Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

1 GRUNDBEGRIFFE 22
Beweis von (*). Es ist B wirklich (wie schon voreilig hingeschrieben) eine Zielmenge von
β, denn für jedes x ∈ A gilt xα ∈ B; und wenn x ∈ A \ S ist, folgt insbesondere x ∈ S0,
also x ∈ B.
Behauptung: Die Abbildung β ist injektiv.
Zum Beweis seien x, z ∈ A mit x = z vorgegeben. Falls x, z ∈ S ist, folgt
xβ = xα = zα = zβ (=, da α injektiv ist). Falls x, z ∈ A \ S ist, folgt xβ = x = z = zβ.
Falls x ∈ S und z ∈ A \ S ist, folgt xβ ∈ α(S) ⊆ S und zβ = z ∈ A \ S, also xβ = zβ.
Behauptung: Die Abbildung β : A → B ist surjektiv auf B.
Zum Beweis sei y ∈ B vorgegeben. Falls y /∈ S ist, folgt y = yβ.
Nun liege der Fall y ∈ S vor. Dann existiert ein n ∈ N0 mit y ∈ Sn. Wegen y ∈ B folgt
y /∈ S0, also n = 0. Nach Definition von Sn existiert ein x ∈ Sn−1 mit xα = y. Es folgt
x ∈ S und dann xβ = xα = y.
Beweis des Satzes von Schröder und Bernstein
Die im Satz genannten Voraussetzungen mögen vorliegen. Dann gibt injektive Abbildungen
ϕ : A → B und ψ : B → A. Die Abbildung ϕψ : A → ψ(B) ist dann injektiv. Nach dem
Lemma ist also A gleichmächtig zu ψ(B) ⊆ A. Da ψ : B → ψ(B) bijektiv ist, ist ψ(B)
gleichmächtig zu B. Nach der Transitivitätsregel für ’gleichmächtig’ folgt: A gleichmächtig
zu B.
1.7 Weiteres zu Relationen
Wir haben schon den Begriff Relation eingeführt, um damit Abbildungen als spezielle
Relationen zu definieren. Weitere spezielle Sorten von Relationen sind die auch schon
eingeführten Äquivalenzrelationen und Ordnungsrelationen.
Eine Relation R zwischen den Mengen U und V ist laut Definition eine Teilmenge
R ⊆ U × V .
1.7.1 Beispiele
1. U = V = N, R := {(u, v) ∈ N × N | u ≤ v}. D.h. u R v bedeutet u ≤ v (dabei bezeichne
≤ die gewöhnliche Anordnung auf N, z. B. 3 ≤ 5).
2. U = V := Menge aller Dreiecke in der euklidischen Ebene. R := {(u, v) ∈ U × U | u
läßt sich durch eine Bewegung (=abstandstreue Abbildung) der euklidischen Ebene auf v
abbilden; d.h. u kongruent zu v }.
3. U := Menge der Punkte, V := Menge der Geraden der euklidischen Ebene.
R := {(u, v) ∈ U × V | u inzidiert (=liegt auf) v } (Inzidenz).