Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 30
Beispiel
(T)
0 1 7 0 0 0 | 3
0 0 0 1 0 0 | 9
0 0 0 0 1 6 | 2
0 0 0 0 0 0 | 0
Also j1 = 2, j2 = 4, j3 = 5, r = 3. Das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem hat
die Matrix (die letzte nur aus Nullen bestehende Spalte wird weggelassen)
(Th)
0 1 7 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 6
0 0 0 0 0 0
Jede beliebige Lösung des homogenen Gleichungssystem erhält man wie folgt.
Die letzte Zeile (entsprechend der untersten Gleichung des Systems) braucht man nicht
zu berücksichtigen: jedes Element des K n = K 6 ist eine Lösung.
Die Lösungsmenge des homogenen Systems besteht aus den n-Tupeln (y1, ..., yn), welche
jede der Gleichungen 1, ..., r erfüllen. Alle solche Tupel bekommen wir wie folgt. Der Ein-
trag yj ist beliebig wählbar, falls j = j1, ..., jr ist. Dann ergibt sich yjr aus Gleichung
Nummer r; yjr−1
aus Gleichung r − 1;.....; yj1 aus Gleichung Nummer 1.
In unserem Fall: r = 3, j1 = 2, j2 = 4, j3 = 5; also: y1, y3, y6 sind beliebig wählbar. Dann
y5 = −6y6; y4 = 0; y2 = −7y3.
Ergebnis: Die Lösungsmenge von Th ist
Y = {(y1, −7y3, y3, 0, −6y6, y6) | y1, y3, y6 ∈ K} =
{ y1(1, 0, ..., 0) + y3(0, −7, 1, 0, 0, 0) + y6(0, 0, 0, 0, −6, 1) | y1, y3, y6 ∈ K } =
K(1, 0, ..., 0) + K(0, −7, 1, 0, 0, 0) + K(0, 0, 0, 0, −6, 1)
Eine spezielle Lösung des Gleichungssystems zu (T) können wir sofort ablesen:
u = (0, 3, 0, 9, 2, 0). Nach dem vorigen Satz kennen wir damit die Lösungsmenge Z von T :
Z = u + Y = (0, 3, 0, 9, 2, 0) + K(1, 0, ..., 0) + K(0, −7, 1, 0, 0, 0) + K(0, 0, 0, 0, −6, 1).
Aus dieser Beschreibung sollte klar sein, wie man allgemein die Lösungsmenge eines
linearen Gleichungssystems mit reduzierter Treppenmatrix bestimmt.