Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

3 WICHTIGE ALGEBRAISCHE STRUKTUREN 34
Wir können also ’das neutrale Element’ sagen, wenn es überhaupt eines gibt.
Beweis. Angenommen, e und e ′ sind neutrale Elemente der Halbgruppe G, ·. Dann gilt
e · e ′ = e und auch e · e ′ = e ′ . Also e = e ′ .
Schreibweisen Statt (G, ·) auch G, ·, oder nur G. Bei · ist 1 , bei + ist 0 als Bezeichnung
für ein neutrales Element üblich.
3.0.2 Beispiele
1. (N, +) ist eine Halbgruppe ohne neutrales Element (aber (Z, +) hat das neutrales Ele-
ment 0).
2a). Sei X beliebige Menge. Dann ist X X (die Menge aller Abbildungen X → X) mit
◦ eine Halbgruppe mit neutralem Element idX (denn α ◦ idX = α für alle Abbildungen
α : X → X).
2b). Sei X endlich, G := {α | α : X → X nicht bijektiv }. Dann ist (G, ◦) eine
Halbgruppe, die kein neutrales Element hat (da idX /∈ G).
Definition 36 (Gruppe) Man nennt (G, ·) eine Gruppe, wenn gilt: (G, ·) ist eine Halb-
gruppe mit einem neutralen Element e, und wenn gilt (Existenz eines Rechtsinversen):
Zu jedem a ∈ G existiert ein b ∈ G mit ab = e.
Lemma 37 (Eindeutigkeit des inversen Elements) Sei G, · eine Gruppe und e das
neutrale Element. Sei a ∈ G. Dann existiert genau ein b ∈ G mit ab = e. Für dieses
Element gilt auch ba = e.
Bezeichnung Man nennt b das inverse Element zu a; Schreibweise: a −1 bei Verknüpfung
·; −a bei Verknüpfung +.
Beweis des Satzes. (i) Für alle a, b ∈ G gilt: ab = e ⇒ ba = e.
Beweis (i). Es gibt c ∈ G mit bc=e. Nun folgt: e = bc = bec = babc = bae = ba.
(ii) Für alle a, b, b ′ ∈ G gilt: ab = e = ab ′ ⇒ b = b ′ .
Beweis (ii). b = be = bab ′ = (wegen (i)) eb ′ = b ′ .
Lemma 38 (Rechenregeln in einer Gruppe) Sei (G, ·) eine Gruppe und e das neu-
trale Element.
(i) (Links- und Rechtskürzungsregel) Für alle a, b, c ∈ G gilt: ab = ac ⇒ b = c; und