Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

3 WICHTIGE ALGEBRAISCHE STRUKTUREN 42
3.1.1 Beispiele
1. (Z, +, ·) ist ein kommutativer Ring, kein Körper. Einziger Nullteiler ist 0. Die Menge
der Einheiten ist {1, −1}.
2. (Q, +, ·) und (R, +, ·) sind Körper .
3. Der Ring M der 2 × 2−Matrizen über R
M :=
a11 a12
a12 a22
aij ∈ IR
Genau genommen, ist M die Menge der Abbildungen {1, 2} × {1, 2} → IR, (i, j) ↦→
aij. Man definiert + auf M durch
a11 . . . b11 . . . a11 + b11
+
:=
. . . . . . . . . . . .
a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
Damit ist (M, +) eine abelsche Gruppe wie IR4 , + mit neutralem Element
0 0
.
0 0
Man definiert · auf M durch
a11 a12 b11 b12 a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22
·
:=
a21 a22
b21 b22
a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22
Nun kann man nachrechnen, dass (M, +, ·) ein
nicht-kommutativer
Ring ist. Es gibt
1 0
ein neutrales Element bzgl. ·, nämlich 1 = . Es gibt Nullteiler = 0 =
0 1
0 0
. Zum Beispiel gilt
0 0
1 0
0 0
·
0 0
1 0
=
0 0
Bemerkung Anstelle von R in der vorigen Konstruktion kann man einen beliebigen
Körper nehmen.
0 0
3.1.2 Elementare Konstruktion der komplexen Zahlen
Setze C := R 2 . Auf C definiere man + und · durch
(α, β) + (γ, δ) := (α + γ, β + δ)
(α, β) · (γ, δ) := (αγ − βδ, αδ + βγ)