Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 28
2 Lineare Gleichungssysteme
Nachdem wir etliche noch recht leblose Begriffe und Definitionen behandelt haben,
studieren wir nun etwas ganz Praktisches.
2.1 Voraussetzungen
Gegeben sei ein Körper K (zum Beispiel R oder C oder Q; genaueres später).
Seien m, n ∈ N0 und aij ∈ K für alle Paare i, j mit i ∈ {1, ..., m} und j ∈ {1, ..., n}; sei
bi ∈ K für i ∈ {1, ..., m}.
Problem: Finde alle n-Tupel (x1, ..., xn) mit xi ∈ K und
(∗)
a11x1 + ... + a1nxn = b1
..... ....
..... ....
am1x1 + ... + amnxn = bm
Man nennt (*) ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten.
(x1, ..., xn) ∈ K n heißt eine Lösung von (*), wenn (*) erfüllt ist. Die Menge, welche
aus allen Lösungen von (*) besteht, heißt Lösungsmenge von (*). Falls bi = 0 für alle
i ∈ {1, ..., m} gilt, heißt das lineare Gleichungssystem homogen.
2.2 Lösungsverfahren
Wir ordnen dem linearen Gleichungssystem eine Matrix zu:
⎛
⎞
a11 ... a1n | b1
⎜ ...
⎜
⎝
...
am1 ... amn | bm
Dadurch spart man das Hinschreiben der ’Unbekannten’ xi. Man nennt
(∗∗)
⎟
⎠
a11x1 + ... + a1nxn = 0
..... ....
..... ....
am1x1 + ... + amnxn = 0