Dokument gesehen habe, wurde ich vor
Verblüffung ganz aufgeregt. „Was? Schon in diesem Alter?
Und was man alles darin erkennen kann: das Binärsystem,
Entscheidungsbäume, Ahnenforschung, andere
Zahlensysteme usw.“ In meiner Klasse hätte ich natürlich
selig geschwiegen und mich zurückgehalten. Ich wäre
194 195

sicher nicht nach vorne gestürzt, sondern hätte einfach zugehört
und mich damit zufrieden gegeben, die Aus sagen
der Kinder zu wiederholen und zu unterstreichen. Das folgende
Beispiel erhielt ich von Philippe Bertrand, Lehrer
im Departement Finistére.
(Man könnte versuchen, das dem LOGO - Igel beizubringen)
Katelle (3. Klasse) hat das kleine Zeichendreieck mehr
als 100 Mal drehen lassen (welche Ausdauer!) und dann
vorgeschlagen, dass sie dies alles dem Igel auf dem Computer
(in der Programmiersprache LOGO) beibrin gen
will.
Ein drittes Dokument aus der Klasse von Joseph Portier,
Lehrer im Departement Manche:
Die Arbeit dieses 5 Jahre alten Kindes ist erstaunlich.
Sein Lehrer, Joseph Portier, hat sofort erkannt, dass in der
Konstruktion der Begriff der Ähnlichkeitstransformation
sowie die Funktionen y = ax und auch y = ax2 angelegt
196 197

sind. Und das in diesem Alter! Sebastien hat nur unter
Schwierigkeiten lesen gelernt. (Anscheinend wie Einstein,
den man als ein wenig zurückgeblieben eingeschätzt hatte.
Aber im Bereich der mathematischen Produktion war er
erstaunlich kreativ)
Natürlich könnte man einwenden, dass dieses Kind sich
dies alles nicht allein ausgedacht haben kann. Das stimmt;
denn es ging in eine gemischte Klasse einer Zwergschule,
und die anderen Schüler, die alle viel größer waren, stellten
ebenfalls viele freie mathematische Texte her. Aber
was macht das?
(Übrigens schauen wir uns selbst an, wir haben auch
nicht alles allein erfunden. Es gibt zweifellos auch eine
mathematische ‚Zwischentextlichkeit‘) (48)
Das was zählt, ist, dass das Kind aktiv bereit ist, die
Idee aufzugreifen.
Und wenn diese Idee Anerkennung findet - einfach dadurch,
dass die Gruppe sich damit beschäftigt -, ist damit
in dem üppigen Garten des Unterbewussten ein Keim gelegt,
der viele Entwicklungsmöglichkeiten in sich trägt.
Dieses Phänomen wird z. B. in dem großen Jubel von Sebastien
sichtbar, der auf dem Bild über all den Raketen
schwebt, die zum Abflug bereit sind.
Sehr aufschlussreich könnte es sein, sich nach dem
Grund für die zweite Fünf zu fragen. Denn es ist immer
die ungewöhnliche Einzelheit, die den meisten Sinn stiftet,
wie die Psychoanalytiker meinen. Die Antworten, die
man von den Kindern erhält, sind oft überraschend und
immer sehr lehrreich.
(48) ‘Zwischentextlichkeit’ ist eine Theorie, die davon ausgeht, dass man
niemals etwas völlig Neues schreibt, dass sich alles, was man schreibt, in
den Texten wiederfindet, die bereits geschrieben wurden. Kurzum, die
Texte zitieren einander, stehen miteinander in Verbindung.
Wie hier in einem Beispiel aus einem 1. Schuljahr, das
von Anne-Yvonne Charpentier, einer Lehrerin in Rennes,
gezeigt wurde:
Oh, dieses ungewöhnliche ‚SS‘. Das Kind wohnt in
einem Hochhaus mit 18 Stockwerken. Das ‚SS‘ (Abkürzung
von ‚sous-sol‘ - Keller) könnte ein anderes Kind aus
einem anderen Hochhaus anregen, statt dessen 0, -1, -2
zusagen.
Hier eine Linie:
Die Lehrerin hatte gesagt:
„Ihr wisst, ihr könnt auch etwas anderes als gerade
Linien (49) zeichnen. Ah! Und was hast du gemacht,
Rozenn?“
„Eine linke Linie“ (gezeichnet mit der linken Hand).
(49) ‘lignes droites’ heißt auf deutsch: gerade Linie; droite heißt außerdem
auch rechts (Anm. d. Übers.)
198 199

Perig (5 1 / 2 Jahre):
„Was ich oben hingezeichnet habe, ist die Aufgabe. Das
bedeutet, dass man alle Dreiecke und alle Quadrate durchstreichen
soll.“
Nun gut, ich sehe darin ganz einfach eine Programmierung,
eine Reihenfolge von Handlungen, die auszuführen
sind.
„Wo hast du gelernt, so etwas zu tun, Perig?“
„Nirgends, so etwas denke ich mir oft aus.“
Selbst, wenn es nicht ganz stimmt, öffnet sich trotz dem
die Welt der Programmierung für ihn. Er hat das Prinzip
verstanden und schafft sich selbst Programme, die verwirklicht
werden können.
Perig: „Wenn man klein ist, kritzelt man rum. Später
kritzelt man weniger. Und dann, wenn man viel größer ist,
zeichnet man richtige Sachen.“
Die Pfeile zeigen den Fortschritt.
Bei der Arbeit mit der natürlichen Methode gibt man
sich sehr oft damit zufrieden, bestimmte Themen nur anzureißen.
Da man aber intensiv und viel arbeitet (jeden
Tag für die Dauer von zwei oder drei Jahren), kommt es
durch die steten Wiederholungen immer wieder zu einer
Festigung und Vertiefung des Gelernten. Die verschiedenen
Bereiche werden unter ständig neuen Aspekten regelmäßig
wiederholt. Die Kinder halten aber nur dann inne,
um einer Frage intensiver nachzugehen, wenn sie dazu
innerlich bereit sind. Wenn sie dafür reif sind. Zu ihrer
Stunde. Und wenn man manchmal dieselben Vorlieben
wiederfindet, dieselbe Begeisterung, dieselben Investitionen,
dann ist das nicht mehr der Einfluss des Lehrers.
Und so wie „die Wissenschaft nicht nur das gegenseitige
200 201

Durchdringen der Dinge in den Blick nimmt, sondern
auch und vor allem das gegenseitige Durchdringen des
Verstandes“ (Bachelard, 1970), so verwirklicht unsere
pädagogische und didaktische Konzeption des Mathematikunterrichts
dieses Versprechen, den Geist im Zustand
einer dauerhaf ten Gärung zu halten.
6. Die Weiterentwicklung der Idee
Wenn es jemanden gibt, der kaum in Gefahr gerät, in
einen dogmatischen Schlaf zu versinken, dann ist es der
Lehrer, besonders, wenn er nach der natürlichen Methode
arbeitet. Denn das wird nicht ohne Schwierigkeiten abgehen.
Er muss an diesen Weg wirklich glauben. Er muss
die Notwendigkeit wirklich fühlen. Hätte ich persönlich
nicht eine lange Erfahrung mit dem freien geschriebenen
Text gehabt, dann hätte ich nicht so stark an die Kraft des
‚freien mathematischen Textes‘ glauben können (der übrigens
viel freier als der geschriebene ist, weil das familiäre
Umfeld weniger davon versteht und deshalb auch nicht
eingreifen kann).
Die Erfolge (50) werden den Lehrer jedoch recht bald in
seiner Entscheidung bestärken, den Versuch fortzuset zen.
Aber kommen wir zurück zu unserer Frage: Wie sieht
die Zukunft der natürlichen Methode in der Mathematik
aus? Man kann davon ausgehen, dass sie in Frankreich
Fuß gefasst hat, so wie es einige Erfahrungsberichte im
(50) Ich möchte nebenbei bemerken, dass ich Gelegenheit hatte, diese
Methode in weiteren Bereichen anzuwenden. Bei einem internationalen
Seminar in Deutschland hatte ich sogar die Gelegenheit, bis zum freien
‚musikalischen Text‘ vorzustoßen. Weil es zwölf elektronische Klaviere
gab, mit denen man auch leise für sich spielen konnte, eröffneten
sich ungeheure Möglichkeiten im Fach Musik, das auf diese Weise
demokratisiert werden konnte. Jeder kreierte zunächst für sich allein
einen freien ‚musikalischen Text‘, den wir dann den anderen laut
vorspielten. Einen davon wählten wir aus und jeder spielte ihn nach, um
ihn aufzunehmen und so weiter ... Auch in diesem Bereich kann sich jeder
ein umfangreiches Wissen erarbeiten, indem er von den Erfindungen der
Gruppe ausgeht und aus ihrem Reichtum schöpft. Die deut schen Kollegen,
gleichzeitig Musiker und Pädagogen, setzten sich, ebenso wie die Finnen,
voll und ganz dafür ein.
202 203

Buch bezeugen. Aber kann man sich mit diesem ‚Standbein‘
zufrieden geben? Der große französische Mathematiker
Rene Thom hat gesagt, dass man die Mathematik
eigentlich nur bis zum Alter von vierzehn Jahren zu
unterrichten brauche. Alles, was danach kom me, werde
nur von 5 % der Franzosen verstanden. Aber wenn wir
es schaffen, dass wenigstens 75% der Kinder unter vierzehn
Jahren nicht unter der Mathematik leiden müssten
und sogar Freude daran fänden, dann ist dies doch den
Einsatz wert.
Bis jetzt erstreckt sich unsere Erfahrung in Frankreich
vor allem auf die unteren Klassenstufen, von der Vorschule
(‘maternelle’) bis zum 3. Schuljahr (also vom 3. bis zum
9. Lebensjahr). Es gab auch einige Versuche im 4. und 5.
Grundschuljahr und in der Sexta. Aber die natürli che Methode
ist auch für wesentlich höhere Stufen geeig net.
Schon jetzt wird deutlich, dass diese Methode vom Lehrer
fordert, selbst seine Kenntnisse weiterzuent wickeln.
„Schüler zu bleiben, muss der geheime Wunsch eines
Lehrers sein. Tatsächlich wechseln sogar Wissenschaftler
von einer Schule in die andere. Die Dialektik von Lehrer
und Schüler kehrt sich oft ins Gegenteil um. Es gibt dort
Elemente einer dialogischen Pädagogik, und man ahnt
weder deren Kraft noch deren Neuheit, wenn man nicht
aktiv in einer wissenschaftlichen Schule mitarbeitet.“
(Bachelard 1970, S. 23)
Natürlich werden zunächst vor allem diejenigen Lehrer
und Lehrerinnen anfangen, die Freude an der Mathematik
selbst haben und außerdem über genügend Selbstbewusstsein
verfügen. Aber die natürliche Methode funktioniert
nur, wenn sich die Lehrer auch für eine ande re
Freude öffnen, nämlich der Freude des diplomatischen
Geschicks. Denn jetzt steht nicht mehr die Freude an der
Macht durch Wissen im Vordergrund, sondern die Freude
über die Fortschritte der Kinder, die sich gerade aus unserer
Zurückhaltung ergibt. Das Wissen ergießt sich nicht
mehr von oben nach unten; es wird sozusagen horizontal
erworben. Der Lehrer dient nur noch als Katalysator. Es
ist ein Sieg über sich selbst, den man erringen muss.
Ich persönlich bin in meinen Handlungen nicht immer
eindeutig gewesen. Aber ich war immer darum bemüht, es
zu sein. Zusammen werden wir uns bessern.
Wir müssen uns also selbst weiterbilden und uns zusammen
weiterbilden, damit wir die Erfindungen der Kinder
optimal aufnehmen können. Und wenn es nötig sein
sollte, würden wir dafür sogar lernen, dass
„das Dromedar, das auf der Hypotenuse konstruiert
wurde, gleich der Summe der Dromedare ist, die auf den
beiden anderen Seiten konstruiert wurden.“
(Bachelard 1970, S. 93)
Die gegenseitige Fortbildung der Lehrer
Doch warum warten? Sprechen wir doch jetzt gleich
von unserer gegenseitigen Fortbildung, von unserer
Verwand lung in Personen, die fähig sind alle Reichtümer
zu wit tern, die sich hinter der kleinsten Erfindung verbergen.
Aber auch über unsere Verwandlung in Personen, die
in der Lage sind, den aufkeimenden Wunsch nach einer
gründlichen Untersuchung zu zügeln und sich auf aufmerksames
Zuhören zu beschränken. Zuhören kann allerdings
auch heißen, einmal eine interessante Bemerkung,
die in der Gruppe gemacht wurde, wiederholen zu las sen.
204 205

Sehen wir uns einige Beispiele an:
Regelmäßig arbeiten Kinder mit solchen Tabellen:
Natürlich denkt der Lehrer sofort an Flächenberechnung,
an die Kommutativität der Multiplikation usw. Aber
er sagt nichts. Und hier trägt Jacques (2. Klasse) Zahlen
ein.
Warum eigentlich nicht, nach allem? Der Lehrer hätte
vielleicht eine Vorstellung, was man daraus machen
könnte, aber er begnügt sich damit, die Überlegung eines
Kindes aufzunehmen:
„Ja, das ist wahr, er hat eine Tabelle mit Zahlen
gemacht.“
(Der Lehrer hat das Wort ‘Tabelle’ geliefert. Er ist nicht
der Stumme aus dem Serail. Er kann zumindest das Vokabular
liefern.)
Natürlich lässt sich das verallgemeinern:
Also, der Lehrer freut sich: Er sieht Äquivalenz klassen.
Alle Zahlen der ersten Spalte gehören zur selben Klasse,
denn, wenn man sie durch 4 teilt, bleibt immer der Rest
1. Es ist eine Restklasse (mod 4), die entsteht, wenn man
durch 4 teilt. Aber der Lehrer sagt nichts. Dann hört er
Gilbert sagen: „4 + 4 = 8 und 8 + 4 = 12“ Er lässt ihn
wiederholen. Und fügt hinzu: „Ja richtig, diese Spalte ist
interessant. Aber es gibt auch andere Spalten.“
Dieses Verhalten könnte man kritisieren. Hat er das
Recht, den zweiten Satz hinzuzufügen? Aber wir brauchen
dabei keine Skrupel zu haben. Wir werden uns nicht
durch den Absolutheitsanspruch einer Verhaltensnorm
handlungsunfähig machen lassen. Wenn man Lust hat es
zu sagen, dann sagt man es. Ich selbst denke, dass es unsere
Aufgabe ist, von Zeit zu Zeit einen weiteren Schritt
anzuregen. Aber man kann es in aller Gelassenheit tun;
denn wenn die Gruppe noch nicht reif ist, dann wird sie
diesen Impuls nicht aufnehmen. Es kann jedoch zufäl lig
passieren, dass er sich unbewusst in irgendeinem Gehirn
festsetzt. Dann wird er Früchte tragen. Wenn der Lehrer
auf jeden Fall schweigen müsste, dann wäre er vielleicht
doch überfordert. Er muss (und darf) sich schließlich so
verhalten, wie es seiner Persönlichkeit und seiner momentanen
Sicht der Dinge entspricht. Und wenn er auf
Gleichgesinnte trifft, dann beschließt er viel leicht, ebenso
wie sie, so lange wie möglich nichts zu sagen. Und vielleicht
findet er auch Gefallen daran. Aber ob es so läuft,
hängt immer von der Situation ab. (Manchmal, vor allem
am Anfang, darf man nicht zögern einzugreifen, damit es
überhaupt losgeht.)
In der folgenden Zeit bricht die ‘Tabellenkrankheit’
aus. Es tauchen alle möglichen Arten von Tabellen auf.
Der Lehrer weiß, dass die Zweier-Tabelle für gerade und
ungerade steht, dass die Siebener-Tabelle dem Kalender
entspricht und dass die Zehner-Tabelle das Dezimal system
206 207

zeigt. Und mit der Neuner-Tabelle kann man auch den Beweis
für ‚geteilt durch neun‘ verstehen, da er auf den Restklassen
(mod 9) basiert.
Und dann bringt Philippe einen Kalender mit. Aber
warum denn? Gibt es nicht schon einen in der Klasse?
Und hat der Lehrer nicht bereits gesagt, dass er wie die
Siebener-Tabelle ist? Offensichtlich haben sie nichts von
dem aufgenommen, was er gesagt hat.
Aber als Philippe seinen Kalender mitgebracht hat,
haben wir plötzlich alles verstanden. Wir sind nämlich
auf die Idee gekommen, ihn mit der Siebener-Tabelle von
Christian zu vergleichen. Welch ein Ereignis!
Aber dann sagt ein Realist:
„Monsieur ..., das Tastentelefon ist eine Dreier-
Tabelle.“
Also schauen wir uns den Apparat an. Und wir stellen
fest, dass die Null eine eigene Reihe hat. Der Lehrer sagt:
„Ah, dort ist die Null!“
Als ob sie woanders sein könnte! Aber Philipp La vis
bringt uns eine Erfindung aus seiner Vorschulzeit mit:
In dieser Sitzung wollten die Kinder die Ziffern zählen.
Die spontane Antwort:
„Das sind 9.“ Dann, einige Zeit später: „Nein, das sind
10.“ Des Rätsels Lösung: Die einen zeigten zuerst auf die
1 und zählten eins, zwei usw. Die anderen dagegen zeigten
zuerst auf die 0, zählten aber ebenfalls eins, zwei, usw. (51)
Damit der Unterschied zwischen Nummern und Zahlen
deutlich wird, haben wir die Zahlen in Operationen
eingebunden:
Das Ergebnis sind hier die Restklassen (mod 5) (wenn
man durch 5 teilt) (52) .
Wir haben also die Restklassen: r0 , r1 , r2 , r3 , r4.
Und dieses Mal steht die Restklasse r0 am Anfang und
nicht am Ende.
„Aber Monsieur ..., dann ist die Null auf dem Telefon
nicht auf ihrem Platz.“
(51) Die Kollegen aus dem Departement Pas-de-Calais haben uns erklärt,
dass es sich in dieser Situation nicht um Zahlen, sondern um Nummern
handelt. (Wie bei der Waschmaschine oder wie im Fahrstuhl ...) „Es sind
erst dann Zahlen, wenn sie in Operationen eingebunden werden.“
(52) Ich habe diese Klammer hinzugefügt, weil einige Freunde mir gesagt
haben, dass sie noch nichts von dem ‚modulo‘ verstanden haben. Und wie
viele mathematische Blockaden sind wegen einer einfachen Frage nach
dem verwendeten Vokabular dauerhaft auf gebaut worden! Also, man
muss zumindest für einige Zeit einen Ausdruck und seine Bedeutung
gleichzeitig verwenden, damit der Begriff hinreichend gefüllt wird und
nicht verloren geht. Übrigens haben die Kinder spontan Begriffe wie
‚tierce‘ (Dreier, Drilling) und ‚der zerstreute Weg‘ ausgedacht. Warum
eigentlich nicht? Denn man versteht sie und man versteht sich gegenseitig.
Zumal, wenn es sich um ein Wort von Jacques mit seinem trocke nen
Humor oder von Jean-Marc, diesem krausköpfigen Spaßvogel, handelt. Wir
haben noch genügend Zeit, die mathematischen Ausdrücke zu übernehmen
(die der Lehrer unterdessen regelmäßig einbringt).
208 209

„Ja. Fragt sich jemand warum?“
Mit dieser Arbeit über Äquivalenzklassen ist der Lehrer
zufrieden; sie verschafft ihm Sicherheit. „Super! Wir verlieren
keine Zeit; wir arbeiten bereits an der Division!“
Und hier etwas, das sich die stille, kreative Joelle ausgedacht
hat:
In der Fachsprache: Oben ist eine Menge und darunter
sind zwei komplementäre Teilmengen.
Man kann sie wie folgt bezeichnen:
Also jetzt kommt der große Wendepunkt.
Wir haben bei Remi:
oder bei Denis:
oder noch bei Eric:
Also jetzt schaudert es dem Lehrer; denn Loïc Demeuré,
der im Nationalen Studienzentrum für Tele kommunikation
arbeitet, hat ihm ein Buch über die Bool‘sche Algebra und
die Karnaught-Tafeln gegeben, und die letzte Zeichnung,
das ist doch der Anfang vom zweiten (Karnaught‘schen)
Diagramm!
Und weiter geht es mit den Schnittmengen:
Wir landen schließlich bei Entscheidungsbäumen,
Baumdiagrammen, ... Schaut Euch den Entscheidungsbaum
der vierjährigen Céline an (Seite 195)! Sie hat ihn
beim Warten auf einen Arbeitsauftrag geschaffen. Man
muss ihn nur noch im Alltag anwenden (angewandter Rationalismus).
Und das haben wir auch getan.
Man tut es z.B., wenn man die Schüler spontan nach
bestimmten Merkmalen sortiert: Man leidet unter dem
Chaos der Klasse, man muss Ordnung stiften, also trifft
man Unterscheidungen: Jungen und Mädchen; die Kinder
aus dem 2. Schuljahr und die aus dem 3. Schul jahr; diejenigen,
deren Namen mit einem ‚Le‘ beginnen (bei uns in
210 211

der Bretagne: Le Gal, Le Merrer, Le Pennec), diejenigen,
die blaue Augen, ein Fahrrad oder eine Katze haben.
Man kann Célines Hilfsmittel auch bei Permutationen
oder in der Ahnenforschung ... nutzen. Ich höre hier auf,
weil die Leser sicher schon lange verstanden haben, dass
es hier unendlich viele Möglichkeiten gibt. Erwähnen
möchte ich noch, dass Jean Astier und Philipp Lavis dadurch,
dass sie uns Erfindungen ihrer Kinder vorge stellt
haben, viel gelernt bzw. wieder gelernt haben. Sie waren
deshalb so empfänglich für unsere Kommentare, weil es
sich um Dokumente aus ihren Klassen, also aus ihrem
Leben handelte. Deshalb können wir zuversichtlich sein.
Selbst wenn man kein großer Mathematiker ist (für den
Grundschulunterricht reicht es meist aus), werden die Kollegen
uns helfen, weiterzukommen. „Wir sind nicht mehr
allein.“ Es ist jedenfalls sehr wichtig, dass sich die Lehrer
sicher fühlen!
Aber vielleicht wäre für den Leser eine Erklärung der
Karnaught-Tafeln nützlich. Auf eine erste Karte (es sind
insgesamt 4) schreibt man oben die Menge der 16 ersten
Zahlen von 0 bis 15 hin.
Man dreht die Karte um 180° und schreibt von neuem
die 16 Zahlen oben hin.
Und unten für W*, also für die komplementäre Teilmenge:
Bei der Schnittmenge der acht Teilmengen sieht man
das Licht nur durch ein einziges Loch; wir finden nur eine
einzige Zahl bei jeder möglichen Kombination:
Ich weiß nicht, ob dies bei dem Leser den Wunsch auslösen
wird, diese Karten herzustellen. Aber bei mir hat es
zunächst einiges Nachdenken ausgelöst:
Ausgangspunkt war, dass ich etwas von meinem Wissen
mitteilen wollte. Aber dazu musste ich es erst wieder
in die Erinnerung holen. Über etwas zu sprechen zwingt
zwar dazu, Ordnung in seine Gedanken zu brin gen, doch
habe ich es diesmal nicht geschafft, das Ganze in Gedanken
zu rekonstruieren.
Also habe ich ein Modell gebaut mit je 8 Löchern oben
und unten. Aber dieses Modell erwies sich als Sackgasse;
ich musste ein zweites Modell konstruieren mit je 16 Löchern.
Diesmal hat es geklappt.
Nun fällt mir auf, dass meine Erfindung eine in sich
geschlossene Erfindung war: Ich hatte ein Ziel, ich wollte
mein Wissen rekonstruieren. Aber die Erfindungen der
Kinder sind offen. Kinder wollen keine Werkzeuge oder
Modelle schaffen. Dennoch lassen sich - wenn man ihre
212 213

Erfindungen auf die Realität anwendet - Elemente dieser
Realität darin wiederfinden, auch wenn das nicht beabsichtigt
war. Die Vielzahl von Wegen, die sich durch die
Erfindungen öffnen, führen natürlich weit über den Bereich
der reinen Mathematik hinaus. Dies wird uns anhand
des folgenden Auszugs aus unserer Zeitschrift ‚naturellement
math‘ (vgl. Bibliographie) klar:
„Ich habe kürzlich in einer 3. Klasse zwei Stunden mit
natürlicher Methode in Mathematik angeleitet. Und es
dämmerte mir, dass die natürliche Methode ein erstaunliches
Werkzeug für die Erforschung und Annäherung an
die Welt ist. Innerhalb einer Stunde haben wir Themen
wie ‚Stabiles‘ von Calder (53) Unterstände an Haltestellen,
Architektur, Logos und Bildhauerei ange schnitten. Unser
Gespräch beschränkte sich nicht auf Zahlen und Reihen,
sondern erstreckte sich auch auf die Sprachforschung, die
Anagramme, die Beziehungen zwi schen den Wörtern usw.
Und all das in einer Schul stunde. Stellt euch daneben mal
ein ganzes Schuljahr vor, eine ganze Schulzeit!.“
Um der Rolle eines Lehrers gerecht zu werden, der den
Schülern Impulse zu freierem Denken gibt, zeichnete ich
am Anfang dieses Schuljahres mit geschlossenen Augen
nach dem Zufallsprinzip vier Linien auf ein Blatt Papier
und nannte das ‚die ebene Abwicklung einer unbekannten
Sache‘. Dann faltete ich das Blatt an den Linien und
formte mit ein bischen Tesafilm daraus einen Körper. Weil
er ziemlich unförmig war, sagte ich: „Das ist eine Statue”
und stellte sie auf den Schrank. So sind wir auf die „ ‚Sta-
(53) Calder, Alexander, geb. 1898, amerikanischer Bildhauer. Seine
„Stabiles“ (abstrakte Metallplastiken) und großräumigen „Mobiles“ sind in
Frankreich Allgemeingut (Anm. des Heraus gebers).
biles‘ von Calder (54) “ gekommen; also auf die Kunst, die
ganz und gar Freiheit ist.
Aber Nathan, der eher Realist ist, dachte an den Unterstand
einer Bushaltestelle. Er wollte das Netz eines bekannten
Körpers finden und hat dies gezeichnet:
Er war sehr erstaunt, dass das keinen Unterstand ergab.
Aber die Klasse griff seine Idee auf, und vierzehn Tage
lang hat sie sich in der Produktion von regel mäßigen Körpern
regelrecht gesuhlt.
Daniel und ich, wir hätten uns darüber aufregen können.
Aber ich habe ihm von der Dialektik erzählt: „Wenn
man sich auf eine Sättigung zu bewegt, baut man gleichzeitig
eine Frustration auf. Es ist deine Aufgabe, die erste
Abweichung zu erspähen, die nach einer Reihe von Erfindungen
stattfinden wird. Es wird ausreichen, wenn du das
Auftauchen dieser neuen Sache unterstreichst. Und wenn
die Gruppe zur Sättigung tendiert, wird sie umkippen.
Vielleicht wird es nur die halbe Gruppe tun oder nur ein
einziges Kind, das bei den anderen nur mit gemacht hat,
weil alle es getan haben, das aber jetzt plötz lich feststellt,
dass dieser neue Bereich ihm voll und ganz entspricht.
Ich wollte den Freiraum vergrößern, aber ich hatte
nicht bemerkt, dass Sabrina schon ganz allein einen
neu en Schritt gewagt hatte, indem sie ‚Eine Abwicklung
des Würfels‘ mit rechten Winkeln (!) gezeichnet hat. Wir
schauen oft nicht genau genug hin. Und wir hören auch oft
nicht gut genug zu. Bei dem Unterstand von Nathan z.B.
habe ich nicht innegehalten, als ein Junge überlegte: „Man
(54) vergl. Fußnote Seite 214
214 215

aucht doch nur zwei davon herzustellen.“
Seine Idee ist nicht verfolgt worden, weil ich sie nicht
hervorgehoben habe. ‘Natürlich‘ verpatzt man viele Dinge.
Aber das ist nicht weiter schlimm, wenn man Vertrauen
in die kognitive Kraft der Gruppe hat, die viel reicher an
Ideen, viel weitsichtiger und viel intelligenter ist als der
arme Lehrer, der durch seine Denkschemata und seine
Ängste blockiert ist. Und außerdem können Irrtümer des
Lehrers oft sogar aufgefangen werden.
Das hat Monique Quertier in unserer Mathematik-Zeitschrift
„naturellement math“ so beschrieben:
„Ich war über diese Erfindung so bestürzt, dass ich nicht
wagte, etwas zu sagen; ich habe es nicht gewagt den
Kindern zu sagen, dass ich sie im letzten Monat den
Lehrsatz von Pythagoras habe zeichnen lassen und dass
wir ihn genau auf diese Weise gezeichnet haben. Sie
hat ten damals alles mitgemacht. Sie hatten mir höflich
zugehört. Aber es ist über ihre Köpfe hinweggegangen.
Jetzt wissen sie es, weil sie es selbst wiederentdeckt
haben.“
(naturellement math 1989)
Ich glaube, dass man folgendes oft feststellen kann:
Erst wenn etwas ihre eigene Sache ist - und nicht die des
Lehrers - dann bleibt es haften.
Die Rolle des Lehrers
Beschäftigen wir uns nun mit der Rolle des Lehrers,
die sich auf dem Hintergrund unserer Erfahrungen abzuzeichnen
beginnt. Zu diesem Zweck arbeiten wir an einem
Modell. Nehmen wir an, dass wir es uns eines Tages ausnahmsweise
erlauben, zu den Erfindungen an der Tafel
diejenige eines befreundeten Lehrers hinzuzufü gen.
Was kann man dazu sagen? Eigentlich nichts. „Es sind
drei Ziffern. Sie sind alle gleich. Sie bilden ein gleichseitiges
Dreieck.“
Und das ist dann alles. Da hört es auf. Wenn aber jemand
zufällig von einer 2 spricht, dann spitzt der Lehrer
die Ohren:
„Was sagst du, Marc?“
„Ich sagte: 1 + 1=2.“
„Oh! Sehr interessant. Und wo schreibst du deine 2
hin?“
Offensichtlich kann sie überall sein. Aber wenn sie am
unteren Ende der Raute ist, wäre das prima.
Wenn dadurch nichts in Gang kommt, kann man vorschlagen,
das Absteigen der Einsen fortzusetzen.
216 217

Wenn man Erfahrung hat, wenn man gelernt hat, Vertrauen
in die Zukunft zu haben, dann wird man an dieser
Stelle aufhören. Tatsächlich hat diese Erfindung alles, um
zu gefallen. Und die Chance ist groß, dass sie wieder aufgegriffen
wird.
Man könnte auch noch weitergehen und kühn die drei
rechten Einsen verdecken. Damit schießt man aber möglicherweise
über das Ziel hinaus. Kommt man damit nicht
in Versuchung, eine Grenze zu überschreiten? Aber gibt
es überhaupt Grenzen außer denen, die man sich selbst
setzt?
Jedenfalls, entweder es reagiert jemand, oder es reagiert
keiner. Wenn niemand darauf eingeht, dann des halb,
weil heute in diesem Moment mit den Kindern dieser
Gruppe die Zeit noch nicht reif ist.
Also, nach meiner momentanen Meinung besteht die
Rolle des Lehrers darin, so lange wie möglich zu schweigen.
Aber auch darin, ganz vorsichtig einen Blick über den
Zaun vorzuschlagen, wenn sich eine Richtung anbietet.
Und in dem obigen Beispiel bietet sich etwas an, denn
es handelt sich um den Anfang des Pascalschen Dreiecks,
das die Kinder schon vom 2. Schuljahr an konstruieren
können, selbst wenn sie nicht wissen, dass es die Tafel der
Binominalkoeffizienten der Reihe (a+b) 0 , (a+b) 1 , (a+b) 2 ...
(a+b) n ist.
(55) Anmerkung des Herausgebers: Das linke Schema ist in der
Mathematik als Pascalsches Dreieck bekannt. Auf die übliche
Darstellungsweise muss hier aus Platzgründen verzichtet werden.
(55)
Es wird deutlich, dass man viele Möglichkeiten in seinem
Kopf haben muss, um von Zeit zu Zeit einen Blick
über den Zaun vorschlagen zu können. Und am Anfang
wer den diejenigen, die sich auf die natürliche Methode in
der Mathematik stürzen wollen, genau dadurch ein bisschen
abgeschreckt. Sie haben das Gefühl, dass sie selbst
nicht erkennen könnten, wohin eine Erfindung führen
könnte. Aber meistens fassen sie schnell wieder Mut,
wenn sie mit Freunden über den Erfindungen der Kinder
arbeiten können. Sie eignen sich dann schnell das notwendige
Wissen an.
Aber schauen wir uns an, was Joelle noch erfunden
hat:
„Halt, das ist etwas ganz Neues! Jetzt handelt es sich
nicht mehr um komplementäre Teilmengen, denn da ist
kein Querstrich. Nein, das hier ist etwas Anderes. Aber,
ach ja! Es ist eine neue Richtung, weil es sich um die Beschreibung
einer Kurve handelt.“ Und da die Kinder seit
langem die Erfahrung mit dem Koordinatensystem haben,
kann man vorschlagen: „Und wenn man x und y an die
Stelle von b und n schriebe?“ Also dieses Mal ist meine
Anregung ein Volltreffer. Und alle stürzen sich dar auf und
konstruieren die entsprechende Kurve.
218 219

„Das ist sonderbar, es sieht beinahe wie ein Drachen aus.“
Und jetzt bricht eine wahre Sturzflut von Plänen und
Kurven herein. Am Anfang sind sie offensichtlich noch
rein willkürlich. Dann staunen wir über das, was Denis
gemacht hat:
„Das ist komisch. Das ist ganz gerade. Aber wenn man
das machte? Oder jenes?“
Schließlich landet man auf ganz natürliche Weise bei
y = x, bei y = ax und bei y = ax + b. Und das im 3. Schuljahr
mit acht- und neunjährigen Schülern!
Aber jeder Schritt vorwärts, den der Lehrer vorschlägt,
muss ein sehr vorsichtiger Schritt sein, weil er genau weiß,
dass er - wenn er zu forsch vorangeht - die Kinder in seine
‚Welt‘ hinüberzieht und sie gefangen nimmt. Er lenkt sie
von ihren eigenen Wegen ab. Dann geht es nicht mehr um
die Angelegenheiten der Kinder, sondern um seine. Er enteignet
sie sozusagen und betrachtet sie als sein Eigentum.
Also, anstatt die Kinder auf seine Gebiete zu drängen, ist
es besser, sie ihre eigenen erforschen zu lassen, da sie ihrer
Realität mehr entsprechen.
Dennoch darf man nichts übertreiben.
Das ist natürlich nie einfach; es handelt sich niemals
um die Alternative ‚alles oder nichts‘. Deswegen ist die
Pädagogik so schwer. Jeder Lehrer soll in aller Ruhe seine
eigene persönliche Struktur entwickeln, die seiner Realität
entspricht. Er soll von dem ausgehen, was da ist, und
abwarten, was sich in Interaktion mit anderen, die ihn
unterstützen, entwickelt. Der Weg des Lehrers muss ein
freier Weg sein. Es geht nicht darum, sich in die Pflicht zu
nehmen, sich anzustrengen und sich zu bezwingen, sondern
nur darum, sich treiben zu lassen.
Augenscheinlich ‘funktioniert’ jeder entsprechend seinem
eigenen Charakter. So wird Philip, der Wortspiele
liebt, in der Klasse sofort jede sprachliche Fährte verfolgen.
Joseph ist empfänglich für die physikalische Dimension
der Erfindungen. Germaine ebenso, offenbar weil sie
Physiklehrerin ist. Mich berührt vor allem die Tatsache,
dass die Mathematik nur vorläufigen Charakter hat. Deshalb
interessiert mich alles, was Bachelard über die wissenschaftliche
Tätigkeit geschrieben hat.
Ich habe festgestellt, dass das, was im freien mathematischen
Text an Neuem erscheint, nicht einfach aus einer
Rückbesinnung auf die Realität entsteht. Etwa so, als ob
das ‚innere Studienbüro‘ es nach der Feststellung einer
kleinen Unstimmigkeit notwendig hätte, eine alte Idee
wieder aufzunehmen, um sie zu vervollkommnen. Nein,
es ist viel komplexer. Die Impulse für eine Erfindung,
die von irgendeinem Ereignis (zum Beispiel der letzten
Mathematikstunde) ausgehen, lösen in den Tiefen des
menschlichen Wesens gleichzeitig eine geheimnisvolle unbewusste
Arbeit aus. Und die theoretische Konstruktion,
220 221

die in der Erfindung zum Ausdruck kommt, ist oft nur ein
schwacher Abglanz dieser Arbeit. Aber man muss wie ein
Schriftsteller ‘immer und immer noch einmal schreiben,
damit das, was man zunächst nicht denken konnte, ins
volle Bewusstsein rückt.‘
Aber kommen wir zu der Frage zurück, wie unsere Idee
verbreitet werden kann. Es scheint mir, dass das wesentliche
Problem tief in der Natur der heutigen Lehrerschaft
verwurzelt ist. Um den Lehrerberuf ergrei fen zu dürfen,
muss man alle kreativen Impulse in Schach halten können.
(Dabei wird unterstellt, dass man welche gehabt hat bzw.
dass sie nicht seit der Vorschulzeit im Keim erstickt worden
sind.) Musste man nicht, um das zu akzeptieren, eine
bestimmte Charaktereigenschaft und vielleicht sogar eine
bestimmte Veranlagung haben? Und schließlich, wer hat
sich jemals darum gekümmert, in uns die Fähigkeit zum
strategischen Denken zu entwickeln? Und mit welchem
Recht können wir ihr Fehlen bei den Schülern beklagen,
wenn wir persönlich auch keine Erfahrung damit haben?
Dennoch brauchen wir nicht zu pessimistisch zu sein.
Man muss übrigens anerkennen, dass sich zumindest in der
Vorschule viel bewegt hat und dass die 68-er Bewe gung
sich durchaus um die Kreativität gekümmert hat. Davon
ist sogar noch etwas übrig geblieben. Außerdem müssen
die Lehrer ja, um ihr Studium abschließen zu können, ihre
Merkfähigkeit und ihre Intelligenz unter Beweis stellen.
Das bedeutet: auswählen, Sackgassen gehen, auf Risiko
spielen .... Also ist die Intelligenz eine strategische Kunst.
Wahrscheinlich trägt jeder wenigstens einen Keim dieser
Fähigkeit in sich, er müsste nur ent wickelt werden. Außerdem
gab es ja noch die gesamte Kindheit und Jugendzeit, in
der man bestimmte Taktiken entwickeln musste, um seine
eigenen Wünsche zu verfol gen. Also können wir Vertrauen
haben. Vor allem auch, weil Kreativität und Flexibilität
heutzutage von der Gesellschaft gefordert werden.
Was uns also betrifft, so sollten wir fortfahren, an uns
selbst zu arbeiten und uns zu entfalten, so wie wir es auch
die Kinder tun lassen: in einer sympathischen Gruppe und
mit einem Lehrer, der es schafft, lange genug zu schweigen.
Wenn wir dabei von den Dokumenten aus unseren
Klassen ausgehen, kommen wir sowohl in der Mathematik
und ihrer Didaktik als auch in der Pädagogik weiter.
Natürliche Lehrpläne
Wir haben uns kürzlich damit beschäftigt, über ‚natürliche
Lehrpläne‘ zu arbeiten. Ich habe den Ausdruck aufgenommen,
um Fragen zu provozieren.
„Aber das sind doch einander widersprechende
Begriffe!“
Wir haben angefangen zu ermitteln, was regelmäßig
in den freien Texten in Mathematik wiederkehrt. (56) Wir
haben unsere Erfahrungen mit Kindern im Alter von 3
bis 11 Jahren gemacht. Sie sind jetzt so umfangreich, dass
man bereits Konstanten aufzeigen kann. Aber ich möchte
hier nur zwei Elemente beschreiben. Denn noch ist nichts
bisher wirklich bestätigt worden. Wir müssen uns vor
allem vor der gegenwärtigen Schulverwaltung hüten. Es
wäre ihr zuzutrauen, dass sie sich auf unsere ‚Lehrpläne‘
stürzt, sich ihrer bemächtigt und sie zur Norm macht, die
(56) Die Anregung zu dieser Untersuchung haben wir durch ein Buch von
Clanche. Er hat sechstausend freie Texte aus verschiede nen Klassen der
Grundschule (6 bis 11 Jahre) untersucht. Er hat festgestellt, dass bestimmte
Arten von Texten regelmäßig in einem bestimmten Alter wiederkehren.
Wenn dies bestätigt wäre, könnte man die Lehrer besonders sensibel dafür
machen. (Clanche 1988)
222 223

von jedem einzuhalten ist. Doch die notwendige kopernikanische
Revolution, die es zu erfüllen gilt, besteht darin,
von den Produktionen der Kinder und den Erfahrungen
der Lehrer auszugehen. Wir werden darauf warten, bis
die Schulverwaltung von der Freude am diplomatischen
Geschick gekostet hat, d.h. von der Freude, ausschließlich
Katalysator zu sein.
Zwei Bereiche von Erfindungen
1. Entwurf von Buchstaben und Figuren
2. Tabellen
a) mit Einschwärzen
b) mit Farbe
c) mit Zahlen
d) mit Vorschriften für Wege
e) mit Koordinaten
f) mit Additionen in allen Richtungen
Diese Erfindungen tauchen unter einem Dutzend anderer
Erfindungen regelmäßig immer wieder auf. Die Vorliebe
für die Karos lässt sich sehr gut erklären, denn die Hefte
und Notizbücher sind voll davon.
zu 1.: Entwurf von Buchstaben und Figuren
Auf unseren Treffen im Rahmen der Freinet-Bewegung
haben wir viel Zeit darauf verwendet, gemeinsam herauszufinden,
was sich aus derartigen Tabellen entwickeln
224 225

kann. So können wir sehen und hören, in welche Richtungen
die Kinder ihre Schritte gerade lenken. Damit
sind wir vielleicht auch in der Lage, einen Schritt vorzuschlagen,
der darüber hinausgeht, aber dennoch den
Umständen angemessen ist. Dabei ist zum Beispiel das
herausgekommen:
Offensichtlich ist dies eine Anweisung, um den Buchstaben
M (Anfangsbuchstabe des Autors Michelle) zu erhalten.
Man findet dieses Spiel oft in den Kinder zeitschriften.
Aber die Kinder erfinden sie auch von sich aus. Diese Erfindung
kann uns sehr weit voranbringen. Zum Beispiel
zur Programmierung von Zufallsfiguren. Ich habe neun
nummerierte Punkte ohne eine Ordnung hingezeichnet.
Welche Figur kommt dabei heraus?
Ich ziehe Verbindungslinien. Es ist komisch und interessant,
und ich habe Lust, weitere Linien zu zeichnen.
Aber sehr schnell landet man bei der Programmierung
von regelmäßigeren Figuren wie z.B. Briefumschlag, fünfstrahliger
und sechsstrahliger Stern usw.
Und von da aus kann man, wie wir es bereits gesehen
haben, zu einem anderen Zufallsstadium übergehen
und dann zur Kurve y = ax usw....
und zu anderen Dingen, an die wir noch nicht gedacht
haben.
zu 2.: Tabellen
a) Mit Einschwärzen (vgl. S. 224)
Wenn man am Rand entlangfährt, kann man die schwarz en
und weißen Flächen zählen.
- Man kann auch an Kreuzworträtsel denken
- oder an die eckigen Bilder im Fernsehen
- oder an Mosaiken usw.
b) Mit Farbe
Man findet Rhythmen, man wendet sich der Kunst zu,
dem Straßenpflaster, den Mosaiken usw.
c) Mit Zahlen (vgl. S. 224)
Mit Zahlen kommt man zur Flächenberechnung, zu Tabellen
mit Zeilen- und Spaltenbenennungen, zu Äquivalenzklassen
usw.
d) Mit Vorschriften für Wege (vgl. S. 225)
Man kann zur Berechnung des Weges eines elektronischen
226 227

Igels (Programmiersprache LOGO) kommen. Was passiert,
wenn darüber noch eine Reihe wäre und unten eine
weniger? Vorbereitung auf die Arbeit mit LOGO, auf viele
Möglichkeiten mit dem elektronischen Bildschirm. Aber
es ist wichtig, dass die Kinder vorher an dieser Art von
Modellen, an ihrem Modell arbeiten, wie Katelle dies mit
ihrem Dreieck getan hat (vgl. Seite 196).
e) Mit Koordinaten (vgl. S. 225)
Man kann sich leicht mögliche Entwicklungen in Bezug
auf Punkte, Pläne, Kurven usw. vorstellen.
f) Mit Additionen in allen Richtungen (vgl. S. 225)
Man kommt zur Erforschung des ‘magischen Quadrates’,
der waagerechten und senkrechten Überprüfung im
Rechnungswesen usw.
Zur Einschätzung dessen, was gerade vorgestellt worden
ist, möchte ich die Worte von Jean-Claude Pomes
zitieren:
„Tatsächlich scheint mir, dass sich die ‚persönliche Mathematik‘
bzw. die ‚innere Mathematik‘ genauso wie die
‚natürliche Mathematik‘ in der Freinet-Pädagogik im
Schnittpunkt zweier Prozesse, die beide dialektisch verschränkt
sind, befindet:
zum einen eine tastende Tätigkeit, die von den Kindern
ausgeht, wobei eine theoretische Linie entsteht, die danach
strebt, sich auszudifferenzieren;
zum anderen der entgegengesetzte Weg eines Er ziehers,
der - ausgestattet mit Elementen einer Theorie (hier der
mathematischen Theorie) - versucht, diese der Praxis nahezubringen,
um ihnen Sinn und Leben einzuflößen.“
(Pomnies o. Jg.)
Doch ehe sie sich trauten anzufangen, hatten einige
Lehrer noch Fragen, wie z.B.:
„Werden die Erfindungen ausreichen? Werden wir mit
dem ganzen Lehrplan durchkommen?“
Ich habe ihnen geraten, in Etappen vorzugehen. Sie
sollten sich zunächst in dem Rahmen bewegen, in dem sie
sich im Hinblick auf die Vorgaben der Lehrpläne sicher
fühlen können, und dabei versuchen, eine kleine Erfahrung
zu wagen. So haben sie nach und nach festge stellt,
dass man auf jeden Fall über den Lehrplan hinaus kommt.
Das hat sie überzeugt. Man könnte diese Erfahrung auch
so beschreiben:
„Der schnellste Weg von einem Punkt zu einem anderen
ist die gekrümmte Linie.“
Denn wenn wir ihr im Laufen folgen, kommen wir viel
schneller ans Ziel, als wenn wir uns auf dem Rücken liegend
auf der direkten Verbindung treiben lassen. Wenn
Kinder, die ‚mathematisch unterernährt‘ sind, sich in diesem
Bereich gründlich engagieren, lernen sie natürlich
viel mehr und viel schneller.
Die Freude, die sie entdecken, wird die psychologischen
und intellektuellen Barrieren abbauen.
Dennoch hat man das Recht, sich eine andere Frage zu
stellen: „Und wenn die Schülergruppe bestimmte Bereiche,
die eigentlich wichtig wären, ausklammert?“
In der Vorschule gibt es damit keine Probleme: Es gibt
so viel in allen Bereichen zu erforschen, dass man nicht an
genügend Tagen Unterricht hat, um auch nur ein Inventarverzeichnis
der Gebiete zu erstellen. Aber die Grundschule
hat eine doppelte Verantwortung, Einerseits muss
sie die Kontinuität der Erfahrungen gewährleisten. Andererseits
muss sie sich darum kümmern, in neue Bereiche
einzuführen.
Bis zum Alter von neun Jahren geht das ohne Anstrengungen.
Es genügt, wenn man die Intuition sich entfalten
228 229

lässt und die Vielfältigkeit unterstützt, damit sie sich mehr
festigt. Und dass man die Kinder vor einer Bewertung
schützt. Das Wichtige in dieser Altersstufe ist es, den
Schwung entstehen zu lassen bzw. ihn wieder zu erwecken
und ihn sich ausdehnen zu lassen und ihn zu erhalten.
Aber ab 9 Jahren gehört das Eingreifen vielleicht zu
unserer Verantwortung. Denn wenn man diese Kinder
frei lässt, so lässt man sie nicht wirklich frei, sondern man
überlässt sie ihrer Konditionierung. Und wenn man sie
zunächst aus ihrer schulischen Betäubung hat herausholen
können, muss man danach den Freiraum vergrößern,
indem man sie, wenn nötig auch ein wenig gekünstelt, in
Bereiche einführt, die man ihnen nicht vorenthalten darf,
wenn man nicht verantwortungslos sein will. Man kann
nur frei sein, wenn man wählen kann. Aber um wählen
zu können, muss man es kennen, muss man es auspro biert
haben, muss man zumindest eine erste wirkliche Erfahrung
gemacht haben. Deshalb muss man sich im 5. Schuljahr
darum kümmern, viele neue Situationen erle ben zu
lassen, damit der schöpferische Ausdruck weiter hin ausreichend
Nahrung erhält.
So sehen wir es zumindest gegenwärtig. Aber wir
haben in dieser Altersstufe noch nicht genügend Ver suche
gemacht, um ganz sicher zu sein, dass es wirklich notwendig
ist, der ‚Freiheit auf die Sprünge zu helfen‘.
Verschiedene Richtungen
Es stimmt, dass wir noch mitten im Versuch sind. Was
die Konzeption der natürlichen Methode in der Mathematik
betrifft, so gibt es in Frankreich zwei unterschiedliche
Richtungen. Es gibt diejenige, die hier vorgestellt worden
ist und deren Betonung auf dem ‘ansteigenden’ Weg der
Kinder liegt. Und es gibt die Freinet-Gruppe aus dem
Departement Pas-de-Calais. Ihre Richtung basiert ebenfalls
auf der natürlichen Methode, aber dort wird wesentlich
mehr Wert darauf gelegt, dass der Lehrer sich zuvor
mathematisch weiterbildet. Damit wird die absteigende
Funktion des Wissens des Lehrers (vgl. dazu Pomes S.
204 oben) betont.
Da wir uns noch nicht begegnet sind, ist es schwierig
genau zu wissen, welches die Positionen der einen und der
anderen sind. (57) Damit der Leser mehr darüber er fahren
kann, stelle ich hier einen Auszug aus dem ‚CH‘TI QUI
(vgl. Bibliographie), dem Bulletin du Nord et du Pas-de-
Calais vor:
„DIE ROLLE DES LEHRERS“
Was würdet ihr damit machen?
Eine Seminarteilnehmerin berichtet: „Fortbildungskurse
sind gut... Man hat Zeit miteinander zu diskutieren,
sich auszutau schen, und so zeige ich Michel
eine Arbeit, die im Dezember von einigen Großen
aus der Vorschule erstellt wurde: der Gebrauch
einer Verschlüsselung ‚um sich zu zählen‘.
(57) Ein Treffen hat nach der Fertigstellung dieses Manuskriptes
stattgefunden. Dabei haben beide Seiten eine weitgehende Übereinstimmung
festgestellt. Insofern geben die Ausführungen in diesem
Kapitel einen früheren Erkenntnisstand des Autors wieder. Hier
bestätigt sich einmal mehr eine Grundthese von Paul Le Bohec, dass die
Erkenntnisse niemals endgültig, sondern immer nur vorläufig sind und nur
so lange gelten, bis sie durch bessere ersetzt worden sind.
Die Diskussion hat dem Autor auch zu einer Präzisierung einiger
Vorstellungen zur natürlichen Methode verholfen. Sie werden voraussichtlich
in der Zeitschrift der deutschen Freinet-Bewegung „Fragen
und Versuche“ veröffentlicht. (Anm. d. Hrsg.)
230 231

„Also Michel, was kann ich damit anfangen?‘
Michel: „Analysieren wir die Ausgangssituation. Suchen
wir die möglichen Wege.“
Ausgehend von drei Arbeiten, die sich auf folgendes gründen,
zeigt Michel alle Wege auf, die man verfolgen könnte.
„Es sind Karten der Art“:
„Sie sind ökonomisch.“
„Bildung von Äquivalenzklassen.“
„Den Klassen einen Namen geben usw., usw.: Gesetzesdimension,
funktionale Dimension, usw.“
Mich beunruhigt nicht der Inhalt, sondern die Position des
Lehrers.
Ich hebe hervor:
• Man muss jeder Klasse einen Namen geben.
• Man muss einen einfachen Repräsentanten für die
Klasse finden.
• Wir werden anschließend die Karten des Typs O I I
bearbeiten.
• Die große Reichweite von O I I zeigen (indem man
z.B. darum bittet, das zu zeichnen, was dieses Schild
repräsentiert).
• In diesem Fall kann (nicht könnte!) man es schaffen,
auf die Unterschiede in den einzelnen Klassen hinzuweisen.
Unbestreitbar, das bereichert das mathematische Wissen
des Lehrers. Und es ist schon schön, dass man dabei
von einer Erfindung eines Kindes ausgehen konnte.
Obwohl:
Wer hat die Anfangskarte geliefert bzw. erfunden?
Die Hauptfrage, die ich mir stelle, ist jedenfalls:
„Worum geht es? Darum, was der Lehrer damit
machen kann, oder darum, was die Kinder damit machen
könnten?“ Die Antwort wurde mit der Eingangsfrage bereits
gegeben:
„Michel, was kann ich damit anfangen?“
Wenn es darum geht zu sehen, welchen zusätzlichen
Schritt man vorschlagen könnte, dann kann man dieses
Vorgehen als sehr legitim bewerten. Dies scheint mir aber
hier nicht der Fall zu sein. Und man erschaudert bei dem
Gedanken, dass Vorschulkinder möglicherweise zu einer
232 233

solchen Strukturierung gezwungen werden. Hoffen wir
für sie, dass sie als Gegengewicht das Recht zu vielen Aktivitäten
informeller Art haben. Und hoffen wir ebenso
für Michel, dass er in seiner Gruppe Kollegen begegnet,
die ihn in die andere Art des Denkens, in den Charme
des Unbeholfenen, in die Freude über das Allgemeine, das
Nichtdefinierbare, über das Unstrukturierte, das Diffuse,
über das Unentschiedene, über das Unklare, über das Verschleierte,
über das Unfühlbare ... einführt.
7. Grundsätzliches
In dem vorliegenden Buch haben wir die Konzeption
der natürlichen Methode auf das Erlernen der Mathematik
angewandt. Aber sie hat - wie oben mehrfach angedeutet
- auch andere Anwendungsbereiche. Versuchen wir nun
zum Abschluss, ihre wesentlichen Dimensionen herauszuarbeiten
(vgl. auch Kapitel 2).
Dimensionen der natürlichen Methode
1. Eigene Praxis (des Lehrers) ist unabdingbar.
Wer seinen Schülern diese Methode nahebringen will,
muss Erfahrungen damit gemacht haben und sie selbst
praktizieren.
2. Gruppenphänomene (58)
Die Gruppe spielt eine bedeutende Rolle. Sie soll zu allererst
ein Ort des Gespräches, ein Ort des Zuhörens und der
Ort sein, an dem man frei Hypothesen äußern kann, ohne
herabsetzende Bewertungen befürchten zu müssen. Damit
soll nicht verhindert werden, dass Kritik geübt wird, eine
objektive Kritik, die sehr schnell die Fakten und nicht die
Menschen ins Visier nimmt. Das darf auch nicht eine spontane
Kritik verhindern, die die Bewusstseinsentwicklung
beschleunigt. Die Gruppe fungiert auch als Resonanzkörper.
Sie verstärkt die unbedeutenden Ideen, sie stärkt die
Schüchternen. Sie ermöglicht ein drucksvolle Ereignisse,
die das Wissen tief in das Ge dächtnis einprägen.
(58) Wir haben so viel Zeit benötigt, um ihre Existenz zu ent decken, dass
wir in diesem Bereich noch am meisten zu erforschen haben.
234 235

Der Strom der Erfindungen wird aufrechterhalten und
vervielfacht durch das Zuhören, den Respekt, die Akzeptanz,
die Überraschung, das Warten und die Freu de über
die Ideen der anderen. Jedes Gruppenmitglied findet unerwartete
Gesichtspunkte in Hülle und Fülle. Jeder, der
es möchte, wird sie ansehen, um spielerisch die Welt mit
den Augen des anderen zu sehen. Aber man kann ebenso
in seiner Vorstellung versunken bleiben, aus der man erst
zurückkehrt, wenn man seine Untersuchung beendet hat.
Aber man wird immer durch das Verhalten der anderen
aufgefordert, aus seiner Versenkung wieder aufzutauchen.
Es sind keine besonderen Anstrengungen nötig, um
jemanden aus seinen eingefahrenen Strukturen herauszuholen.
Jeder geht einfach in seinem Lernprozess weiter,
ohne sich Gedanken um mögliche Konsequenzen zu machen.
Denn jede ausgewählte Erfindung wird durch die
‚Analyse‘ der Gruppe bearbeitet, zerlegt und abgeklopft.
Sie wird von der Gruppe aufgenommen, geteilt und erobert
und somit positiv genutzt. Das hat zur Folge, dass
jeder aus seinen Gewohnheiten, seinen Struk turen, seiner
Besessenheit und seinen Grenzen heraustre ten kann, aber
erst, wenn er dafür reif ist.
Auf der anderen Seite passiert es auch, dass jemand,
der eher oberflächlich, ein wenig flatterhaft oder instabil
ist, einmal etwas länger bei der einen oder anderen seiner
Ideen verweilt; denn die positive Reaktion der Gruppe
lässt ihn ahnen, welche intensive Freude damit verbun den
ist.
Kurzum, man erkennt den Respekt vor den Persönlichkeiten
und eine gegenseitige Bereicherung. Der Lehrer
hat dabei eine wichtige Rolle, damit die Arbeit in der
Gruppe positiv wird und bleibt. Er muss die Freiheit der
Individuen beschützen, die Dominierenden in Schach halten,
die Schwachen hören. Er muss lernen, nicht selbst nach
vorn zu stürzen, die Freude am ‚diplomatischen Geschick’
zu erwerben. Kurzum, er muss gebildet sein und fähig,
sich selbst weiterzubilden, sich mit anderen weiterzubilden,
damit er die Gruppenphänomene wahr nehmen, sie
besser überschauen und nutzen kann.
3. Informationsquellen
Niemand ist in der Lage, das Wissen der gesamten Menschheit
wiederzuerfinden. Aber überall findet sich Wissen angesammelt
- man muss nur darauf zurückgreifen.
Die erste Wissensquelle, also diejenige, aus der man
unmittelbar schöpfen kann, ist man selbst. Man möchte
am liebsten sein Wissen nur sich selbst verdanken; denn
so ist man so wenig wie möglich von der Macht abhän gig,
die das Wissen den anderen gibt. Deshalb bezieht man
sich immer zu allererst auf die eigenen Erinne rungen, die
eigenen Entdeckungen, die eigenen Aufzeich nungen. Und
erst, wenn eine Frage sehr drängend ist und man selbst
keine Lösung findet, akzeptiert man die Hilfe von Seinesgleichen.
Diese Hilfe ist nicht so gefährlich.
Die Hilfe des Lehrers anzunehmen beinhaltet dagegen
manchmal das Risiko, dass Probleme reaktiviert werden,
die mit der familiären Autorität zusammenhängen. Bücher,
Karteien, Lernprogramme und andere Arbeits mittel
sind bei weitem nicht so brisant.
Obwohl, im letzten Fall wird man vom Autor des Arbeitsmittels
auch fest an die Hand genommen. Welche
Absicht verfolgt er? Welche Vorstellung hat er vom Lernprozess?
Auch bei den Arbeitsmitteln muss es Wahlmöglichkeiten
geben. (59)
Was also die Informationsquellen anbelangt, muss der
Lehrer gewährleisten, dass der Zugang jederzeit möglich
(59) Dennoch kann ein gut gewähltes Arbeitsmittel einen weiteren
interessanten Schritt vorschlagen.
236 237

ist und freiwillig bleibt. Außerdem muss er berücksichtigen,
dass die Information nur ein erster Schritt zum Wissen
ist.
4. Physische Besonderheiten
Jeder von uns ist anders. Unsere Besonderheiten kommen
zum großen Teil aus unserer genetischen Veranlagung.
Ob jemand eine Rechts- oder Linksdominanz bei Augen,
Händen oder Füßen hat, ob er ein visueller oder auditiver
Typ ist, ob Serialist oder Globalist, ob jemand ein begrenztes
oder weites Bewusstsein, ob jemand langsame
oder schnelle Reaktionen hat usw.: Wir haben es uns nicht
ausgesucht, so zu sein, wie wir sind. Es ist vielmehr eine
grundlegende Gegebenheit unseres Wesens, aus der man
das Beste machen muss. Und die - in Gruppen eingebracht
- zur all gemeinen Bereicherung beiträgt.
5. Psychische Eigenarten
In diesem Bereich sind die Unterschiede noch viel einschneidender.
Man kann ein sentimentaler, zärtlicher,
misstrauischer oder aufrechter Träumer, ein versöhnlicher,
ruheloser, heftiger oder strenger Wilder, ein undiszipliniertes
Nervenbündel, ein Unbekümmerter, ein Gehemmter,
ein Phlegmatiker, ein Hyperaktiver, ein Jupiterianer,
ein Uranier ... sein. Aber man kann, so wie man ist, für
die Gruppe nützlich sein. Es gibt nämlich zwei Arten von
Wert, den man haben kann: einen persönlichen, individuellen
Wert und einen Wert im Kollektiv. Aber dieser Wert
als soziales Wesen wird selten gewürdigt.
Doch muss betont werden, dass man immer aufgrund
einer bestimmten Entwicklung so geworden ist. Denn
wenn man z.B. realistisch, rechthaberisch, empfindlich,
systematisch ... ist, dann kann dies auf dunkle emotionale
Erlebnisse oder die Gewohnheiten zurückzuführen sein,
die man aufgrund seiner Lebensumwelt angenommen hat.
In solchen Fällen kann das Beispiel der anderen für uns
auch Anlass zu Änderungen sein.
Durch eine Partnerarbeit, eine Rede, eine gemeinsame
Forschung, ein anderes Gruppenklima, ... kann man zu
neuen Verhaltensweisen kommen. Man kann sich wieder
in die Balance bringen.
6. Rahmenbedingungen
Man kann die natürliche Methode nicht unter allen Umständen
einsetzen. Man benötigt ein Minimum an günstigen
Rahmenbedingungen: Anzahl der Kinder, Platz, Zeit
usw. Aber man kann diese Bedingungen oft herstellen: in
Halbgruppen arbeiten, den Klassenraum und den Stundenplan
umgestalten, Strukturen schaffen, die ermutigen,
das Wort zu ergreifen und den Gebrauch von den Anknüpfungspunkten
erleichtern ... und die eigene Veränderung.
Blick über den Zaun
Zur natürlichen Methode gehört der Blick über den
Zaun. Was habe ich gesehen, als ich über meinen Zaun
geblickt habe? Welche Ideen von außen haben mir geholfen,
mei nen Weg bei der Entwicklung der natürlichen Methode
weiterzugehen? Wenn Kinder mit Hilfe der natürlichen
Methode lernen, dann versuchen sie, sich mit dem
Weni gen, das sie in dem Moment wissen, neues Wissen
zu erobern. Sie tun es mit der Gruppe, in der sie über ihre
Erkenntnisse berichten. Die Gruppe kritisiert die Sache
selbst, aber nicht den Autor. Es ist eine konstruktive Kritik,
die anregt. Dabei darf jeder das Ziel suchen und die Wege
gehen, die seinen persönlichen Bedingungen (Vorwissen,
238 239

Interessen usw.) entsprechen. Kurzum, die Kinder lernen
Mathematik, indem sie sie erforschen.
Aber halt! Forschen! Gibt es nicht eine Gruppe von
Menschen, die diese Tätigkeit als Beruf ausübt? Forscher
und Wissenschaftler arbeiten doch auf die gleiche Weise
wie die Kinder in meiner Klasse. Auch sie wollen Wissen
erobern, das noch nicht vorhanden ist. Auch sie arbeiten
in Gruppen auf ihren individuellen Wegen. Auch ihre Arbeitsergebnisse
sind einer zwar unerbittlichen, aber doch
konstruktiven Kritik unterworfen.
Und gibt es unter ihnen nicht Spezialisten, die Wissenschaftsphilosophen,
die Erkenntnistheoretiker, die sich
ausschließlich damit befassen, wie man zu Erkenntnissen
kommt, die man vorher noch nicht gehabt hat? Bei
ihrer Arbeit versuchen sie, Antworten auf die Fragen zu
finden:
• Was ist Wissen?
• Wie kommt Wissen zustande?
• Welchen Stellenwert hat das Wissen im Erkenntnisprozess?
Warum nicht bei diesen Spezialisten für das Erkennen
nachlesen, ob sich dort nicht neue Impulse für die natürliche
Methode ergeben? Für mich war besonders die Lektüre
von zwei Wissenschaftsphilosophen ergiebig, nämlich
Bachelard (1966, 1970, 1972) und Popper (Lorenz-Popper
1990 und Bougueresse 1986). Auch wenn ihre wissenschaftliche
Position nicht unumstritten ist, las sen wir uns
nicht daran hindern, sie genau zu lesen und sorgfältig zu
prüfen, ob sich dort Ideen finden, die für uns brauchbar
sind. (60) Und nun zu meinen Anknüpfungspunkten in der
(60) Das hat übrigens auch Freinet getan. Auch er hat sich mit den
großen Denkern seiner Zeit auseinandergesetzt, hat geprüft, ob sich
etwas Brauchbares darunter findet, und dies dann in der Bewegung zur
Diskussion gestellt.
Wissenschaftsphilosophie.
Für Popper ist das Gehirn ein natürliches Organ zur
Produktion von Hypothesen und Theorien. Es kommt
darauf an, dem Gehirn zu erlauben entsprechend seiner
Natur zu funktionieren und viele Theorien zu produzieren.
Diese Theorien sollen helfen die Welt zu erfassen, sie
zu erklären und sie zu beherrschen.
Bei der Theorieproduktion geht es aber nicht darum,
das zu bestätigen, was wir ohnehin schon wissen. Vielmehr
soll mit Hilfe neuer Vermutungen, neuer Hypothesen,
neuer Theorien der Aufbruch zu neuen Ufern gewagt
werden. Dabei sind es die unwahrscheinlichsten, die
gewagtesten Vermutungen, die uns am meisten vor wärts
bringen. Voraussetzung für die Produktion solcher Vermutungen
ist die Kreativität des Forschers.
Auch wenn unsere Vermutungen schnell widerlegt sein
sollten, erlauben sie, in neue Probleme einzumün den, oft
sogar auf recht hohem Niveau.
Aber man ist sich dennoch verpflichtet, seine Theorien
zu verteidigen. Man sollte nicht zu schnell ihre Widerlegung
akzeptieren, denn gerade durch ihre Verteidigung
eröffnen sich manchmal neue Bereiche.
Die Kritik der Gruppe erlaubt es, die intersubjektive
Gültigkeit von Hypothesen und Theorien aufzudecken,
also diejenigen zu erfassen, die bis zu ihrer Widerlegung
das ‚objektive‘ Wissen bilden.
Theorien und Hypothesen gehen den Beobachtungen
immer voraus. Das gilt selbst für die alltägliche Wahrnehmung.
Ein Phänomen fällt uns erst dann ins Auge,
wenn es anders ist, als wir es aufgrund der Ideen und
Theorien, die in unserem Kopf sind, vermutet hätten. Das
gilt selbstverständlich auch für die wissenschaftliche Beobachtung:
Man konzipiert zunächst eine Idee (unter Einbeziehung
dessen, was bisher beobachtet wurde, also der
regelhaften und der regelwidrigen Phänomene), die das
240 241

gesamte Phänomen erklären soll. Diese neue Hypo these
wird durch systematische Beobachtung geprüft.
Soweit einiges von dem, was ich von Popper und Bachelard
gelernt habe. Und vieles findet man auch in der
natürlichen Methode wieder.
Zuallererst ist es dieses permanente Voranschreiten der
Theorie, für deren Entdeckung ich so viel Zeit benötigt
habe. Glücklicherweise habe ich lange Zeit in einer jahrgangsübergreifenden
Klasse mit Kindern gear beitet, die
eine pluralistische natürliche Methode frei ge lebt haben.
Sie waren es, die mich unterrichtet haben und mir diese
Idee trotz meines Widerstands eingetrichtert haben.
Wir haben zum Beispiel eine Überfülle an Theorien
herausgearbeitet, von denen bestimmte sehr unwahrscheinlich
sind. Eine bestimmte soziale Organisation des
Unterrichts erlaubt selbst in solchen Fällen eine positive
Aufnahme der Produktionen, was letztlich die Kreativität
fördert. Eine solche Klasse ist auch der Ort, wo über
die Ideen ohne Zensur gesprochen werden kann und wo
der Lehrer diese Ideen nicht gleich für seine eigenen Ziele
verwertet.
Der Lehrer unterstützt das demokratische Funktionieren
der Gruppe. Jeder kann sich durch das Gespräch
mit anderen seiner eigenen impliziten Postulate bewusst
wer den und diese kritisieren. Die Punkte, von denen die
ver schiedenen Individuen ausgehen, können sehr weit
aus einander liegen, aber jeder lernt durch die Handlungsweisen
der anderen dazu. Die Diskussion ist deshalb
so bereichernd, weil es nicht darum geht, um jeden
Preis eine Einigung zu erzielen oder einen Sieg davonzutragen,
sondern darum, seine eigene Sicht der Dinge zu
verbessern.
Die Menschen sind unterschiedlich: ernsthaft, fleißig,
erfinderisch, phantasievoll. Aber unabhängig davon werden
ihre Aussagen in der Forschergruppe offen kritisiert.
Wenn diese Kritik von selbstbewussten, von anderen anerkannten
Menschen positiv aufgenommen wird, gerät
die Grundhaltung des Betroffenen in Bewegung, die Aussagen
werden objektiver, verändern sich in Qualität und
Thematik. Eine vorwärts gerichtete Bewegung entsteht.
Dennoch fügen wir mit der natürlichen Methode einen
weiteren Aspekt hinzu. Denn wenn Popper von der Existenz
unterschiedlicher Individuen spricht, so akzep tiert er
sie so, wie sie jetzt sind. Wir aber haben es mit Persönlichkeiten
zu tun, die sich entwickeln. Und diese Dimension
dürfen wir nicht vergessen.
Glücklicherweise trägt die Ausbreitung der natürlichen
Methode auf alle Bereiche dazu bei, die kleinen mathematischen
Forscher in die beste Ausgangsposition zu
versetzen.
Die Bedeutung ungewöhnlicher Erfindungen
Wir haben gesehen, dass außergewöhnliche Erfindungen
eine besondere Rolle spielen. Wie sieht das in der Praxis
aus? Erinnern wir uns zum Beispiel an die ‚Theorie
der Sieben‘, die Tiziano mit so viel Energie verfochten hat
(vgl. S. 83f).
Es war irgendwie verrückt und wurde von der Gruppe
nicht akzeptiert: Man konnte so einfach nicht zählen. Aber
kurz danach hat mir Jany Gibert ein Problem er zählt:
242 243

„Wenn man an seinen Fingern auf folgende Weise zählt:
Auf welchem Finger kommt man mit der Zahl 147
an?”
Ich habe natürlich sofort an die ‚Theorie‘ von Tiziano
gedacht. Bei diesem Problem erinnert man sich wieder an
die Äquivalenzklassen, die wir schon gut kennen. Aber
man entdeckt auch eine Wechselfolge von Klassen (Paaren),
deren Existenz man nicht einmal vermutet.
Man findet Bekanntes wieder und man entdeckt
Neues.
Man findet insbesondere die beiden Momente des Lernens
wieder, die es bei Freinet (und bei Popper) gibt: auf
der einen Seite die Aneignung eines neuen Elements und
auf der anderen Seite das Bemühen, das Gelernte ins Unbewusste
abzudrängen.
Die Wiederholung ermöglicht das Lernen. Aber sie
kann sehr trocken, abstrakt, mechanisch und ohne jegliche
Harmonie sein. Wenn sie aber mit Schwung und mit
Bezug auf die reichhaltigen Lebenszusammenhänge erfolgt,
dann ist der Erfolg viel schneller und viel sicherer.
Die Freinet-Bewegung hat sich von Anbeginn bemüht,
vielfältige Werkzeuge zum Lernen (Karteien, Lesehefte
...) zu erstellen. Aber das war nur ein Anfang. Unsere Beispiele
zeigen neue Wege auf:
Man könnte die Phantasie von Tiziano mit derjenigen
von Sandro zusammenbringen, der an seiner Wange mit
den Fingern nur einer Hand zählte. Eine andere vielleicht
viel ertragreichere Verknüpfung wäre die mit den oszillierenden
Bewegungen (Schaukeln, Pendeln) oder mit den
verschlungenen Wegen oder dem Hin und Her oder den
Slalomfahrten oder den Kehrtwendungen oder besonders
extensiv mit den Sinuskurven und den zyklischen Bewegungen
... oder allem, was man sich noch denken könnte
und was vielleicht zu weit hergeholt scheint.
Von den Erfindungen der Addition mit Unbekannten
von Jacques ausgehend kann man bei der Suche nach Elementen
ankommen, die als Glieder einer Kette fehlen (der
Planet Neptun, der Quastenflosser ...) und auf
(Es ist ein Zahlenrätsel! 0 = O; 1 = M; 2 = ..., mehr sei
hier nicht verraten, Anm. d. Übers.)
An dieser Stelle ist es auch interessant, sich einmal
anzusehen, wohin es führt, wenn einzelne Teilnehmer
gegen den Lehrer für die Erfindungen der anderen Partei
ergreifen und sich begeistern. Gael (8 Jahre) hat mir
hier die Augen geöffnet. Ernsthaft wie er ist, hat er gründlich
nachgedacht und treffende Fragen gestellt. Und er
fühlte eine Art Berufung, denjenigen zu helfen, die in
244 245

Schwierigkeiten waren. Besonders empfindlich reagierte
Gael, wenn es um die Freiheit seiner Mitschüler ging. Einmal
hatte ich seinen Bruder und seinen Vetter etwas in die
Ecke getrieben, als sie mir vormachen wollten, dass sie
sich mit einer ausgedachten Sprache verständigen könnten.
Aber da hat Gael den beiden mit großem Einfallsreichtum
einen Ausweg gebahnt.
Ähnliche Situationen erlebte ich mit ihm häufiger: Als
ich eines Abends die mathematischen Erfindungen der
Kinder an die Tafel schrieb, lächelte ich vor mich hin, als
ich die von Michel (7 H Jahre) sah:
Ich sagte mir: „Darüber wird er sich bestimmt beschweren!“
Als Michel am nächsten Morgen in die Klasse kam,
sah er sich wie alle anderen nach seiner Erfindung an der
Tafel um, und tatsächlich reagierte er sofort:
„Aber Sie haben sich geirrt. Das habe ich nicht geschrieben!“
Aber er musste seinen Irrtum zugeben, als ich ihm sein
Heft zeigte.
„Ach, ja, ich habe mich geirrt.“
(Warum, lässt sich leicht erklären. Als er seine Zahlen
schrieb, war er mitten in seiner Erfindung. Er hatte kei nen
Abstand mehr. Erst am nächsten Tag hatte er die Rückmeldung
von der Tafel.) (61)
(61) Es ähnelte ein wenig dem, was Carl Rogers tat, als er die Aussagen
seiner Patienten neu formulierte, um sie ihnen bewusst werden zu lassen.
Wenn nun niemand den Fehler bemerkt hätte (62) , hätte
ich vielleicht diesen mathematischen Text zweimal vorgelesen
und dabei vor der 23 eine kleine Pause gemacht.
Das hätte bestimmt ausgereicht, um den Blick zu schärfen.
In diesem Fall war Michel überzeugt, dass er sich geirrt
hatte. Die Klasse und der Lehrer waren es auch.
In diesem Moment hat Gael eingegriffen:
„Aber es ist seine Erfindung. Er ist frei, das zu schreiben,
was er will!“
Ich musste anerkennen, dass dies richtig war, dass es
sich um einen freien mathematischen Text handelte, dass
man schreiben konnte, was man wollte. Und wir mussten
den Text so akzeptieren, wie er vorlag. Wir hätten uns also
damit zufrieden geben müssen, hier zu erkennen, dass erst
um 7, dann um 7 und schließlich um 8 erhöht wurde. Jemand
hätte sagen können:
„Er hätte nur die Sieben verwenden können.“
„Das ist richtig, er hätte können.“
Diese Kritik von Gael (die eine Kritik am Lehrer war)
hat uns neue Wege eröffnet. Die ganze Welt der Folgen (63)
hat sich uns aufgetan.
Der Einwurf von Gael stellt erneut die Frage nach der
(62) Da er sich nicht selbst kritisieren konnte, hätten seine Mitschüler
ihre Kritik anbringen können. Er hätte sie ohne Probleme akzeptiert,
weil sie mit ihm auf einer Ebene standen. Die Kritik durch den Lehrer
hingegen wäre viel gefährlicher gewesen, denn er hätte sie als Kritik durch
eine Vaterfigur und nicht durch seinesgleichen empfinden können. Man
kann sich sehr gut die Störungen des Denkens vorstellen, die so etwas
hervorrufen könn te.
(63) Oft schlage ich auf Fortbildungsseminaren vor, drei Ziffern
aufzuschreiben, die auf 1. 8.15. 23. folgen. Wir haben zum Beispiel
erhalten:
30, 37, 45 - 31, 38,45 - 31,40, 49 - 32, 51, 81 - 38, 61, 99 - ... Man ist frei!
Und das erlaubt, eine Arbeit über die Gesetze zur Bildung gewis ser Folgen
(bzw. über ihr Fehlen) anzufangen. Man kommt übri gens sehr schnell
zu den Dreieckszahlen, auf das Pascalsche Drei eck, auf die Folge der
Quadrate usw.
246 247

Rolle des Lehrers. Wie muss er sich verhalten, damit er die
freie Entfaltung der Gruppe nicht hemmt?
Das ist ein wichtiger Punkt, wenn nicht gar ein Hauptpunkt.
Ist der Weg jetzt nicht vollständig aufge zeigt? Es
ist der Weg einer Pädagogik, die den Menschen selbst, das
Gespräch zwischen ihnen und ihre Entwick lung respektiert.
Vielleicht können wir, wenn wir diesen Weg gegangen
sind, ihn als Beitrag zu einer umfassenden ökologischen
Betrachtungsweise werten.
8. Erfahrungsberichte aus Frankreich und
Deutschland
Bilanz von Daniel Boulanger
Während meiner ganzen Schulzeit hasste ich die Mathematik,
weil ich nichts verstanden habe. Ich musste erst
Lehrer werden und mich in der Position des Lehren den
wiederfinden, um endlich den Begriff der Basis bei Zahlensystemen
(Basis fünf, sechs, ...) zu verstehen, mit dem
man mir mehrere Jahre lang ohne Erfolg die Ohren vollgestopft
hatte.
Ich musste wieder beim Punkt Null anfangen. Wie die
Kinder musste ich mir Bündel machen und dann die Beziehung
zur Basis zehn herstellen, um zu entdecken, dass
man mich so lange mit einer einfachen Sache gelang weilt
hatte, die so kinderleicht ist, dass sie von jedem Kind gelernt
werden kann.
Unglücklicherweise bleiben mir noch viele einfache
mathematische Konzepte fremd, weil ich noch nicht alle
Schäden habe beheben können. Ich bin immer noch kein
‚Mathematiker‘. Dennoch habe ich die Mathematik gern
oder genauer gesagt, die natürliche Methode der Mathematik.
Jeder kann hier seinen eigenen Platz finden, welches
auch seine Anknüpfungspunkte sein mögen.
Paradoxerweise hat mir meine Behinderung bei der Erkenntnis
geholfen, was Leiden in und durch Mathe matik
bedeutet. Aufgrund günstiger Umstände bin ich ein Spezialist
des Mathematikunterrichts in der Elemen tarstufe
geworden.
Heute spüre ich das Bedürfnis, die Lücken auszufüllen
und die Sprache der Erwachsenen zu benutzen, um die
Konzepte zu beschreiben, die die Kinder manchmal mit
Leichtigkeit handhaben.
248 249

Bilanz von Marie Therese Bousquant
Als Bilanz der beiden Jahre meiner Arbeit mit der natürlichen
Mathematik im 2. Schuljahr stelle ich fest:
• Sie entwickelt den Sinn für Beobachtung und den Sinn
für Kritik.
• Sie bedeutet eine Öffnung für das Denken.
• Durch die Würdigung der Arbeiten und den Rücklauf
in die Gruppe werden die Produktionen bereichert und
die Kreativität nimmt zu.
• Man kann Vertrauen in die Kreativität und die Beobachtungsgabe
der Kinder haben, die sich durch die tägliche
Praxis, durch das Gespräch miteinander, durch die
Würdigung der Fähigkeiten und durch ihre Wertschätzung
innerhalb der Gruppe weiterenwickeln.
• Rechenkarteien, die sich auch um die Entwicklung der
Beobachtungsgabe und der Reflexion bemühen, kön nen
am Anfang eine wertvolle Hilfe sein. Sie sind eine gute
Ergänzung zum Bemühen der Kinder, weil sie sich oftmals
darauf beziehen.
• Es gab immer genügend Erfindungen der Kinder, um
die Arbeit mit ‚Rohstoff zu versorgen.
• Das Kind kann dank des Lehrers und dank der Gruppe
bzw. Klasse sein eigenes Lernen in die Hand nehmen
und seine eigene Mathematik konstruieren.
• Der Lehrer ist jetzt mehr jemand, der hilft, begleitet,
anregt, als jemand, der Wissen vermittelt. Das Gleichgewicht
ist dabei schwer zu finden und andauernd in
Frage gestellt.
• Die mathematische ‚Kultur‘ des Lehrers spielt eine
Rolle
• Wesentlich ist der Austausch zwischen den Lehrern,
um die entsprechenden Erfahrungen zusammenzutragen,
um alle mathematischen Begriffe zu sehen, die in
den Erfindungen der Kinder angesprochen werden bzw.
hätten angesprochen werden können, damit sie besser
gehört und eingeschätzt werden.
• Die Kinder sind nicht alle gleich kreativ, aber jedes kann
gewürdigt, bewertet und ermutigt werden. Und die Reaktion
der Kinder auf die Vorstellung einer Erfindung
birgt oft Überraschungen in sich, ist aber stark an ihre
momentane Bereitschaft gebunden.
• Ich habe große Lust, das Abenteuer am Schuljahrsbeginn
fortzusetzen, solange ich nicht allein damit bin
(in einem 3./4. Schuljahr).
Einige Eindrücke von Monique Quertier
Seitdem ich die natürliche Methode in Mathematik in
meiner Klasse eingeführt habe, machen die Kinder gerne
Mathematik: Sie wollen nur noch das, fordern die Besprechung
der Erfindungen und sind sehr unzufrieden an den
Tagen, an denen es keine gibt. Die Kinder wollen handeln
und entdecken, deshalb lieben sie die Bespre chungen der
mathematischen Erfindungen, denn dort können sie Autor,
Handelnder und Produzent sein.
Im Laufe der Besprechungen entwickelt sich ihr kritisches,
analytisches und beobachtendes Denken: Sie haben
immer etwas zu sagen. Wenn ich ihnen eine sehr klassische
Hausaufgabe in Mathematik aufgebe (für die Benotung),
stört sie das überhaupt nicht, weil sie daran ge wöhnt
sind, ständig neue Situationen zu erörtern, nämlich diejenigen,
die in den Erfindungen ihrer Freunde vorkommen.
Aber das folgende gilt auch für alles andere: Die natürliche
Methode der Mathematik verwandelt ihre Lebensweise
und ihre Sichtweise der Dinge: Sie lernen, all das,
was sie umgibt, wahrzunehmen und zu fühlen.
250 251

Die natürliche Methode der Mathematik hilft bei der
Freisetzung des Ausdrucks in all seinen Formen. Die Kinder
lernen, ihre Ideen vorzustellen, sich nicht mit einer
simplen Bestätigung zufrieden zu geben, denn die anderen
fordern Beweise, stellen dem Freund Fallen, indem sie
weiter gehen als er, oder finden eine Schwachstelle in seiner
Vorführung. Und all dies geschieht so oft wie möglich
unter Einsatz der gesprochenen Sprache, was für Kinder,
die sich wohl fühlen, leicht ist. Aber auch der Ängstliche,
der es nicht wagt, mit Worten die Oberhand zu gewinnen,
schafft es letztlich einen Weg zu finden, sich auszudrücken.
Das war bei Cedric so, der vier Monate lang stumm
geblieben ist. Er schrieb während der Besprechungen in
sein Heft, kam jedoch nie an die Tafel, um irgend etwas
zu sagen. Eines Tages, als wir uns mit dem Vergleich von
Strecken herumschlugen, stand er still auf und ging zur
Tafel, um Streckenabschnitte mit Hilfe der Zirkelöffnung
zu messen.
Ich habe die Gelegenheit genutzt, ihn nach seiner Vorgehensweise
zu fragen - und er hat es erklärt. Das ist der
erste Schritt gewesen. Danach ist er viel bereitwilliger gekommen,
um den anderen seine Wissenschaft zu zei gen.
Ich habe es noch nie erlebt, dass ein Kind ein ganzes Jahr
lang stumm geblieben ist.
Ergänzend sei darauf hingewiesen, dass die Kinder
ihrer Freude Ausdruck geben, wenn sie etwas gelernt
haben, sie gehen aus sich heraus und drücken ihre tiefen
Empfindungen aus.
Ich habe eine Verbesserung ihrer Beobachtungsfähigkeit
bei Abschreibübungen festgestellt. Sie schreiben
ohne Fehler ab. Ich glaube, dass sie durch die Besprechungen
der Erfindungen gelernt haben genau hinzusehen,
denn sie strengen sich an, dies zu tun.
Jeder folgt seinem Weg auf seine individuelle Weise,
baut individuell sein Wissen auf, aber all dies dank der
kollektiven Unterstützung. Er kann sich die Information
auswählen, die er für nützlich hält, um eine Schwierigkeit
zu überwinden.
Offensichtlich ist alles, was ich über die Kinder gesagt
habe, auch für den Lehrer gültig: Weil ich gezwungen war,
meine alten Bücher loszulassen, habe ich in den drei Jahren
gelernt, Impulse und Personen, von denen ich lernen
kann, zu suchen - nicht nur um die Arbeiten der Kinder zu
überprüfen, sondern auch, um meine persönliche Neugier
zu befriedigen. (Seid neugierig und ihr werdet gelehrt.)
Man muss nicht ‚begabt‘ in Mathematik sein, um sich
daran zu wagen: Man braucht keine Angst davor zu haben,
die Kinder einfach machen und sprechen zu las sen; man
muss lediglich lernen, während der Bespre chungen zu
schweigen und nur dann einzugreifen, wenn ein unbedingt
notwendiges Element zur Reihe der Opera tionen fehlt.
Apropos Schweigen, ich habe festgestellt, dass die
Gruppe, die nicht mit mir arbeitet, die also still sein
muss, besonders aktiv im Zuhören ist: Sehr oft stellt diese
Gruppe mathematische Erfindungen vor, die ein konsequenter
Fortgang der Erfindungen sind, die von der anderen
Gruppe besprochen wurden.
Ein letzter Rat an diejenigen, die sich an die natürliche
Methode der Mathematik wagen wollen: Macht es nicht
ganz allein, sucht euch Freunde, die sie auch praktizieren,
und organisiert mit ihnen Besprechungen über die mathematischen
Erfindungen der Kinder. Mit Erwachsenen finden
wir uns unvermeidlich in den gleichen schwierigen,
angenehmen oder komischen Situationen wieder, denen
wir in unseren Klassen begegnen.
252 253

Bilanz von Angela Glänzel nach 2 Jahren Erfahrung
Die Idee von Paul Le Bohec, den freien Ausdruck auch
in der Mathematik zuzulassen, hat mich sofort fasziniert,
einfach, weil die freien Texte in Deutsch und der freie
Ausdruck überhaupt für mich und die Kinder in meinen
Klassen immer wichtiger geworden war.
Seit zwei Jahren habe ich keine eigene Klasse mehr,
sondern gebe Fachunterricht in Mathematik in der 3. und
4. Klasse. Paul Le Bohecs Berichte hatten mir so viel Mut
gemacht, dass ich auch in dieser Situation als Fach lehrerin
dem freien Ausdruck genügend Platz einräumen wollte.
Da meine neuen Schüler und Schülerinnen den Begriff
‚freien Ausdruck‘ nicht kannten, nannten wir es ‚Mathematik
erfinden‘.
Inzwischen sieht mein Mathematikunterricht sehr anders
aus. Auch anders als der von Paul Le Bohec in diesem
Buch beschriebene. Im Laufe der Zeit haben sich die
Strukturen teilweise verändert; Leitmotiv ist jedoch geblieben,
die Mathematik der einzelnen Kinder zu verstehen,
sie diese entfalten zu lassen und im gemeinsamen
Gespräch Anregungen zu immer differenzierteren Vorstellungen
zu entwickeln.
Am Anfang war das Erfinden nicht immer leicht: Einige
Kinder werteten die Erfindungen der anderen ab, wenige
waren bereit, sich auf die Erfindungen der anderen
wirklich einzulassen, die Konzentration im Er finderkreis
ließ schnell nach.
Ich selbst war auf der Suche nach Strukturen, die zu
unseren Gegebenheiten, zu diesen Kindern, die keinen
offenen Unterricht kannten, passen. Ich probierte, veränderte.
Einige Kinder meckerten jedes mal, wenn ich zum
Erfinderkreis vor der Tafel aufforderte.
Aber bei einer kleinen Umfrage nach einigen Monaten
stellte sich heraus, dass knapp die Hälfte der Kinder ‚Erfinden‘
am liebsten mochten, und da Mathematik bei fast
allen Kindern zum Lieblingsfach geworden war, ließ ich
mich nicht mehr irritieren.
Nach zwei Jahren zählte bei 19 von 24 Kindern das
Erfinden zu den liebsten Aktivitäten im Mathematikunterricht.
Inzwischen haben wir längst Strukturen gefunden, die
zu uns passen:
Es gibt regelmäßige Erfinderkreise, die freiwillig sind
und meist aus etwa 5 bis 7 Teilnehmern und Teilnehmerinnen
bestehen. Einige Kinder kommen sehr oft,
eini ge wenige nur das eine Mal, das als Minimum innerhalb
von 6 Wochen gilt.
‘Mathematik erfinden’ ist inzwischen eine der vier
Säulen meines Mathematikunterrichtes, in dem es auch
noch freies Forschen (in einem Atelier mit viel Material zu
einem Thema), Sammeln (von Material und Vorstel lungen
aus dem Umfeld zu einem Thema) und ‚Üben‘ (individuelles
Erarbeiten und Erproben von Rechen verfahren) gibt.
Für viele Kinder hat das Erfinden jedoch zentrale
Bedeutung:
• für manche Kinder, weil sie dort all ihre vielfältigen
Vorstellungen und Ideen von Mathematik offenbaren
können,
• für andere, weil sie dort am meisten ernst genommen
werden. Es ist ihre Erfindung, also müssen wir anderen
den Versuch machen, sie zu verstehen,
• manche versuchen das was sie irgendwo aufge schnappt
haben, auszuprobieren und durch die Grup pe bestätigen
zu lassen,
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• einige Kinder nutzen die Chance, unter dem ‚Schutz
des Erfinders‘ alles ausprobieren zu können.
Valesca hat sich im 4. Schuljahr, als bereits die schriftliche
Multiplikation im Raum stand, eine fehlende Voraussetzung
mit folgender Erfindung erarbeitet:
Bei der Besprechung interessierten sich die anderen
Kinder zunächst für die Funktionsweise dieser Maschine
mit dem klang vollen Namen ‚Tiefunda‘: ... Bei jedem
Knopfdruck kommen 90 dazu ... Wenn man 8-mal den
Knopf drückt, sind es 720...
Nur ein Junge bemerkte, dass oben wohl eine Null fehle,
was Valesca und die anderen aber kaum beirrte. Vielleicht
verstan den sie besser als ich in diesem Moment, was Valesca
mit die sem Fehler kurz und knapp ausgesagt hat: „Ich
brauch‘ nicht 8mal die 90 dazuaddieren, ich kann auch 8•9
oder sogar 9•8 (die Achterreihe ist meine Lieblingsreihe)
rechnen und eine Null anhängen“.
Valesca hat mit dieser Erfindung das Rechenschema ‘Null
anhängen‘ verstanden, weil sie es selber erfunden hat.
Ich gebe zu, dass es jedes Mal eine Weile gedauert hat,
bis ich Valescas oder andere ‚Fehler‘ verstehen und akzeptieren
konnte. Geholfen hat mir in Alltagssituationen
mein fester Vorsatz, das Wort ‚falsch‘ zunächst ganz aus
meinem Wortschatz zu strei chen und stattdessen genau
hinzusehen und hinzuhören.
Für mich ist das Erfinden immer wichtiger geworden,
• weil ich sehen kann, wo die einzelnen Kinder wirklich
stehen in Mathematik, bzw., was sie zu ihrer Mathematik
gemacht haben,
• weil ich jedes einzelne Kind über diese Ausdrucksmöglichkeit
auch im begrenzten Fachunterricht als
ganze Person wahrnehmen kann,
• weil ich erlebe, dass in den Erfinderkreisen die schwachen
Kinder eine wichtige Rolle spielen: Denn oft sind
es gerade die Erfindungen der schwachen Kinder, vor
denen ich häufig etwas ratlos stehe, die aber im Erfinderkreis
ein sehr lebhaftes Gespräch auslösen.
Diese Erfahrung ermöglicht mir auch eine andere Haltung
den schwachen Kindern gegenüber, weil sich über
die Erfinderkreise in der Gruppe eine Haltung gegenseitigen
Verstehens und Akzeptierens installiert, die nicht nur
für freies und kreatives Lernen Bedingung ist. Man darf
als ganzer Mensch anwesend sein, auch als Mensch mit
dieser oder jener Besonderheit oder Schwierigkeit.
Ein hoher Anspruch, der in offensichtlichem Widerspruch
zu unserem Schulalltag steht, und dennoch ein
Weg, den zu gehen sich lohnt.
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Erste Versuche in einem 2. Schuljahr von Peter
Schütz
Die Ideen von Paul Le Bohec haben mich so beeindruckt,
dass ich noch während der Übersetzung damit begann,
sie in meinem eigenen Unterricht auszuprobieren.
Viele An regungen konnte ich problemlos übernehmen. In
einigen Bereichen musste ich aber eigene Wege suchen,
weil Pauls Vorschläge mich in eine Sackgasse geführt
hätten; denn meine Arbeitsbedingungen (Schüler, Lehrer,
Raum, Mate rial, Stundenplan, usw.) unterscheiden sich erheblich
von seinen. Ich möchte hier beschreiben, wie ich
methodisch eingestiegen bin, und einige Beobachtungen
darstellen, die ich bei meinen ersten Gehversuchen mit der
natürli chen Methode im Mathematikunterricht gemacht
habe.
1. Ausgangsideen
Als ich damit anfangen wollte, hatte ich ein zweites
Schuljahr mit 26 Schülern. Gerade angesichts der hohen
Schülerzahl hat mir der Tipp eingeleuchtet, Jahrgangsklassen
bei dieser Arbeit zu teilen. Ich wollte also die eine
Hälfte der Klasse mit Karteien, Mathebuch u.a. still beschäftigen,
während ich mit der anderen Hälfte deren Erfindungen
besprach.
Da ich im Fach Deutsch gute Erfahrungen mit Geschichten-Heften
als Einstieg ins freie Schreiben ge macht hatte,
kam mir die Idee, für jedes Kind entspre chende Hefte für
die freien mathematischen Texte einzu führen. Bis auf das
erste Mal sollte es den Kindern freigestellt sein, ob sie in
diesem Mathe-Forschungsheft arbeiten wollten oder nicht.
Genauso frei sollten die Kin der in dem sein, was sie hineinschreiben
wollten.
Für den organisatorischen Verlauf der Besprechung
musste ich mir auch etwas Neues einfallen lassen, denn
anders als Paul kann ich nicht nachmittags Schülererfindungen
an die Tafel schreiben, um sie am nächsten
Tag zu besprechen. Ich wollte sie vielmehr auf eine Folie
übertragen und dann mit Hilfe des Overhead-Projektors
präsentieren. Inhaltliche Vorgaben habe ich den Kindern
nicht ge macht, weil ich beobachten wollte, was die Kinder
von sich aus machen. Deshalb sollte die individuelle Arbeit
im Forschungsheft ein ständiges Angebot im Rahmen
der freien Arbeit sein.
2. Anfang
Bald nach Beginn des 2. Schuljahres habe ich für jedes
Kind ein DIN-A4-Heft mit Rechenkaros (Lineatur Nr. 22)
gekauft. Nach dem Austeilen habe ich erklärt, dass dies
das Heft sei, in das alles aufgeschrieben werden kann, was
jemand in Mathe erforscht. (Der Ausdruck ‚Forschung‘
war den Kindern aus dem Sachunterricht be kannt.) Die
Kinder haben es entsprechend beschriftet und dann angefangen,
das hineinzuschreiben, von dem sie meinten, dass
es etwas mit Mathe zu tun hätte.
Bei diesem ersten Versuch sind viele Schüler in dem
Bereich geblieben, in dem sie bisher gerechnet haben.
Zum Teil waren es sehr einfache Aufgaben, wie z.B. 10 +
9 = 19 . Andere haben sich in den Hunderter- und Tausender-Raum
vorgewagt: z.B. 100 + 500 = 600. Eine kleine
Gruppe hat Punkte, Kreuze oder Kreise in eine Reihe gezeichnet
und die Anzahl dazu aufgeschrieben:
Die Erfindungen haben wir dann in der jeweiligen Teilgruppe
gemeinsam besprochen.
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3. Durchführung
Für die Besprechung habe ich für jedes Kind eine
persön liche Folie für den Overhead-Projektor angelegt.
Zuhause habe ich die Hefte der Kinder durchgesehen. Je
nach Um fang der Arbeit habe ich entweder die gesamte
Arbeit oder einen Ausschnitt daraus auf die Folie übertragen.
(Wenn man sie auf das Heft legt und mit einem feinen
Folienstift nachschreibt, geht das sehr schnell. Außerdem
sind die Texte in der gleichen Form an der Projektionsfläche
wie im Heft zu sehen, was in vielen Fällen für das
Verständnis unerlässlich ist.)
Ausgewählt habe ich danach, was mir besonders interessant
erschien, z.B. eine ‚absteigende‘ Aufgabenserie:
Oder es kam ein neuer Aufgabentyp vor, z.B.:
Um den Überblick zu behalten, habe ich die Schüler gebeten,
ihre Eintragungen mit Datum zu versehen. (Nicht
immer mit dem nötigen Erfolg. Das nächste Mal will
ich konsequenter sein. Vielleicht mit Hilfe eines Datumstempels.)
Außerdem habe ich die Erfindungen, die wir
gemeinsam besprochen haben, im Heft eingerahmt.
Die Teilgruppe, die gerade mit der Besprechung an der
Reihe war, hat sich mit ihren Stühlen nach vorn vor die
Projektionsfläche gesetzt. Der erste Teil des Rituals war,
dass ein Schüler den ‚Text‘ vorgelesen hat.
Danach haben sich die Schüler meist spontan ge äußert.
(Besonders dann, wenn ein ‚Fehler7 darin war.) Wenn
Korrekturen notwendig wurden, haben die Schüler sie
mit einem andersfarbigen Folienstift eingetragen. Manchmal
entspannen sich lebhafte Diskussionen, beson ders bei
Rätseln.
In manchen Fällen habe ich zusätzliche Impulse gegeben,
um auf der Grundlage der betreffenden Erfindung
weiterzuarbeiten. So habe ich z.B. bei der ‚aufsteigenden‘
Aufgabenserie
danach gefragt, wie die Reihe wohl weitergehen könnte.
Die Ergebnisse haben wir auf die Folie an die passende
Stelle geschrieben. Oder wir haben danach gesucht, welche
Aufgabe wohl vor der ersten Aufgabe des Autors
kommen könnte. Auch die Ergebnisse dieser Suche haben
wir mit einem andersfarbigen Stift auf die Folie geschrieben.
Bei Aufgaben vom Typ 400 + 500 = 900 haben wir
nach der Aufgabe aus dem ersten Schuljahr gesucht, die
dazugehört (4 + 5 = 9). Das hat uns geholfen zu verste hen,
warum das Ergebnis der Addition: 400 + 600 nicht 100,
sondern 1000 ist.
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Zum Schluss hatte jeder Erfinder noch einmal die Möglichkeit,
zu seiner Erfindung Stellung zu nehmen. Dieses
Angebot wurde in den meisten Fällen aber nicht genutzt.
4. Verzahnung mit dem ‘normalen Matheunterricht’
Während dieser Versuche mit der natürlichen Methode
wollte ich auf keinen Fall auf die sonst üblichen Arbeitsweisen
in Mathe verzichten. Die Rechenfertigkeiten habe
ich mit Hilfe von Rechenkarteien üben lassen. Diese sind
während der Besprechungen von der jeweils still beschäftigten
Gruppe bearbeitet worden.
Anfangs habe ich versucht, mit jeder Teilgruppe zweimal
in der Woche eine Besprechung durchzuführen. Da
aber eine Besprechung fast immer eine Stunde dauerte,
waren damit bereits vier Wochenstunden festgelegt. Das
habe ich nicht durchhalten können. Man braucht schließlich
auch noch Zeit, um gemeinsam neue Gebiete zu erarbeiten.
Manchmal haben auch ganz profane Umstände (z.B.
habe ich vergessen, die Hefte mitzunehmen) verhin dert,
dass dieser Rhythmus durchgehalten werden konn te.
5. Beobachtungen
5.1. Aufnehmen anderer Ideen
Die Kinder haben immer wieder Ideen, die von einem
Mitschüler neu eingebracht worden sind, aufgenommen
und selbst daran gearbeitet. Ich brauchte also keine Impulse
zu geben. (Indirekt habe ich sie natürlich doch gegeben,
indem ich nur einen Teil der im Heft vorgefun denen
Ideen für die Besprechungen ausgewählt habe.)
Bemerkenswert war, dass die Kinder vor allem auch solche
Aufgaben von sich aus gerechnet haben, die gera de im
‘normalen’ Unterricht bearbeitet wurden. Beson ders auffällig
war dies nach der Einführung der Multi plikation.
5.2. Gruppenarbeit
Überraschend war für mich die Beobachtung, wie eine
Tätigkeit, die ich bisher immer als Einzelarbeit eingestuft
habe, nämlich das ‚Päckchen-Rechnen‘, zur Gruppenarbeit
wird. Oft haben sich zwei Schüler verabredet, um
in der freien Arbeit gemeinsam im Mathe-Forschungsheft
zu arbeiten.
Teils haben sie dieselben Aufgaben gerechnet. Teils
waren es ähnliche Aufgaben. Wenn dann jemand eine
neue Variation entdeckt hatte, wurde sie den anderen
gleich mitgeteilt und von diesen ggf. aufgenommen und
ausprobiert.
5.3. Lange Reihen
Bei vielen Schülern waren Aufgabenserien sehr beliebt.
Es fing z.B. an mit: 1 + 1 = 2, 2 + 2 = 4, 3 + 3 = 6 und hör te
je nach verfügbarer Zeit und der momentanen Aus dauer
mit 10 + 10 = 20 oder gar mit 50 + 50 = 100 auf.
Auch Nachfolgeaufgaben wurden viel gerechnet: der
nächste Einer: + 1, der nächste Zehner: + 10, der nächste
Hunderter: + 100 oder gar der nächste Tausender: + 1000.
Bei der Auswahl der Typen sind die Kinder nicht systematisch
aufbauend vorgegangen. Nach Aufgaben wie
9000 + 999 = 9999 wurde durchaus gerechnet: 0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1,1 + 1=2usw.bis 19 + 1 = 20.
Einige Kinder legten dabei eine erstaunliche Ausdauer
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an den Tag. Reni schrieb z.B. drei Spalten mit je 56 Aufgaben
(= 168 Aufgaben!!!) mit + 100 auf eine Seite.
Philipp, ein guter Rechner und Mathematiker, hat sich
selbst Aufgaben gestellt, die ich ihm wegen Unterfor derung
niemals zugemutet hätte. Sechsmal schrieb er auf: 10 + 10
= 20, danach sechsmal 20 + 20 = 40, dann sieben mal 30
+ 30 = 60 und ebenso siebenmal 40 + 40 = 80. Mir ist unerklärlich,
warum er dies tat. Auf entsprechende (vorsichtige)
Anfragen konnte er auch keine Antwort geben. Aber
es musste für ihn irgendeine Bedeutung, irgendeinen Sinn
haben, denn sonst hätte er, der immer jede ‚überflüssige‘
Arbeit strikt abgelehnt hatte, sich nicht der Mühe unterzogen,
dies hinzuschreiben.
5.4. Problemkinder
Anna ist ein verträumtes Mädchen, das in ihrer Pferdewelt
lebt. Tiere im allgemeinen und Pferde im besonderen
haben es ihr angetan. Alles, was in irgendeiner Weise
mit Zahlen zu tun hat, war nicht ihre Sache. Auch zu Beginn
des zweiten Schuljahres rechnete sie im Bereich bis
6 noch mit Fingern (Addition und Subtraktion). Mengen
bis 6 zählte sie immer noch ab. Da dies ihr Leistungsstand
trotz zweijähriger intensiver Förderung im Schulkindergarten
und in der ersten Klasse war, verfolgte ich
ihre Erfin dungen mit besonderem Interesse. Ziemlich am
Anfang schrieb sie Aufgaben mit Tierzeichnungen in ihr
Forscherheft:
Dieser freie mathematische Text veranlasste mich,
meine Einschätzung ihrer Fähigkeiten zu revidieren. Er
beweist, dass bei ihr nämlich eine sehr genaue Vorstellung
von dem vorhanden war, was eine Addition, was eine
Subtraktion und was eine Gleichung ist. Besonders beeindruckend
belegt dies die Aufgabe vom Schwan.
Der freie mathematische Text von Anna hat mir geholfen,
ihre Schwierigkeiten genauer bestimmen zu können:
Die Operationen an sich (einschließlich der dazugehörigen
formalen Darstellung = Gleichungen) beherrschte sie.
Aber sie hatte Probleme, mit formalen Repräsentanten,
wie Zahlen mit arabischen Ziffern, zu operieren. Später
hat sie einen Teil ihrer Erfindungen der Bearbeitung dieses
Problems gewidmet. Vor allem hat sie an der Mäch-
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tigkeit von Mengen gearbeitet. In diesem Zusammenhang
hat sie auch die Ungleichheit in folgender Weise herausgearbeitet:
5.5. Besprechungen
Die Besprechungen der Erfindungen sind nach meinen
Beobachtungen ein möglicher Motor für die freiwillige
Produktion von freien mathematischen Texten. Die Kinder
und ich haben sie zu Anfang mit viel Begeisterung
und Engagement durchgeführt (Ende Oktober). Doch
dann kam mit der Adventszeit, in der andere Dinge wichtiger
waren, der große Einbruch. Ich schaffte es nur noch
sporadisch, gemeinsam mit der jeweiligen Teilgruppe, die
Erfindungen zu besprechen. Als ich aber nach den Osterferien
die regelmäßigen Besprechungen (jede Teilgruppe
einmal pro Woche) wieder aufgenommen hatte, wurde das
Forschungsheft nicht nur von einigen wenigen Schülern,
sondern von den meisten wieder regelmäßig genutzt.
Allerdings musste ich auch beobachten, dass vier
Schüler kaum in diesem Heft arbeiteten. Es waren Kinder,
die bei der freien Arbeit lieber die Angebote im kreativen
oder kommunikativen Bereich genutzt haben.
6. Ausblick
Soweit dieser kurze Bericht über meine ersten Gehversuche
mit der natürlichen Methode im Mathematikunterricht.
Sie waren für mich so ermutigend, dass
ich sie auf jeden Fall auch in diesem Schuljahr mit meiner
neuen ersten Klasse fortsetzen möchte. Besonders spannend
wird sein, wie die Kinder (und ich als Lehrer) damit
zurecht kommen, wenn sie nur geringe mathematische
Vorkenntnisse mitbringen.
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9. Schlussbemerkung
Man kann die natürliche Methode des Lernens auch als
‚schöpferischen Ausdruck und Gespräch in einer positiv
gestimmten Gruppe‘ bezeichnen.
Doch in jeder Gruppe sieht sie anders aus - je nach der
Persönlichkeit des Lehrers, der Lehrerin.
Wesentlich ist jedoch, dass man versucht, das ‘ansteigende’
Wissen der Kinder mit dem ‘absteigenden’ Wissen
der Erwachsenen zu verbinden.
Das gelingt nur, wenn die Erwachsenen diese Wege
des Wissenserwerbs selbst kennengelernt haben.
Was die Mathematik betrifft, so können wir durch die
natürliche Methode mit ihr leben, sie so neben uns sein
lassen, dass sie weder bedrückt noch unterdrückt, son dern
uns eher freundschaftlich begleitet: diskret, wenn es sein
muss, stets zur Stelle, wenn man sie braucht, und hilfreich,
wenn es um das Überleben, um die Ausgestaltung
eines freudvollen Lebens oder um die Erfüllung von Bedürfnissen
geht.
Bibliographie
Bac h e l a r d: Le Nouvel Esprit Scientifique. P.U.F. 1966.
(Dt. Ausg.: Der neue wissenschaftliche
Geist. Frankfurt 1987)
Le Rationalisme Appliqué. P.U.F. 1970.
L’Engagement Rationaliste. P.U.F. 1972.
Ba ru k, St ell a: Echec et mathe. Point Science. Seuil.
1977. L‘Age du capitaine. Sciences ouvertes.
Seuil. 1985. (Dt. Ausg.: Wie alt ist der
Kapitän? Basel, 1989)
Bo u rg e r e S S e, re n é e: Karl Popper Ed. J.Vrin. 1986.
ch a n g e u x, J.P. et co n n e S, al l a i n: Matiére à penser.
E. Odile Jacob. 1989. (Dt. Ausg.: Gedanken,
Materie. Berlin u.a. 1992)
cl a n c h é, Pi er r e: L‘Enfant Ecrivain. Le Centurion. 1988.
Fr e i n et, céleSt i n: Éducation du Travail. Gap: Editions
Ophrys 1949
Psychologie Sensible. Delachaux; Neufchâtel.
1966.
La Méthode naturelle, Edition Delachaux
et Niestlé, Neuchâtal. Schweiz 1968 Band
I: L’Apprentissage de la Langue. Edition
Delachaux et Niestlé. (Übersetzung (leicht
gekürzt) in: Boehncke/ Humburg: Schreiben
kann jeder. Rowohlt. Hamburg 1980)
Band IL L’Apprentissage du Dessin
Band III.L’Apprentissage de l’Ecriture
Band 2 und 3 (z.T. in veränderter Fassung
wieder abgedruckt in: Freinet, Célestin:
Oeuvres Pédagogiques, Band 2, Editions
du Seuil, Paris 1994, Seite 205-720
268 269

Fr e u d, Si g m u n d: Psychopathologie de la vie quotidienne.
Payot. n. ed. 1989
(Dt. Ausg.: Zur Psychopathologie des
Alltags lebens. Frankfurt 1989)
gi r a r d, re n é: Des choses cachées depuis la fondation du
monde. Grasset. 1978.
le Bo h e c, Pau l: Une expérience de mathématique libre
au CE 1. Dossier pédagogique Nr. 46-
47-48, CEL, Cannes 1967/68
Pierrick et la mathématique. Un trimestre
de mathématique libre au CE 2. CEL.
Cannes 1970
Beide Texte in gekürzter und überarbeiteter
Fassung wieder abgedruckt in: Documents
de L΄Éducateur Nr. 195: La méthode
naturelle de mathématiques. CEL.
Cannes
„Un trimestre de mathématique libre au
cours élémentaire 2eme année.“ Dossier
pedagogique Nr. 56,57,58. In gekürzter
und überarbeiteter Fassung wie der abgedruckt
in: Documents de L΄Éducateur Nr.
195: La méthode naturelle de mathematiqes.
le Bo h e c, Pau l / gu i l l o u le, mic h è l e: Les Dessins
de Patrick -Effets thérapeutiques de
l‘expression libre. Castermann. Tournai
Belgien 1980 (Dt. Ausg.: Patricks Zeichnungen
- Erfah rungen mit der therapeutischen
Wirkung des freien Ausdruckes,
Pädagogik-Kooperative Bremen 1993 [nur
dort erhältlich])
lem ery, ed m o n d: Pour une mathématique populaire.
Castermann.
lo r e n z-Po P P e r: L‘Avenir est ouvert. Flammarion. 1990.
(Dt. Ausg.: Die Zukunft ist offen. München/Zürich
1985)
mo r i n, ed g a r: La Méthode. 3. La Connaissance de la
connais sance. Seuil. 1986.
nat u r ellem e n t m at h: unregelmäßig seit 1989 erscheinende
Arbeitsberichte einer Arbeitsgruppe
französi scher Freinet-Pädagogen
zur natürlichen Méthode in der Mathematik.
Bis jetzt erschienen 11 Nummern. Für
1996 ist ein zusammenfassendes Dossier
über alle 11 Nummern geplant.
Kontakt über Monique Quertier, 89 Boulevard
Foch, 95210 Saint Gratien
ni m i e r, Jac q u e S: Mathématique et affectivité. Stock.
1976.
Pi ag e t, Je a n: Où va l‘éducation, Denoel/Gonthier 1988
Auch unter: „A structural Fondation for
Tomorrow‘s“ veröffentlicht in Jean Piaget:
„To understand is to invent“, Grossman
Publishers, New York 1973
Po m è S, Je a n-cl au d e: Bibliothèque de travail et de recherche.
23 - 24. C.E.L.
Pro u S t, ma rc e l: Le temps retrouvé. folio Gallimard.
1988 (Dt. Ausg.: Die wiedergefundene
Zeit. Frankfurt 1988) Combray. folio Gallimard.
1988. (Dt. Ausg.: Combray. Berlin
1988)
P.e.m.F.: Mouans-Sartoux. Livrets programmés.
chtiqui: Bulletin I.C.E.M. Nord-Pas-de-Calais.
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Lieber Paul Le Bohec
... Was mich in Ihrer Arbeit besonders begeistert, ist die Haltung des Lehrers, der sich auf
leichte und natürliche Weise ständig in einem wechselseitigen und einfühlsamen Austausch
mit den Kindern befindet und uns damit einen wunderbaren Weg zeigt.
Wir erleben hier wirkliches ‚tastendes Versuchen‘ (ein grundlegendes Prinzip der Freinet-
Pädagogik, d. Hg.), das völlig unbelastet von abgehobenen Erklärungen ist. Das ‚tastende
Versuchen‘ erscheint hier in seiner Dynamik von gegenseitigem Austausch, Kommunikation
und Beziehung, Schöpfung und Erfindung und miteinander Teilen.
Mit dieser Arbeit betonen Sie eine Dimension, die Freinet zwar immer angesprochen hat,
die er aber nie durch geeignete Mittel und Strukturen genügend festigen konnte.
Ein schöpferischer Unterricht, der ansteckt und überzeugt!
(Aus einem Brief von Elise Freinet an Paul Le Bohec)
ISBN 3-9805100-1-8