Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

1 GRUNDBEGRIFFE 8
die Vereinigungsmenge von C (oder über C).
(Die Existenz solcher Mengen ist nicht beweisbar und muß als Axiom gefordert werden.)
Bemerkung Die oben verwendete Schreibweise ist nicht sehr populär. Man schreibt auch
{X | X ∈ C} oder X. Wenn C = {A1, . . . , An} ist, schreibt man auch
X∈C
Ai oder
i
· · · An. Es gilt ∅ = ∅ und {U} = U.
A1
Beispiel Für n ∈ N setze Jn := x ∈ R | 0 ≤ x < 1
n . Setze C := {Jn|n ∈ N}. Dann gilt
C = {x ∈ IR| 0 ≤ x < 1}.
1.3.10 Durchschnitt
Sei C eine Menge und C = ∅. Dann heißt
C := {x | für jedes U ∈ C gilt x ∈ U}
der Durchschnitt von (über) C. (Die Existenz von C ist beweisbar).
Man verwendet die analogen Schreibweisen wie für . Insbesondere schreibt man, wenn
C = {U, V } ist, U ∩ V für C.
Wenn U ∩ V = ∅ ist, sagt man: U ist disjunkt zu V .
1.4 Quantoren
Sei V eine Menge. Für jedes v ∈ V sei A (v) eine Aussage.
Beispiel V := N. A (n) : 23 ist ein Teiler von n.
Wir bilden zwei neue Aussagen:
B : Es gibt w ∈ V derart, daß A (w) wahr ist. In Zeichen: ∃w ∈ V : A (w) ist wahr.
C : Für alle w ∈ V ist A (w) wahr. In Zeichen: ∀w ∈ V : A (w) ist wahr.
Aussage C ist äquivalent zu: ¬ (∃w ∈ V : A (w) ist falsch).
”Es gibt” (∃) heißt Existenzquantor, ”Für alle” (∀) heißt Allquantor. Die oben ange-
gebenen Zeichen verwendet man kaum in mathematischen Texten, sondern folgende
Redeweisen:
Für (mindestens) ein w ∈ V gilt A (w); auch: es gibt w ∈ V derart, daß A (w) gilt; auch:
für ein passendes w ∈ V gilt A (w).
Für alle w ∈ V gilt A (w); auch: Für jedes w ∈ V gilt A (w); auch: A (w) gilt für beliebiges
w ∈ V .
Statt ”A (w) ist wahr” sagt man auch ”w erfüllt die Eigenschaft A”.