Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

1 GRUNDBEGRIFFE 12
Weitere Bezeichnungen
Sei ϕ : X → Y eine Abbildung. Sei A ⊆ X. Dann heißt ϕ(A) := {aϕ | a ∈ A} das Bild
von A unter ϕ.
Insbesondere ist ϕ (X) die (gesamte) Bildmenge von ϕ.
Sei C ⊆ Y . Man nennt
die Urbildmenge von C (unter ϕ).
ϕ −1 (C) := {x ∈ X | ϕ (x) ∈ C}
Eine Abbildung ϕ heißt konstant, wenn für alle a, b ∈ X gilt aϕ = bϕ.
Begriff: Restriktion einer Abbildung Sei ϕ : X → Y eine Abbildung und A ⊆ X.
Dann kann man eine neue Abbildung bilden: ˆϕ := {(a, y) | a ∈ A und (a, y) ∈ ϕ}.
Man nennt ˆϕ die Restriktion (auch: Einschränkung) von ϕ auf A.
Schreibweise: ϕ|A := ˆϕ.
ϕ|A ist also eine Abbildung mit Definitionsbereich A, und Y ist eine Zielmenge von ϕ|A.
1.6.1 Nacheinanderausführung von Abbildungen
Seien ϕ, ψ Abbildungen mit Bildbereich (ϕ) ⊆ Definitionsmenge (ψ).
Dann ist
ψ ◦ ϕ = {(a, b) | es gibt c mit (a, c) ∈ ϕ und (c, b) ∈ ψ}
eine Abbildung (mit Definitionsmenge (ψ ◦ ϕ) = Definitionsmenge (ϕ)). Je nachdem, ob
man Abbildungen rechts (links) an das Argument schreibt, schreibt man ϕψ (ψ ◦ ϕ). Also
xϕψ, ψ ◦ ϕ(x) für x ∈ Definitionsberech (ϕ) ist.
Man nennt ϕψ = ψ ◦ ϕ die Nacheinanderausführung (auch Hintereinanderausführung)
von ϕ und ψ (gelesen ”ψ nach ϕ”, weil erst ϕ und danach ψ angewendet wird).
Also xϕψ oder ψ ◦ ϕ (x).
Die Aussage (a, c) ∈ ϕ und (c, b) ∈ ψ besagt also:
a ϕ
↦→ c, und c ψ
↦→ b; deshalb a ψ◦ϕ
↦→ b.
Anders geschrieben:
aϕ = c und cψ = b; deshalb aϕψ = b.
Man beachte, dass die Nacheinanderausführung von Abbildungen nur dann definiert ist,
wenn der Bildbereich der zuerst auszuführenden Abbildung im Definitionsbereich der zwei-
ten liegt (Man kann eine allgemeinere Definition der Nacheinanderausführung von Abbil-