Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

1 GRUNDBEGRIFFE 6
1.3.2
Folgende Axiome werden vorausgesetzt.
Gleichheitsaxiom Für alle Mengen U, V, W gilt:
U = U;
(U = V ) ⇔ (V = U);
(U = V ) und (V = W ) ⇒ (U = W ).
Außerdem sollen für zwei gleiche Mengen dieselben Aussagen wahr sein.
Ausdehnungsaxiom Für alle Mengen U, V gilt: U = V ⇔ Für jede Menge W gilt:
Die letzte Eigenschaft sagt:
(W ∈ U) ⇔ (W ∈ V )
Mengen U, V sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente haben. Diese Ei-
genschaft ist keineswegs selbstverständlich; z.B. betrachte man Menschen anstelle von
Mengen, und U ∈ V bedeute: U ist Vorfahre von V . Dann gilt zwar: (U = V ) ⇒
[(W ∈ U) ⇔ (W ∈ V )], aber die Umkehrung: (U = V ) ⇐ [(W ∈ U) ⇔ (W ∈ V )] ist falsch
(verschiedene Menschen können die gleichen Vorfahren haben).
1.3.3 Teilmengen
Für Mengen U, V schreibt man U ⊆ V , wenn für jede Menge x gilt:
x ∈ U ⇒ x ∈ V
Sprechweise: U ist eine Teilmenge von V ; auch: U ist in V enthalten. Das Teilmenge-
Zeichen ⊆ heißt Inklusion. Nach dem Ausdehnungsaxiom sind Mengen U, V genau dann
gleich, wenn (U ⊆ V und V ⊆ U) gilt.
1.3.4 Axiom der Teilmengenbildung durch eine Eigenschaft
Sei V eine Menge. Für jedes x ∈ V sei A (x) eine Aussage (die von x abhängt). Dann gibt
es eine Menge U mit der Eigenschaft: Für jede Menge x gilt:
Die Menge U ist eindeutig bestimmt.
x ∈ U ⇔ (x ∈ V und A (x) ist wahr)
Bezeichnung: U = {x ∈ V | A(x)}; U = {x | x ∈ V und A(x)}; U =
{x | x ∈ V und A(x) gilt}.
Insbesondere ist V = {x | x ∈ V } für jede Menge V.