Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

1 GRUNDBEGRIFFE 14
Andere Formulierung: Für alle a, b ∈ X gilt: aϕ = bϕ ⇒ a = b.
Die Abbildung ϕ heißt surjektiv auf (nach) Y , wenn gilt: Zu jedem y ∈ Y gibt es ein
x ∈ X mit xϕ = y.
Andere Formulierungen: ϕ −1 ({y}) = ∅ für jedes y ∈ Y ; auch: Y = ϕ (X) (Bildmenge von
ϕ).
Man nennt ϕ bijektiv nach (auf) Y , wenn ϕ injektiv und surjektiv (nach Y ) ist.
Eine bijektive Abbildung ϕ : X → X nennt man eine Permutation auf X.
1.6.4 Beispiele
1. X := N, ϕ : N→N, nϕ := n + 3 für jedes n ∈ N (andere Schreibweise: ϕ : n ↦→ n + 3).
Die Abbildung ϕ ist injektiv.
Sei nämlich n, m ∈ N und nϕ = mϕ Dann gilt n + 3 = m + 3. Es folgt m = n.
2. Setze ϕ : IR→IR, x ↦→ x 2 .
Nicht injektiv, denn es ist (−1)ϕ = 1 = 1ϕ und −1 = 1.
3. Setze ϕ : IR>0 → IR, x ↦→ x 2 . Die Abbildung ist injektiv.
Beispiel einer Permutation
Chiffriertes Wort:
Klartext:
G
1
A
2
R
3
U
4
J
5
A
6
J A G U A R . Aus dem Klartext entsteht die Chiffre durch die Abbildung
ϕ : {1, 2, . . . , 6} → {1, 2, 3, 4, 5, 6} (angewendet auf die Buchstabenpositionen) ϕ : 1 ↦→
5, 2 ↦→ 6, 3 ↦→ 1, 4 ↦→ 4, 5 ↦→ 2, 6 ↦→ 3 . Denn der an erster Stelle stehende Buchstabe
des Klartextes wird an die fünfte Position gerückt; der zweite an die sechste; der dritte an
die erste..... in Relationenschreibweise: ϕ = {(1, 5) , (2, 6) , (3, 1) , (4, 4) , (5, 2) , (6, 3)}
Die Abbildung ist injektiv und auch surjektiv auf X := {1, 2, . . . , 6}. D.h. ϕ ist eine
Permutation {1, 2, . . . , 6}.
Oft verwendete Schreibweise: ϕ =
1 2 3 4 5 6
5 6 1 4 2 3
Begriff Für jede Menge X nennt man id (auch idX, 1X) die ”identische Abbildung auf
X”; das ist die Abbildung idX : X → X, x ↦→ x für jedes x ∈ X.
Beobachtung 9 Sei ϕ : X → Y gegeben. Dann gilt idX ϕ = ϕ und ϕ idY = ϕ. D.h. die
identische Abbildung verhält sich bei Nacheinanderausführung neutral.