Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

1 GRUNDBEGRIFFE 16
Satz 12 Sei ϕ : X → Y eine Abbildung. Dann sind äquivalent:
(i) ϕ ist bijektiv (auf Y ).
(ii) Es gibt eine Abbildung π : Y → X mit ϕπ = idX und eine Abbildung ψ : Y → X
mit ψϕ = idY .
Zusatz Wenn (i) zutrifft, gilt: Die Abbildungen π und ψ von (ii) sind eindeutig durch die
Bijektion ϕ festgelegt, und es gilt π = ψ
Beweis. Die Äquivalenz von (i) mit (ii) folgt sofort aus den beiden vorangehenden Lem-
mata. Zum Zusatz. Sei π eine Abbildung wie in (ii) und sei ω : Y → X eine Abbildung,
welche auch ϕω = idX erfüllt. Zu zeigen ist π = ω. Das bedeutet: für jedes y ∈ Y gilt
yπ = yω. Sei also y ∈ Y . Da ϕ surjektiv ist, existiert ein x ∈ X mit xϕ = y; ein solches x
werde gewählt. Dann gilt x = x idX = xϕπ = yπ, und ebenso x = yω. Es folgt yπ = yω.
Nun ist die Eindeutigkeit von ψ in (ii) zu zeigen. Sei ω : Y → X mit ωϕ = idY . Zu
zeigen: ψ = ω. Sei also y ∈ Y . Dann gilt yψϕ = y = yωϕ. Da ϕ injektiv ist, folgt yψ = yω.
Zuletzt zeigen wir π = ψ.
Sei y ∈ Y . Dann gilt yπ = y(ψϕ)π = yψ(ϕπ) = yψ.
Definition 13 (Umkehrabbildung) Sei ϕ : X → Y eine bijektive Abbildung. Dann
heißt die (nach dem vorigem Satz eindeutig bestimmte) Abbildung π : Y → X mit der
Eigenschaft ϕπ = idX die Umkehrabbildung von ϕ. Sie wird mit ϕ −1 bezeichnet.
Die Umkehrabbildung ϕ −1 : Y → X der Bijektion ϕ in der Definition erfüllt also
ϕϕ −1 = idX. Nach dem vorigen Satz gilt auch ϕ −1 ϕ = idY , und diese Eigenschaft kenn-
zeichnet die Umkehrabbildung ebenso wie die in der Definition verwendete Eigenschaft.
Bemerkung Die Umkehrabbildung einer Bijektion ϕ : X → Y darf nicht verwechselt
werden mit der Urbildmenge ϕ −1 (B) = {x ∈ X | xϕ ∈ B} einer Teilmenge B ⊆ Y .
Für eine Bijektion ϕ : X → Y gilt {yϕ −1 } = ϕ −1 ({y}) für jedes y ∈ Y (links die
Umkehrabbildung, rechts Urbildmenge von ϕ). Insofern sind die Bezeichnungen ziemlich
kompatibel.
Die Umkehrabbildung einer Bijektion ϕ nennt man auch die inverse Abbildung von ϕ .
Bemerkung Die Umkehrabbildung ϕ −1 : Y → X einer Bijektion ϕ : X → Y ist
bijektiv; es gilt (ϕ −1 ) −1 = ϕ.
Beobachtung 14 Seien ϕ : X → Y und ψ : Y → Z Abbildungen.
(a) Wenn ϕ und ψ injektiv sind, so ist ϕψ injektiv.